2.3.1 第2课时 空间向量的直角坐标表示 课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

2.3.1 第2课时 空间向量的直角坐标表示 平面向量基本定理 空间向量在直角坐标系该如何表示呢？ 空间向量基本定理 空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量，i，j，k 不共面，可将它们组成空间的一组基，我们把这组基称为标准正交基． 空间每个向量 p 都可以分解成基向量的实数倍之和： 将x，y，z按顺序排成的实数组(x，y，z)，称为向量 p 的坐标， 记为 p = (x，y，z)． 空间向量的直角坐标表示 p = x i ＋y j ＋ z k 在空间中任意取一点O为原点，分别以标准正交基{ i，j，k }中三个基向量的方向为三条坐标轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系． 将任意空间向量p = (x，y，z)= x i ＋y j ＋ z k 用从原点O出发的有向线段OP表示，则有向线段的终点 P 对应于这个向量 p ． 证明：向量 p = OP在标准正交基{ i，j，k }下的坐标(x，y，z)就是点 P 在这个直角坐标系中的坐标． 如图，以基向量 i，j，k 的方向为坐标轴正方向， 建立空间直角坐标系． 作OQ = x i，OR = y j，OS = z k， 则点Q，R，S的坐标分别为 (x，0，0)，(0，y，0)，(0，0，z)． 过点Q作平面垂直于x 轴，过点R作平面垂直于y 轴，过点S作平面垂直于z 轴，三个平面交于一点P ，则P的坐标为(x，y，z)， OP = OP0 ＋P0P = OQ＋OR＋OS = x i＋y j＋z k 故 OP 在{ i，j，k }下的坐标(x，y，z) 就是点 P 在这个直角坐标系中的坐标． 反过来，如果先建立空间直角坐标系O - xyz，分别在三条坐标轴正方向上取长度为1的向量OE1 = i，OE2 = j，OE3 = k组成标准正交基， 标准正交基的基向量的坐标分别是 i = (1，0，0)，j = (0，1，0)，k = (0，0，1) ． 则空间任意一点 P(x，y，z)决定的向量 p = OP在这组标准正交基下的坐标等于点P的坐标(x，y，z)．故点 P 在这个直角坐标系中的坐标就是 OP 在{ i，j，k }下的坐标(x，y，z)． 思考：如果,为空间直角坐标系内任意两点,向量的坐标又该如何表示呢? 因为 一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标． 要求点C'的坐标 ，怎么建系会比较方便？要求向量A'D' 的坐标 ，可以通过哪些向量转化得到？ 例1 如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，已知AB = 4，AD = 2，AA' = 4 ，建立适当的空间直角坐标系． （1）求点C' 的坐标； （2）求A'D' 的坐标． 例1 如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，已知AB = 4，AD = 2，AA' = 4 ，建立适当的空间直角坐标系． （1）求点C' 的坐标； （2）求A'D' 的坐标． 例1 如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，已知AB = 4，AD = 2，AA' = 4 ，建立适当的空间直角坐标系． （1）求点C' 的坐标； （2）求A'D' 的坐标． 1.如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA=AB=1．试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN的坐标． 解：以A为原点，以有向直线AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 依题意，得M，N的坐标分别是 用坐标表示空间向量的步骤 归纳总结 13 思考：如何求向量 p = (x，y，z)在三条坐标轴正方向上的投影? 由图可知，p = x i ＋y j＋z k 在三条坐标轴正方向 上的投影向量OQ = x i，OR = y j，OS = z k， 因此，p 在三条坐标轴正方向上的投影分别 是x，y，z． 向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标． 也可通过，向量 p 与各个坐标轴正方向的夹角α，β，γ来计算： 即 ①向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标． ②向量在标准正交基下的坐标，等于该向量与各个基向量的数量积． ③特别地，如果单位向量与各个坐标轴正方向的夹角分别为α，β，γ，那么该单位向量的坐标为(cosα，cosβ，cosγ)． 归纳总结 (x，y，z) 例2 在标准正交基{ i，j，k }下，已知向量 ， ， ,求向量 在 i 上的投影． (1)通过运算表示出待求向量，i，j，k的系数即为在i，j，k上的投影. (2)利用向量p与三条坐标轴正方向的夹角α，β，γ来求投影，即x=|p|cos α，y=|p|cos β，z=|p|cos γ. 求向量在坐标轴正方向上的投影的方法 归纳总结 19 2.在标准正交基{i，j，k}下，已知向量a=(-1，1，2)，b=(2，3，1)，求向量m=a+2b在i和k上的投影. 解：因为a=(-1，1，2)=-i+j+2k， b=(2，3，1)=2i+3j+k， 所以m=a+2b=(-i+j+2k)+2(2i+3j+k)=3i+7j+4k， 故向量m在i上的投影为3，在k上的投影为4. 20 1.知识清单： (1)标准正交基概念的理解. (2)空间点和空间向量的坐标. (3)空间向量在坐标轴正方向上的投影. 2.方法归纳：数形结合、类比联想. 3.常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同. 本节课你学到了哪些知识与方法？ 1.已知i，j，k分别是空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量，且=i+j-2k，则点B的坐标是 A.(1，1，-2) B.(i，j，-2k) C.(-1，1，2) D.不确定 √ 解：因为m=a+b=i+2j+3k+2i+3k=3i+2j+6k， 所以向量m在i上的投影为3. 2.在标准正交基{i，j，k}下，已知向量a=i+2j+3k，b=2i+3k，则向量m=a+b在i上的投影为 A.3 B.2 C.6 D.4 √ 3.如图，在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=3，OC=5， OO1=4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为 A.(3，5，4) B. C. D. √ 4.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，向量a在基{，，}下的坐标为(2，1，-3)，则向量a在基{，，}下的坐标为 A.(2，1，-3) B.(-1，2，-3) C.(1，-8，9) D.(-1，8，-9) 解：∵a=2+-3=2--3=-+2-3， ∴向量a在基{}下的坐标为(-1，2，-3). √ $