2.2 第1课时 空间向量的基本概念及线性运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

空间向量及其运算 2.2 空间向量的基本概念及线性运算 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.类比平面向量，理解空间向量的定义及表示方法，掌握几种特殊的空间向量. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　空间向量的基本概念 逐点清(二) 空间向量的加减法　 逐点清(三) 向量与实数相乘　 课时跟踪检测 4 逐点清(四) 空间向量共线的应用　 5 逐点清(一)　空间向量的基本概念 01 1.空间向量的定义及表示 多维理解 定义 空间中既有______又有______的量称为空间向量 模 空间向量a的________________称为a的____ (记为___) 表示法 要表示向量a，可以从空间中任意一点A出发作有向线段，使的方向与a_____，长度与|a|_____，则有向线段表示向量a，记为_______ 大小 方向 大小(或长度) 模 |a| 相同 相等 a= 2.几类特殊向量 相等向量 方向相同且长度_______的向量 相反向量 方向______、长度相等的向量 零向量 起点与终点_____的向量，记作0，|0|=___，方向是任意的 相等 相反 重合 0 |微|点|助|解| (1)零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等. (2)在空间中仍然有：=(AB，CD不共线)⇔四边形ABCD为平行四边形. (3)若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同. 1.下列说法正确的是 (　　) A.任一空间向量与它的相反向量都不相等 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 C.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 D.将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 √ 微点练明 解析：零向量与它的相反向量相等，A错误；任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错误；同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小，C正确；将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球，D错误. 2.有下列关于空间向量的命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与是相等向量；④在空间四边形ABCD中，与是相反向量；⑤在三棱柱ABC-A1B1C1中，与的模一定相等的向量一共有3个.其中正确命题的个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 √ 解析：①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；③正确，与的模相等，方向相同；④错误，空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也一定不相反；⑤错误，在三棱柱ABC-A1B1C1中，与AA1的模一定相等的向量是，共5个.故选A. 3.[多选]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，AA1=1，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中 (　　) A.单位向量有8个 B.与相等的向量有3个 C.的相反向量有4个 D.模为的向量有4个 √ √ √ 解析：由题可知单位向量有，共8个，故A正确；与相等的向量有，共3个，故B正确；向量的相反向量有，共4个，故C正确；模为的向量分别为，共8个，故D错误. 逐点清(二)　空间向量的加减法 02 多维理解 空间 向量 的运算 三角形 法则 加法 a+b=+= 平行 四边形 法则 加法 a+b=+=______ 减法 a-b=-=_____ 加法 运算律 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 交换律 a+b=b+a |微|点|助|解| (1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即+++…+=. (2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即+++…+=0. (3)空间向量加、减法运算的两个技巧 巧用相 反向量 向量的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接 巧用 平移 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果 1.已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则--=(　　) A. B. C. D. √ 微点练明 解析：--=+-=-=. 2.[多选]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式运算的结果为向量的是(　　) A.(+)- B.(-)- C.(-)+ D.(-)- √ √ √ 解析：如图所示，(+)- =-=+=；(-)- =-=；(-)+=+ =；(-)-=(-)- =+=. 3.在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化简-+++，并在图中标出化简结果. 解：在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中， 四边形AA1F1F是平行四边形，所以=. 同理==， 由正六棱柱性质可知=， 所以-+++=-+(++)=+=， 所以化简结果如图所示. 逐点清(三)　向量与实数相乘 03 1.向量与实数相乘 在空间中，向量a与实数相乘有|λa|=______. 当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反. 2.单位向量 长度为1的向量称为单位向量.对于每个非零向量a，可得到与它方向相同的唯一单位向量_________，其中|e|=____. 多维理解 |λ||a| e=a 1 3.共线向量 对于空间任意两个向量a，b(a≠0)，若________，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作______. 零向量的方向可以任取，又0=0a，则0是任意向量a的0倍，因此零向量与任意向量共线. b=λa b∥a 4.空间向量与实数的乘法运算律 (1)λ(a+b)=_________.(对向量加法的分配律) (2)(λ1+λ2)a=__________.(对实数加法的分配律) |微|点|助|解| (1)λa=0⇔λ=0或a=0. (2)向量λa与向量a一定是共线向量. (3)利用数乘运算解题时，要结合具体图形，明确表示向量的有向线段，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. λa+λb λ1a+λ2a 1.[多选]已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确的是 (　　) A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb，则a=b D.若ma=na，则m=n √ 微点练明 √ 解析：m(a-b)=ma-mb，A正确；(m-n)a=ma-na，B正确；若m=0，则a，b不一定相等，C错误；若a=0，则m，n不一定相等，D错误. 2.如图，在斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，M为A1C1与B1D1的交点.若=a，=b，=c，则=(　　) A.a-b-c B.a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c 解析：依题意，=+=+ =+(-)=--=a-b-c. √ 3.若空间非零向量e1，e2不共线，则使2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的k的值为________.  解析：由题意知，存在实数λ使得2ke1-e2=λ[e1+2(k+1)e2] =λe1+2λ(k+1)e2，即 解得 - 4.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是棱BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量. (1)+； 解：+=. (2)++； 解：∵M是BB1的中点， ∴=.又=， ∴++=+=. (3)---. 解：--- =(+)-(+)=-=. 