2.2 第2课时 向量的数量积-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

第2课时　向量的数量积 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解空间向量的夹角.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义,会求向量的投影向量. 3.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用,掌握利用向量数量积求空间两点间的距离. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.数量积的定义 如图,由于空间任意两个向量a,b都可以平移到同一个平面OAB内,因此与平面向量夹角的定义一样,我们把∠AOB称为向量a,b的夹角,记作<a,b>,其取值范围为[0,π].定义a·b=|a||b|cos<a,b>为a与b的数量积. 2.数量积的性质 (1)a·e=|a|cos􀎮a,e􀎯(其中e为单位向量); (2)若a,b为非零向量,则a⊥b⇔a·b=0; (3)a·a=|a|2或|a|=; (4)若a,b为非零向量,则cos􀎮a,b􀎯=; (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a,b共线时等号成立). 3.数量积满足的运算律 运算律 (λa)·b=λ(a·b),λ∈R a·b=b·a(交换律) a·(b+c)=a·b+a·c(分配律) 4.投影向量 如图, 将空间任意两个向量a,b平移到同一个平面内,可得=a,=b,<a,b>=α.过点B作BB1⊥OA,垂足为点B1,则为在方向上的投影向量,投影向量的模||=|||cos α|称为投影长. 5.数量积的几何意义 a与b的数量积等于a的模|a|与b在a方向上的投影|b|cos α的乘积,也等于b的模|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积.  基础落实训练 1.[多选]下列各命题中,正确的命题是 (　　) A.=|a| B.m(λa)·b=(mλ)a·b(m,λ∈R) C.a·(b+c)=(b+c)·a D.a2·b=b2·a 解析:选ABC　∵a·a=|a|2,∴=|a|,故A正确;m(λa)·b=(mλa)·b=mλa·b=(mλ)a·b,故B正确;a·(b+c)=a·b+a·c,(b+c)·a=b·a+c·a=a·b+a·c=a·(b+c),故C正确;a2·b=|a|2·b,b2·a=|b|2·a,故D不一定正确. 2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,则a·(b+c)的值为 (　　) A.1 B.0 C.-1 D.-2 解析:选B　由题意可得AB⊥AD,AB⊥AA1, 所以a⊥b,a⊥c,所以a·b=0,a·c=0, 所以a·(b+c)=a·b+a·c=0,故选B. 题型(一)　空间向量的数量积 [例1]　如图,已知空间四边形ABDC的每条棱都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点.计算: (1)·;(2)·; (3)·. 解:(1)因为=,由题意,可知∠ABD=60°,所以<,>=60°,所以·=·=×1×1×cos60°=×1×1×=. (2)由题意,可知<,>=∠BDC=60°, ·=·=-·=-×1×1×cos<,>=-×1×1×=-. (3)·=(+)·(+)=[·(-)+·+·(-)+·]=[-·-·+(-)·+·]=(-·-·+·-·+·)=×=-. |思|维|建|模| 在几何体中计算空间向量数量积的一般步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入公式a·b=|a||b|cos<a,b>求解. 　　[针对训练] 1.如图,在三棱锥P-ABC中,AP,AB,AC两两垂直,AP=2,AB=AC=1,M为PC的中点,则·的值为 (　　) A.1 　　　B. C. 　　　D. 解析:选D　由题意,得=+=+(+)=++.故·=·=·+·+·==. 2.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设=a,=b,=c,则a·(b+c)=　　　,a·(a+b+c)=　　　　,(a+b)·(b+c)=　　　　.  解析:依题意AB,AD,AA'两两互相垂直,所以a·b=a·c=b·c=0.所以a·(b+c)=a·b+a·c=0,a·(a+b+c)=a·a+a·b+a·c=|a|2=1,(a+b)·(b+c)=a·b+b·b+a·c+b·c=|b|2=1. 答案:0　1　1 题型(二)　利用数量积求模与夹角 [例2]　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,CA=CB=1,棱AA1=2,求cos<,>的值. 解:因为=-=+-,=+, 所以||2==(+-)2=++=12+22+12=6,||=,||2==(+)2=+=12+22=5,||=, ·=(+-)·(+)=-=22-12=3, 所以cos<,>===. 　　[变式拓展] 1.本例中条件不变,求N为AA1的中点时,与夹角的余弦值. 解:由例题知,||=,||=,·=·(+)=-=×22-12=1,所以cos<,>===. 2.本例变为:如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AA1的长度为4,且∠A1AB=∠A1AD=120°.用向量法求BD1的长. 解:∵=++,==+++2·+2·+2· =42+22+22+2×4×2cos 60°+2×4×2cos 120°+2×2×2cos 90°=24,∴BD1的长为2. |思|维|建|模| (1)求两个非零向量的夹角可以把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解. (2)利用夹角公式求异面直线所成的角的步骤. 　　[针对训练] 3.如图,正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长为　　　.  解析:设=a,=b,=c.由题意,知|a|=|b|=|c|=2, 且<a,b>=60°,<a,c>=<b,c>=90°. 因为=++=-++=-a+b+c, 所以||2==a2+b2+c2+2=×22+×22+22+2××2×2cos 60°=1+1+4-1=5,所以||=,即EF=. 答案: 4.已知空间四边形OABC各边及对角线长都等于2,E,F分别为AB,OC的中点,则异面直线OE与BF所成角的余弦值为　　　　　　.  解析:由已知得=(+),=-=-,因此||=|+| ==,||===. 又因为·=(+)·=×2-×2+×2-2=-2, 所以cos<,>===-. 故异面直线OE与BF所成角的余弦值为. 答案: 题型(三)　利用数量积证明垂直问题　　　　　 [例3]　如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',CD'与DC'相交于点O,连接AO,求证: (1)AO⊥CD'; (2)AC'⊥平面B'CD'. 证明:(1)因为=+=+(+)=(++2),=-,所以·=(++2)·(-)=(·-·+·-·+2·-2·)=(||2-||2)=0,所以⊥,故AO⊥CD'. (2)设正方体的棱长为a,则·=(++)·(+)=·+·+·+·+·+·=0+0+0+a2-a2+0=0, 所以⊥,所以AC'⊥B'C. 同理可证AC'⊥B'D'. 又B'C,B'D'⊂平面B'CD',B'C∩B'D'=B', 所以AC'⊥平面B'CD'. |思|维|建|模| 用向量法证明垂直问题的方法 (1)证明线线垂直,只需证明两条直线的方向向量的数量积为0. (2)证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与该平面内两不共线的向量的数量积分别为0. (3)证明面面垂直,可利用面面垂直的判定定理,将面面垂直转化为线面垂直,然后利用向量法证明. 　　[针对训练] 5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD. 证明:设AD=a,则AB=2a. 因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥AB, 所以·=·=0, 所以·=(+)·(-) =·-·-+· =-||2+·=-a2+||||cos∠DAB=-a2+2a2×cos 60°=0, 所以⊥,故PA⊥BD. 学科网（北京）股份有限公司 $