2.1 空间直角坐标系-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

第2章 空间向量与立体几何 空间直角坐标系 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 2.1 课时目标 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要. 2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得到空间两点间的距离公式. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一) 建立空间直角坐标系　 逐点清(二) 空间中点的对称问题　 逐点清(三) 空间两点间的距离　 课时跟踪检测 4 逐点清(四) 空间两点间距离的应用　 5 逐点清(一)　建立空间直角坐标系 01 1.空间直角坐标系 多维理解 坐标系 定义 图示 空间 直角 坐标系 为了确定空间中的点的位置，我们可以在空间中任取一点O，以O为原点，作三条_________的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取____的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴、z轴，从而组成了一个空间直角坐标系O-xyz，如图，由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面 两两垂直 共同 续表 右手系 建立空间直角坐标系时，一般将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面.它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向.我们也称这样的坐标系为右手系(如图) 2.点在空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中，任意一点P与有序实数组(x，y，z)之间，建立了一一对应的关系，此时，有序实数组___________称为点P的坐标，记作__________，其中x称为点P的________，y称为点P的________，z称为点P的_________. (x，y，z) P (x，y，z) 横坐标 纵坐标 竖坐标 3.落在坐标轴和坐标平面上的点的特点 1.如图，在长方体OABC-O1A1B1C1中，|OA|=3，|OC|=5，|OO1|=4，点P是棱B1C1的中点，则点P的坐标为 (　　) A.(3，5，4)　　 B. C.D. √ 微点练明 解析：由题图可知，B1(3，5，4)，C1(0，5，4)，因为点P是棱B1C1的中点，所以由中点坐标公式可得P. 2.在空间直角坐标系O-xyz中，点M(x，2 023，z)(x∈R，z∈R)构成的集合是 (　　) A.一条直线 B.平行于xOy平面的平面 C.两条直线 D.平行于xOz平面的平面 √ 解析：依题意，在空间直角坐标系O-xyz中， 点M(x，2 023，z)(x∈R，z∈R)的纵坐标保持不变， 故其构成的集合是一个平行于xOz平面的平面. 3.如图所示的空间直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，AB=2，PA=4，则PD的中 点M的坐标为________________.  解析：由题意知PO===，点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为M1，O，M2，它们在坐标轴上的坐标分别为-，0，，所以点M的坐标为. 4.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD，底面A1B1C1D1的中心，AB=6，AA1=4，M为B1B的中点，点N在C1C上，且C1N∶NC=1∶3. (1)以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标； 解：在正方形ABCD中，AB=6，∴AC=BD=6， 从而OA=OC=OB=OD=3. ∴各点坐标分别为A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(-3，0，0)， D(0，-3，0)，O(0，0，0)，O1(0，0，4)，A1(3，0，4)，B1(0，3，4)， C1(-3，0，4)，D1(0，-3，4)，M(0，3，2)，N(-3，0，3). (2)以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标. 解：同理，A(6，0，0)，B(6，6，0)，C(0，6，0)，D(0，0，0)，A1(6，0，4)，B1(6，6，4)，C1(0，6，4)，D1(0，0，4)，O(3，3，0)，O1(3，3，4)，M(6，6，2)，N(0，6，3). 逐点清(二)　空间中点的对称 问题 02 点P(a，b，c)关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 多维理解 对称轴、对称平面或对称中心 对称点坐标 x轴 ___________ y轴 ___________ z轴 ___________ xOy平面 ___________ yOz平面 ___________ zOx平面 ___________ 坐标原点 ____________ (a，-b，-c) (-a，b，-c) (-a，-b，c) (a，b，-c) (-a，b，c) (a，-b，c) (-a，-b，-c) 记忆口诀：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反. 1.已知点A(-3，0，-4)，点A关于原点的对称点为B，则点B的坐标是 (　　) A.(3，0，-4) B.(-3，0，4) C.(-4，0，-3) D.(3，0，4) √ 微点练明 解析：因为点(x，y，z)关于原点的对称点坐标为(-x，-y，-z)， 所以点A(-3，0，-4)关于原点的对称点B的坐标是(3，0，4). 2.[多选]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=4，AA1=3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，则下列结论正确的是 (　　) A.点B1的坐标为(3，5，4) B.点C1关于点B对称的点为(8，5，-3) C.点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) √ √ √ 解析：易知点B1的坐标为(4，5，3)，故A错误；由C1(0，5，3)， B(4，5，0)，设点C1关于点B对称的点为P(x，y，z)，则=4，=5，=0，解得x=8，y=5，z=-3，故P(8，5，-3)，故B正确；在长方体中，AD1=BC1==5=AB，所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分，即点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，故C正确；因为CB⊥平面ABB1A1，故点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点为(0+2×4，5，0)，即(8，5，0)，故D正确. 3.已知点P(2，3，-1)关于xOy平面的对称点为P1，点P1关于yOz平面的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为____________.  