逐点清(四)　空间向量共线的应用 04 [典例]　如图，四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线? 解：法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形，∴=++=++　①. 又∵=+++=-+--　②，①+②得2=，∴∥，即与共线. 法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形， ∴=-=(+)-(+)=(-)=(-)=. ∴∥，即与共线. |思|维|建|模| 向量共线的判定及应用 (1)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a=λb成立. (2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使得=λ. 1.设向量e1，e2，e3不共面，已知=e1+e2+e3，=e1+λe2+e3，=4e1+8e2+4e3，若A，C，D三点共线，则λ=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 针对训练 解析：由=e1+e2+e3，=e1+λe2+e3，得=+ =2e1+(1+λ)e2+2e3，因为A，C，D三点共线，所以∥，则存在唯一实数μ，使得=μ，则解得 2.如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且==.求证：四边形EFGH是梯形. 证明：∵E，H分别是AB，AD的中点， ∴==，则=-=-= =(-)==(-)=，∴∥且||=||≠||.又点F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形. 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.下列说法正确的是 (　　) A.空间中共线的向量必在同一条直线上 B.=的充要条件是A与C重合，B与D重合 C.数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向 D.在四边形ABCD中，一定有+= √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析：向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误；=的充要条件是||=||，且同向，但A与C，B与D不一定重合，所以B错误；λ既决定大小又决定方向，所以C正确；满足+=的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，所以D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知E，F分别是空间四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，点G是线段EF的中点，P为空间中任意一点，则+++=(　　) A. B.2 C.3 D.4 √ 解析：由题知，+++=2+2=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.对于空间中的非零向量，其中一定不成立的是(　　) A.+= B.-= C.||+||=|| D.||-||=|| √ 解析：对于A，+=恒成立；对于C，当方向相同时，有||+||=||；对于D，当方向相同且||≥||时，有||-||=||；对于B，由向量减法可知-=，又为非零向量，所以B一定不成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知在四边形ABCD中，O为空间任意一点，且+=+，则四边形ABCD是(　　) A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 √ 解析：∵+=+，∴=.∴∥且||=||. ∴四边形ABCD为平行四边形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.在三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC的中点，=2，则=(　　) A.-+ B.++ C.-++ D.-+- 解析：因为=2，所以=， 所以=++=++ =×(+)+(-)+=-+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，=2，则以下结论正确的是(　　) A.=++ B.=-+- C.=-+ D.=+- √ 解析：因为=2，所以= =-=+-=+- =+(-)-=+-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.在四面体OABC中，点M，N分别为OA，BC的中点，若=+x+y，且G，M，N三点共线，则x+y=(　　) A.- B. C. D.- √ 解析：若G，M，N三点共线，则存在实数λ使得=λ+(1-λ)= ++成立，所以=，可得λ=，所以x=y=，可得x+y=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.[多选]已知正方体ABCD-A'B'C'D'的中心为O，则下列结论正确的是 (　　) A.+与+是一对相等向量 B.-与-是一对相等向量 C.+++与+++是一对相反向量 D.-与-是一对相反向量 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图所示，=-=-，所以+=-(+)，是一对相反向量，A错误；-=-=，而=，故是一对相等向量，B正确；又=-=-，所以+++= -(+++)，是一对相反向量，C正确；-= -==-，所以是一对相反向量，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①=2+μ；②存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=0，那么使①②成立的μ与λ+m+n的值分别为(　　) A.1，-1 B.-1，0 C.0，1 D.0，0 √ 解析：∵A，B，C三点共线，=2+μ，∴2+μ=1，∴μ=-1.又由λ+m+n=0，得=--，由A，B，C三点共线知，--=1，则λ+m+n=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.若空间中任意四点O，A，B，P满足=m+n，其中m+n=1，则(　　) A.P∈直线AB B.P∉直线AB C.点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上 D.以上都不对 √ 解析：因为m+n=1，所以m=1-n，所以=(1-n)+n，即-=n(-)，即=n，所以与共线.又有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，-+=___________.  解析：-+=+-=+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，N是BC的中点，则向量=____________.(用a，b，c表示)  解析：由向量的减法及加法运算可得， =-=+- =+-=b+c-a. b+c-a 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)如图，在空间四边形OABC中，=a，=b，=c，点M在OA上，且=3，N为BC的中点，若=xa+yb+zc，则x+y+z=____________.  解析：因为=3，N为BC的中点， 所以==(+). 所以=-=(+)-=-a+b+c. 因为=xa+yb+zc，所以x+y+z=-++=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)如图，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，设M是上底面A1B1C1D1的中心. (1)化简：+(+)；(5分) 解：∵在底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，M是上底面A1B1C1D1的中心，∴+(+)=+(+) =+=+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若=x+y+z，求实数x，y，z的值.(5分) 解：∵=+=+ =+(+)=+(+)=+(-+) =-++.又=x+y+z，∴x=-，y=，z=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且=，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线. 证明：连接MO，MC1(图略).设=a，=b，AA1=c， 则=+=+=(+)+(+) =++(++)=++=a+b+c，=+=+=(+)+=a+b+c，∴=3.又直线MC1与直线MO有公共点M， ∴C1，O，M三点共线. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $