2.1 空间直角坐标系 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

2.1　空间直角坐标系 [课时跟踪检测] 1.点P(2,0,1)在空间直角坐标系O-xyz中的位置是 (　　) A.在y轴上 B.在xOy平面内 C.在yOz平面内 D.在zOx平面内 解析:选D　空间直角坐标系中,点P(2,0,1)的横坐标为x=2,纵坐标为y=0,竖坐标为z=1,所以点P在空间直角坐标系O-xyz中的位置是zOx平面内.故选D. 2.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点M是点N在xOy平面内的投影,则点M的坐标是 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　点N在xOy平面内的投影为,故点M的坐标是. 3.设B点是点A(2,-3,5)关于xOy平面的对称点,则|AB|= (　　) A.10 B. C. D.38 解析:选A　∵点B是点A(2,-3,5)关于xOy平面的对称点,∴B的横坐标和纵坐标与A相同,而竖坐标与A相反,∴B(2,-3,-5),∴直线AB与z轴平行,∴|AB|=5-(-5)=10. 4.已知在空间直角坐标系O-xyz中,A,B,则= (　　) A.1 B. C. D.2 解析:选B　因为A(0,1,1),B,所以==. 5.已知正方体不在同一表面上的两个顶点A(-1,2,-1),B(3,-2,3),则正方体的体积为 (　　) A.32 B.64 C.48 D.16 解析:选B　|AB|= =4,又因为A(-1,2,-1),B(3,-2,3)两点不在同一表面上,所以A,B两点间的距离即为正方体的体对角线长.设正方体的边长为a,则a=4,即a=4,所以正方体的体积为64. 6.在三棱锥S-ABC中,平面SAC⊥平面ABC,SA⊥AC,BC⊥AC,SA=6,AC=,BC=8,则SB的长为 (　　) A.8 B.9 C.11 D.12 解析:选C　如图,建立以A为原点的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(8,,0), S(0,0,6),∴|SB|= =11. 7.笛卡尔是世界上著名的数学家,他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时,突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网,受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中,四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体,且|AB|=|BC|=1,|AA1|=2,点P是x轴上一动点,则|AP|+|PD|的最小值为 (　　) A. B.2 C. D.2 解析:选C　因为|AB|=|BC|=1,|AA1|=2,由题图可知,A(1,-1,-2),D(0,-1,-2),点A关于x轴对称的点为A'(1,1,2).所以(|AP|+|PD|)min=|A'D|=. 8.如图所示,在空间直角坐标系中,|BC|=2,原点O是BC的中点,点D在yOz平面内,且∠BDC=90°,∠DCB=30°,则点D的坐标为 (　　) A. B. C. D. 解析: 选B　过点D作DE⊥BC,垂足为E,在Rt△BDC中,∠BDC=90°,∠DCB=30°,|BC|=2,得|BD|=1,|CD|=,所以|DE|=|CD|·sin30°=,所以|OE|=|OB|-|BE|=|OB|-|BD|·cos60°=1-=,所以点D的坐标为,故选B. 9.已知在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,侧棱AA1与底面垂直,上下底面均为矩形,AB=1,AD=AA1=A1B1=2,则下列各棱中,最长的是 (　　) A.BB1 B.B1C1 C.CC1 D.DD1 解析:选B　由四棱台ABCD-A1B1C1D1可得==,故A1D1=4. 因为AA1⊥平面A1B1C1D1,而A1D1,A1B1⊂平面A1B1C1D1,故AA1⊥A1D1,AA1⊥A1B1,而A1D1⊥A1B1,故可建立如图所示的空间直角坐标系. 故A1(0,0,0),B1(0,2,0),B(0,1,2),C1(-4,2,0),C(-2,1,2),D(-2,0,2),D1(-4,0,0),故==,=4,==3,==2.故最长的棱是B1C1. 10.(5分)在空间直角坐标系中,点(4,-1,2)关于原点的对称点的坐标是　　　　　　.  解析:空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数,故点(4,-1,2)关于原点的对称点的坐标是(-4,1,-2). 答案:(-4,1,-2) 11.(5分)如图是一个正方体截下的一角P-ABC,其中PA=a,PB=b,PC=c.建立如图所示的空间直角坐标系,则△ABC的重心G的坐标是　　　　　　.  解析:由题意知A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c).由重心坐标公式得点G的坐标为. 答案: 12.(5分)在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知D1,B,则点C1的坐标为　　　　　.  解析:由题意知,|AB|=3,|AD|=2, |AA1|=2,所以点C1的坐标为. 答案: 13.(5分)已知A,B,C,且∠BAC=90°,则x=　　　　.  解析:依题意,由两点间的距离公式得 ==, = =, = =,由∠BAC=90°,得=+,于是得+2=2++1,解得x=2. 答案:2 14.(10分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=4,|AD|=3,|AA1|=5, N为棱CC1的中点,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系. (1)求点A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标;(7分) (2)求点N的坐标.(3分) 解:(1)显然A(0,0,0),由于点B在x轴的正半轴上且|AB|=4,所以B(4,0,0),同理可得D(0,3,0),A1(0,0,5).由于点C在xOy平面内,BC⊥AB,CD⊥AD,则点C(4,3,0). 同理可得B1(4,0,5),D1(0,3,5),与点C的坐标相比,点C1的坐标中只有竖坐标与点C不同,|CC1|=|AA1|=5,则点C1(4,3,5). (2)由(1)知C(4,3,0),C1(4,3,5),则C1C的中点坐标为,即N. 15.(10分)在xOy平面内的直线2x-y=0上确定一点M,使M到点P(-3,4,5)的距离最小. (1)求点M.(6分) (2)并求出距离的最小值.(4分) 解:(1)∵点M在xOy平面内的直线2x-y=0上,∴点M的坐标可设为(a,2a,0), 则|MP|===, ∴当a=1时,|MP|取最小值,此时M(1,2,0). (2)由(1)知,当a=1,即点M坐标为(1,2,0)时, |MP|最小,最小值为|MP|==3. 16.(10分)已知正方形ABCD、正方形ABEF的边长都为1,且平面ABCD与平面ABEF互相垂直.点M在AC上移动,点N在BF上移动,若|CM|=|BN|=a(0<a<). (1)求|MN|;(7分) (2)a为何值时,|MN|最短?(3分) 解:(1)因为四边形ABCD、四边形ABEF均为正方形,所以AB⊥BE,AB⊥BC. 因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,BE⊂平面ABEF,所以BE⊥平面ABCD.所以AB,BC,BE两两垂直. 以B为原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则M,N. 所以|MN|= ==,0<a<. (2)因为|MN|=,0<a<,所以当a=时,|MN|min=. 学科网（北京）股份有限公司 $