解析：点P(2，3，-1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于yOz平面的对称点P2的坐标为(-2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，-3，1). (2，-3，1) 4.在空间直角坐标系中，已知点P(-2，1，4). (1)求点P关于x轴对称的点P1的坐标； 解：由于点P关于x轴对称后，它在x轴上的坐标不变，在y轴、z轴上的坐标变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(-2，-1，-4). (2)求点P关于xOy平面对称的点P2的坐标； 解：由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴上的坐标不变，在z轴上的坐标变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(-2，1，-4). (3)求点P关于点M(2，-1，-4)对称的点P3的坐标. 解：设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x=2×2-(-2)=6，y=2×(-1)-1=-3，z=2×(-4)-4=-12，所以P3的坐标为(6，-3，-12). 逐点清(三)　空间两点间的距离 03 1.2个距离公式 (1)原点O到空间中任一点P(x，y，z)的距离为|OP|=______________. (2)已知空间中A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)两点，则A，B两点间的距离为|AB|=__________________________________. 多维理解 2.空间中的几个特殊距离 (1)点P(x，y，z)到xOy平面的距离为|z|. (2)点P(x，y，z)到yOz平面的距离为|x|. (3)点P(x，y，z)到zOx平面的距离为|y|. (4)点P(x，y，z)到x轴的距离为 . (5)点P(x，y，z)到y轴的距离为 . (6)点P(x，y，z)到z轴的距离为 . 1. 空间直角坐标系中，点A(-3，4，0)和点B(2，-1，6)的距离是 (　　) A.2 B.2 C.9 D. √ 微点练明 2.在空间直角坐标系中，已知点M(1，0，3)与N(-1，1，a)两点间的距离为，则a=(　　) A.2或4 B.2 C.4 D.-2 √ 3.设点P在x轴上，它到点P1(0，，3)的距离是到点P2(0，1，-1)的距离的2倍，求点P的坐标. 解：因为点P在x轴上，所以设点P的坐标为(x，0，0)， 因为|PP1|=2|PP2|， 所以 =2，解得x=±1， 所以点P的坐标为(1，0，0)或(-1，0，0). 4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|=|CB|=|CA|=2，AC⊥CB，D，E，F分别是棱AB，B1C1，AC的中点，求DE，EF的长度. 解：以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.∵|C1C|=|CB|=|CA|=2， ∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)， 由中点坐标公式可得， D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)， ∴|DE|==， |EF|==. 逐点清(四)　空间两点间距离的应用 04 [典例]　如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O-xyz. (1)若点P在线段BD1上，且满足3|BP|=|BD1|，试写出点P的坐标，并写出点P关于y轴的对称点P'的坐标； 解：因为3|BP|=|BD1|，所以=， 又B(1，1，0)，D1(0，0，1)，设P(x，y，z)， 则(x-1，y-1，z)=(-1，-1，1)，解得x=，y=，z=， 所以点P的坐标为， 故点P关于y轴的对称点P'的坐标为. (2)在线段C1D上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标. 解：由D(0，0，0)，C1(0，1，1)得=(0，1，1)， 故设线段C1D上一点M的坐标为(0，m，m)，0≤m≤1， 则有|MP|= ==， 当m=时，|MP|最小，所以点M的坐标为. |思|维|建|模| 　　距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个： (1)求空间任意两点间的距离； (2)判断几何图形的形状； (3)利用距离公式求最值. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|=|AB|=2，|BC|=2，E，F分别是AD，PC的中点.以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.如图， 求证：PC⊥BF，PC⊥EF. 针对训练 证明：∵|AP|=|AB|=2，|BC|=2，四边形ABCD是矩形， ∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)， D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，，0)， ∴|PB|==2， ∴|PB|=|BC|.又F为PC的中点，∴PC⊥BF. ∵|PE|==， |CE|==， ∴|PE|=|CE|.又F为PC的中点，∴PC⊥EF. 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.点P(2，0，1)在空间直角坐标系O-xyz中的位置是 (　　) A.在y轴上 B.在xOy平面内 C.在yOz平面内 D.在zOx平面内 16 √ 解析：空间直角坐标系中，点P(2，0，1)的横坐标为x=2，纵坐标为y=0，竖坐标为z=1，所以点P在空间直角坐标系O-xyz中的位置是zOx平面内.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.在空间直角坐标系O-xyz中，已知点M是点N在xOy平面内的投影，则点M的坐标是(　　) A. B. C. D. 16 √ 解析：点N在xOy平面内的投影为， 故点M的坐标是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.设B点是点A(2，-3，5)关于xOy平面的对称点，则|AB|= (　　) A.10 B. C. D.38 16 √ 解析：∵点B是点A(2，-3，5)关于xOy平面的对称点， ∴B的横坐标和纵坐标与A相同，而竖坐标与A相反， ∴B(2，-3，-5)，∴直线AB与z轴平行，∴|AB|=5-(-5)=10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知在空间直角坐标系O-xyz中，A，B，则=(　　) A.1 B. C. D.2 16 √ 解析：因为A(0，1，1)，B， 所以==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知正方体不在同一表面上的两个顶点A(-1，2，-1)，B(3，-2，3)，则正方体的体积为 (　　) A.32 B.64 C.48 D.16 16 √ 解析：|AB|==4， 又因为A(-1，2，-1)，B(3，-2，3)两点不在同一表面上， 所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长.设正方体的边长为a，则a=4，即a=4，所以正方体的体积为64. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.