2.3.1 第1课时 共面向量、空间向量基本定理课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

2.3.1 第1课时 共面向量、空间向量基本定理 1.平面向量基本定理： 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a= ． 2.平面向量相等的充要条件： 如果e1，e2不共线，且a=λ1e1+λ2e2，b=μ1e1+μ2e2，那么 λ1e1+λ2e2 对于空间中的任一向量，是否也有类似的结论呢？ 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量也叫共线向量． 任一组平行向量都可以移动到同一条直线上，所以平行向量也称为 共线向量. l A B O C 说一说：平面中的两个非零向量在什么情况下平行呢?为什么平行向量也称为共线向量呢？ 类比以上过程，你认为空间中的任一两个非零向量存在怎样的关系？任意三个向量呢？ 问题1：空间中任意两个向量总是共面的，但空间中任意三个向量可能是共面的，也可能是不共面的，什么情况下三个空间向量共面呢? （一）共面向量 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1 = AB，A1D1 = AD，而AB，AD，AC在同一平面内． 此时，我们称A1B1，A1D1 ，AC共面． 一般地，能平移到同一个平面内的向量叫作共面向量． 根据平面向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y)，使得 p = x e1 ＋ y e2 对于空间三个向量p ， e1，e2 （ e1，e2不共线），当p ， e1，e2 共面时， 问题2： 平面内两个不共线向量 e1，e2，若平面内任意一个向量 p 与 e1，e2 共面，则 p ， e1，e2 这三个向量之间存在怎样的关系呢? 问题3：反过来，对于空间三个向量 p ， e1，e2 ，其中e1，e2 不共线，如果存在有序实数组(x，y)，使得 p = x e1 ＋ y e2 ，那么 p ， e1，e2 共面吗？ 这样，我们得到以下结论： 如果两个向量 e1，e2 不共线，那么 p 与向量e1，e2 共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得 这就是说，向量 p 可以用两个不共线的向量 e1，e2 线性表示． 在三个向量a，b，c 中，某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量共面． 如何理解 p = x e1 ＋ y e2 ①当某个向量为时,另外两个向量直接组成一个平面,因此这三个向量共面. ②当某两个向量平行时,假设,平行,则,此时,在同一个平面内,由于,根据共面向量定义,,,三个向量共面. 在三个向量a，b，c 中，某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量共面． 例1 如图，斜三棱柱ABC-A'B'C'中，设AB = a，AC = b，AA' = c ．在AC'和BC上分别取点M和N，使AM = k AC'，BN = k BC（0≤ k ≤1）． 求证：向量MN与向量 a 和 c 共面． 你能发现什么？ 1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B，D1D 上，且 ， ．求证：A ，E，C1，F四点共面． 2.已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M，满足=+ + ，判断，，三个向量是否共面. 三个向量共面. 因为=++，所以3=++， 化简，得(-)+(-)+(-)=0， 即++=0，即=--， 故三个向量共面. 12 证明空间三向量共面或四点共面的方法 归纳总结 (1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p=xa+yb，则向量p，a，b共面. （2）已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O， OP=xOA＋yOB＋zOC (x＋y＋z=1) P，A，B，C四点共面． 13 （二）空间向量基本定理 类似于平面向量基本定理，我们能否将空间任一向量也表示成某几个向量的实数倍之和？ 如何证明(x，y，z)的唯一性 假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x'，y'，z')，使得 p=x'e1+y'e2+z'e3， 则x'e1+y'e2+z'e3=xe1+ye2+ze3. 不妨设x'≠x，则(x'-x)e1=(y-y')e2+(z-z')e3. 两边同除以(x'-x)，得e1=e2+e3. 由平面向量基本定理可知，e1，e2，e3共面，这与已知矛盾. 因此x=x'，同理可证y=y'，z=z'，所以有序实数组(x，y，z)是唯一的. ①空间向量基本定理 设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p= ，上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p=xe1+ye2+ze3=x'e1+y'e2+z'e3，则x=x'，y=y'，z=z'. ②基与基向量 如果三个向量e1，e2，e3 ，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示.我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组 ，e1，e2，e3叫作 .(x，y，z)称为向量p= 在基{e1，e2，e3}下的坐标. xe1+ye2+ze3 不共面 基 基向量 xe1+ye2+ze3 归纳总结 注意： (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基.基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同. 可用于判断向量是否可以作为基 (2)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. 18 例2 已知{e1，e2，e3}是空间的一组基，且=e1+2e2-e3，=-3e1+e2+ 2e3，=e1+e2-e3，试判断{，，}能否作为空间的一组基. 解：假设共面，则存在实数λ，μ使得=λ+μ ∴e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3)=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3. ∵e1，e2，e3不共面，∴此方程组无解， ∴不共面， ∴{}可以作为空间的一组基. 19 (1)判断一组向量能否作为空间的一组基，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则能构成一组基. (2)判断基时，有时依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基向量，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. 判断基的一般方法 方法归纳 20 例3 如图，在平行六面体中ABCD-A'B'C'D'中，G为三角形A'BD的重心， 设AB = a，AD = b，AA' = c ，以 a，b， c 为一组基．求AC'和AG 在这组基下的坐标． (1)若基确定，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量减法的定义以及向量数乘运算的运算律. (2)若未给定基，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求. 用基表示向量的方法 方法归纳 23 1.对于空间的任意三个向量a，b，2a-b，它们一定是( ) A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 A 2.(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（ ） A.=3-- B.=++ C.++=0 D.+++=0 解：A选项中，3-1-1=1，四点共面， C选项中，=--，四点共面. AC 3.设向量a，b，c不共面，则下列向量组可作为空间的一组基的是（ ） A.{a-2b，3a-b，0} B.{a，b，a+b} C.{3a+b，a+b，c} D.{a+b+c，a+b，c} 解：A中由于0与任意两个向量共面，不能作为一组基； B中a，b，a+b三向量共面，不能作为一组基； D中a+b+c=(a+b)+c，故三向量共面，不能作为一组基. C 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为A1C1的中点，若=+x+y(x，y∈R)，则x，y的值分别为( ) A.1，1 B.1， C.， D.，1 =+)=+++) =++=+x+y， 所以x=，y=. C 5.如图，点M为OA的中点，{，，}为空间的一组基，=x+y+z，则有序实数组(x，y，z)= 　　　 　. =-=-=x+y+z， 所以有序实数组(x，y，z)=. 解： 根据以下关键关键词，回顾本节课所学知识： 1.共面向量的概念. 2.向量共面的充要条件. 3.向量共面定理的应用 4.空间向量基本定理. 5.用基表示空间向量. 6.空间向量基本定理的应用. $