在三棱锥S-ABC中，平面SAC⊥平面ABC，SA⊥AC，BC⊥AC，SA=6，AC=，BC=8，则SB的长为(　　) A.8 B.9 C.11 D.12 16 √ 解析：如图，建立以A为原点的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(8，，0)，S(0，0，6)， ∴|SB|==11. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.笛卡尔是世界上著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体，且|AB|=|BC|=1，|AA1|=2，点P是x轴上一动点，则|AP|+|PD|的最小值为 (　　) A. B.2 C. D.2 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 解析：因为|AB|=|BC|=1，|AA1|=2， 由题图可知，A(1，-1，-2)，D(0，-1，-2)， 点A关于x轴对称的点为A'(1，1，2).所以(|AP|+|PD|)min=|A'D|=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.如图所示，在空间直角坐标系中，|BC|=2，原点O是BC的中点，点D在yOz平面内，且∠BDC=90°，∠DCB=30°，则点D的坐标为 (　　) A.B. C.D. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：过点D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC中， ∠BDC=90°，∠DCB=30°，|BC|=2，得|BD|=1，|CD|=， 所以|DE|=|CD|·sin30°=， 所以|OE|=|OB|-|BE|=|OB|-|BD|·cos60°=1-=， 所以点D的坐标为，故选B. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.已知在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1与底面垂直，上下底面均为矩形，AB=1，AD=AA1=A1B1=2，则下列各棱中，最长的是 (　　) A.BB1 B.B1C1 C.CC1 D.DD1 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由四棱台ABCD-A1B1C1D1可得==，故A1D1=4. 因为AA1⊥平面A1B1C1D1，而A1D1，A1B1⊂平面A1B1C1D1，故AA1⊥A1D1，AA1⊥A1B1，而A1D1⊥A1B1， 故可建立如图所示的空间直角坐标系. 故A1(0，0，0)，B1(0，2，0)，B(0，1，2)， C1(-4，2，0)，C(-2，1，2)，D(-2，0，2)， D1(-4，0，0)，故===4， ==3，==2.故最长的棱是B1C1. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)在空间直角坐标系中，点(4，-1，2)关于原点的对称点的坐标是______________.  16 解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，-1，2)关于原点的对称点的坐标是(-4，1，-2). (-4，1，-2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)如图是一个正方体截下的一角P-ABC，其中PA=a，PB=b，PC=c.建立如图所示的空间直角坐标系， 则△ABC的重心G的坐标是_______________.  16 解析：由题意知A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c).由重心坐标公式得点G的坐标为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知D1，B，则点C1的坐标为_____________.  16 解析：由题意知，|AB|=3，|AD|=2， |AA1|=2，所以点C1的坐标为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 13.(5分)已知A，B，C，且∠BAC=90°，则x=_____________.  解析：依题意，由两点间的距离公式得 ==， ==， = =，由∠BAC=90°，得=+， 于是得+2=2++1，解得x=2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|=4，|AD|=3，|AA1|=5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. (1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(7分) 16 解：显然A(0，0，0)，由于点B在x轴的正半轴上且|AB|=4， 所以B(4，0，0)，同理可得D(0，3，0)，A1(0，0，5).由于点C在xOy平面内，BC⊥AB，CD⊥AD，则点C(4，3，0). 同理可得B1(4，0，5)，D1(0，3，5)，与点C的坐标相比，点C1的坐标中只有竖坐标与点C不同，|CC1|=|AA1|=5，则点C1(4，3，5). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求点N的坐标.(3分) 16 解：由(1)知C(4，3，0)，C1(4，3，5)， 则C1C的中点坐标为， 即N. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)在xOy平面内的直线2x-y=0上确定一点M，使M到点P(-3，4，5)的距离最小. (1)求点M.(6分) 16 解：∵点M在xOy平面内的直线2x-y=0上， ∴点M的坐标可设为(a，2a，0)， 则|MP|===， ∴当a=1时，|MP|取最小值，此时M(1，2，0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)并求出距离的最小值.(4分) 16 解：由(1)知，当a=1，即点M坐标为(1，2，0)时， |MP|最小，最小值为|MP|==3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(10分)已知正方形ABCD、正方形ABEF的边长都为1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|=|BN|=a(0<a<). (1)求|MN|；(7分) 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：因为四边形ABCD、四边形ABEF均为正方形，所以AB⊥BE，AB⊥BC.因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB， BE⊂平面ABEF，所以BE⊥平面ABCD.所以AB，BC，BE两两垂直. 以B为原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则M，N. 所以|MN|= ==，0<a<. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)a为何值时，|MN|最短?(3分) 16 解：因为|MN|=，0<a<，所以当a=时，|MN|min=. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $