1.3.2 第2课时 函数极值的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

函数极值的综合问题 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 进一步理解函数的导数与极值的关系.能求简单的含参的函数的极值，能根据极值求参数的取值范围. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一) 求含参函数的极值　 题型(二) 由极值(点)求参数的 值或范围　 题型(三) 函数极值的综合问题　 4 课时跟踪检测 题型(一)　求含参函数的极值 01 [例1]　已知函数f(x)=x++1(a∈R)，求此函数的极值. 解：函数的定义域为{x|x≠0}，f'(x)=1-=， 当a≤0时，显然f'(x)>0，函数f(x)在区间(-∞，0)，(0，+∞)上均单调递增，此时函数无极值；当a>0时，令f'(x)=0，解得x=±， 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： x (-∞，-) - (-，0) (0，) (，+∞) f'(x) + 0 - - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 递减↘ 极小值 递增↗ 由上表可知，当x=-时，函数取得极大值f(-)=-2+1， 当x=时，函数取得极小值f()=2+1； 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x=-处取得极大值-2+1，在x=处取得极小值2+1. |思|维|建|模| 　　求含参函数极值的步骤与求不含参函数极值的步骤相同，但要注意有时需要对参数进行分类讨论. 针对训练 1.求函数f(x)=x3-3ax2-9a2x(a≠0)的极值. 解：f(x)的定义域为R，f'(x)=3x2-6ax-9a2=3(x-3a)(x+a). 令f'(x)=0，可得x=-a或x=3a. ①当a>0时，有3a>-a. 令f'(x)>0，可得x<-a或x>3a，所以f(x)在(-∞，-a)上单调递增， 在(3a，+∞)上单调递增；令f'(x)<0，可得-a<x<3a， 所以f(x)在(-a，3a)上单调递减. 所以f(x)在x=-a处取得极大值f(-a)=(-a)3-3a×(-a)2-9a2×(-a)=5a3， 在x=3a处取得极小值f(3a)=(3a)3-3a×(3a)2-9a2×(3a)=-27a3. ②当a<0时，有3a<-a.令f'(x)>0，可得x<3a或x>-a， 所以f(x)在(-∞，3a)上单调递增，在(-a，+∞)上单调递增； 令f'(x)<0，可得3a<x<-a，所以f(x)在(3a，-a)上单调递减. 所以f(x)在x=-a处取得极小值f(-a)=5a3， 在x=3a处取得极大值f(3a)=-27a3. 综上所述，当a>0时，f(x)在x=-a处取得极大值f(-a)=5a3， 在x=3a处取得极小值f(3a)=-27a3；当a<0时， f(x)在x=-a处取得极小值f(-a)=5a3，在x=3a处取得极大值f(3a)=-27a3. 题型(二)　由极值(点)求参数的 值或范围 02 [例2]　(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 解：当a=1时，则f(x)=ex-x-1，f'(x)=ex-1， 可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1， 即切点坐标为(1，e-2)，切线斜率k=e-1， 所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1)， 即(e-1)x-y-1=0. (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 解：法一　因为f(x)的定义域为R，且f'(x)=ex-a， 若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立， 可知f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意； 若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a；令f'(x)<0，解得x<ln a； 可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，在(ln a，+∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值， 由题意可得f(ln a)=a-aln a-a3<0，即a2+ln a-1>0， 令g(a)=a2+ln a-1，a>0， 则g'(a)=2a+>0，可知g(a)在(0，+∞)上单调递增，且g(1)=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1，所以a的取值范围为(1，+∞). 法二　因为f(x)的定义域为R，且f'(x)=ex-a， 若f(x)有极小值，则f'(x)=ex-a有零点，令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a， 可知y=ex与y=a有交点，则a>0，若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a； 令f'(x)<0，解得x<ln a； 可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，在(ln a，+∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值，符合题意， 由题意可得f(ln a)=a-aln a-a3<0，即a2+ln a-1>0， 令g(a)=a2+ln a-1，a>0，因为y=a2，y=ln a-1在(0，+∞)上单调递增， 可知g(a)在(0，+∞)上单调递增，且g(1)=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1， 所以a的取值范围为(1，+∞). |思|维|建|模| 已知函数极值(点)求参数值的两点注意 (1)根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 针对训练 2.(2025·全国Ⅱ卷)若x=2是函数f(x)=(x-1)·(x-2)(x-a)的极值点，则f(0)=__________.  解析：由题意，得f'(x)=(2x-3)(x-a)+(x2-3x+2)， ∵x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点， ∴f'(2)=0，得a=2，∴f(x)=(x-1)(x-2)2， 经检验知x=2是极值点， ∴a=2符合题意.故f(0)=-4. -4 3.已知函数f(x)=x3-(m+3)x2+(m+6)x(x∈R，m为常数)在区间(1，+∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围. 解：f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.因为函数f(x)在(1，+∞)内有两个极值点， 所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1，+∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示，所以 解得m>3.故实数m的取值范围是(3，+∞). 题型(三)　函数极值的综合问题 03 [例3]　已知函数f(x)=x3-3x+a(a为实数)，若方程f(x)=0有三个不同实根，求实数a的取值范围. 解：令f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0， 解得x1=-1，x2=1.当x<-1时，f'(x)>0； 当-1<x<1时，f'(x)<0；当x>1时，f'(x)>0. 所以当x=-1时，f(x)有极大值f(-1)=2+a； 当x=1时，f(x)有极小值f(1)=-2+a.因为方程f(x)=0有三个不同实根， 所以y=f(x)的图象与x轴有三个交点，如图.由已知应有 解得-2<a<2，故实数a的取值范围是(-2，2). 　　[变式拓展] 1.本例中，若把“三个不同实根”改为“唯一一个实根”，结果如何? 解：由已知应有2+a<0或-2+a>0.即a>2或a<-2. 2.本例中，若把“三个不同实根”改为“恰有两个实数”，结果如何? 解：由条件可知，只要2+a=0或-2+a=0即可，即a=±2. |思|维|建|模| 　　函数极值可应用于求曲线与曲线(或坐标轴)的交点，求方程根的个数等问题时，往往先构造函数，利用极值，并结合图象来解决. 针对训练 4.已知函数f(x)=x3-6x2+9x+3，若函数y=f(x)的图象与y=f'(x)+5x+m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围. 解：由f(x)=x3-6x2+9x+3，可得f'(x)=3x2-12x+9， f'(x)+5x+m=(3x2-12x+9)+5x+m=x2+x+3+m. 则由题意得x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根，即g(x)=x3-7x2+8x-m的图象与x轴有三个不同的交点. ∵g'(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4)，∴令g'(x)=0，得x=或x=4. 当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下表： x 4 (4，+∞) g'(x) + 0 - 0 + g(x) 递增↗ -m 递减↘ -16-m 递增 ↗ 则函数g(x)的极大值为g=-m，极小值为g(4)=-16-m. ∴由y=f(x)的图象与y=f'(x)+5x+m的图象有三个不同的交点， 得解得-16<m<. 故实数m的取值范围为. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3处取得极值，则a等于 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 √ 解析：f'(x)=3x2+2ax+3，由题意得f'(-3)=0，解得a=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.若函数f(x)=x3-3bx+3b在(0，1)内有极值，则 (　　) A.0<b<1　 B.b<0　　 C.b>0　　 D.b< √ 解析：f'(x)=3x2-3b，∵f(x)在(0，1)内有极值， ∴f'(x)=0在(0，1)内有解，∴x=±， ∴0<<1，∴0<b<1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.若函数f(x)=x3-2ax2+4x+a不存在极值，则a的取值范围是 (　　) A. B.(-) C.[-2，2] D.(-2，2) √ 解析：函数f(x)=x3-2ax2+4x+a，则f'(x)=3x2-4ax+4， 因为函数f(x)不存在极值，则f'(x)≥0在R上恒成立， 则Δ=16a2-4×3×4≤0，得-≤a≤. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.若函数f(x)=ex-ax-b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是 (　　) A.(-1，0) B.(0，1) C.(-∞，-1) D.(1，+∞) √ 解析：由题意知f'(x)=ex-a.当a≤0时，f'(x)>0恒成立， 则f(x)在R上单调递增，不符合题意；当a>0时， 令f'(x)=0，解得x=ln a，∴当x∈(-∞，ln a)时，f'(x)<0；当x∈(ln a，+∞)时，f'(x)>0.可知x=ln a为f(x)的极值点，∴ln a<0，∴a∈(0，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f(x)在x=x0与x=2处取得极值，则f(1)+f(-1)的值一定 (　　) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.小于或等于0 √ 解析：f'(x)=3ax2+2bx+c.令f'(x)=0，则x0和2是该方程的根， ∴x0+2=-<0，即>0.由题图知，f'(x)<0的解集为(x0，2)， ∴3a>0，则b>0.∵f(1)+f(-1)=2b，∴f(1)+f(-1)>0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知函数f(x)=ex-λ(x2+1)有两个极值点p，q，若q=2p，则f(0)= (　　) A.1- B.1- C.1-ln 2 D.1- √ 解析：依题意，f'(x)=ex-2λx，则因为q=2p， 所以显然λ，p≠0，两式相除得ep=2，则p=ln 2， 代入ep=2λp中，解得λ=，则f(0)=1-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知函数f(x)=(x-3)ex-1+2ln x-x+2的极小值点为m，极大值点为n，则mf(n)= (　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为f(x)=(x-3)ex-1+2ln x-x+2，易知x>0， 则f'(x)=(x-2)ex-1+-1=(x-2)=(x-2)·(xex-1-1)， 令h(x)=xex-1-1(x>0)，则h'(x)=(x+1)·ex-1>0在区间(0，+∞)上恒成立， 即h(x)=xex-1-1(x>0)在区间(0，+∞)上单调递增.又h(1)=1-1=0， 所以当x∈(0，1)时，h(x)<0，x∈(1，+∞)时，h(x)>0， 所以当x∈(0，1)时，f'(x)>0，x∈(1，2)时，f'(x)<0，x∈(2，+∞)时， f'(x)>0，由极值点的定义知，极小值点为m=2，极大值点为n=1， 又f(1)=-2×e0+2ln 1-1+2=-1，所以mf(n)=2×(-1)=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)若函数f(x)=在x=1处取得极值，则a=_______________.  解析：f'(x)=，f'(1)==0⇒a=3. 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)设a∈R，若函数y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围是______________.  解析：因为y=ex+ax，所以y'=ex+a，令y'=ex+a=0，则ex=-a，所以x=ln(-a).又因为函数有大于零的极值点，所以-a>1，即a<-1. (-∞，-1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)已知函数f(x)=x3-3ax+b的递减区间为(-1，1)，其极小值为2，则f(x)的极大值是　　　　.  解析：依题意知，f(x)的递减区间为(-1，1). 由f'(x)=3x2-3a=3(x-)(x+)，可得a=1. 由f(x)=x3-3ax+b在x=1处取得极小值2，可得1-3+b=2， 故b=4.f(x)=x3-3x+4的极大值为f(-1)=(-1)3-3×(-1)+4=6. 6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_____________.  解析：∵f'(x)=3x2+2x-a，函数f(x)在区间(-1，1)上恰有一个极值点， 即f'(x)=0在(-1，1)内恰有一个根. 又函数f'(x)=3x2+2x-a的对称轴为x=-. ∴应满足∴ ∴1≤a<5. [1，5) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)函数f(x)=ex(x-aex)恰有两个极值点x1，x2(x1<x2)，则实数a的取值范围是　　　　.  解析：∵函数f(x)=ex(x-aex)， ∴f'(x)=(x+1-2aex)ex. ∵函数f(x)恰有两个极值点x1，x2， ∴x1，x2是方程f'(x)=0的两个不相等的实数根. 令x+1-2aex=0，可知a≠0，∴=ex. 设y1=(a≠0)，y2=ex，在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象，如图所示.要使这两个函数有两个不同的交点，应满足>1，解得0<a<，∴实数a的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1，其中a≥1. (1)求f(x)的单调区间；(6分) 解：由已知得f'(x)=6x[x-(a-1)]，令f'(x)=0，解得x1=0，x2=a-1. 当a=1时，f'(x)=6x2≥0，故f(x)的单调递增区间为(-∞，+∞)，无单调递减区间；当a>1时，f'(x)=6x[x-(a-1)].f'(x)，f(x)随x的变化情况如下表： x (-∞，0) 0 (0，a-1) a-1 (a-1，+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 从上表可知函数f(x)的单调递增区间为(-∞，0)，(a-1，+∞)， 单调递减区间为(0，a-1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)讨论f(x)的极值.(4分) 解：由(1)知，当a=1时，函数f(x)没有极值.当a>1时， 函数f(x)在x=0处取得极大值1， 在x=a-1处取得极小值1-(a-1)3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(15分)设a为实数，函数f(x)=x3-x2-x+a. (1)求f(x)的极值；(5分) 解：f'(x)=3x2-2x-1.令f'(x)=0，得x=-或x=1. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示. x - 1 (1，+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ ∴f(x)的极大值是f=+a，极小值是f(1)=a-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点?(10分) 解：函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2·(x+1)+a-1， 由此可知，x取足够大的正数时， 有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0， ∴曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点.由(1)知f(x)极大值=f=+a， f(x)极小值=f(1)=a-1.∵曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点， ∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即+a<0或a-1>0，∴a<-或a>1， ∴当a∈∪(1，+∞)时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)(2025·上海高考)已知f(x)=x2-(m+2)x+mln x，m∈R. (1)若f(1)=0，求不等式f(x)≤x2-1的解集；(5分) 解：因为f(1)=0，所以1-m-2+0=0，故m=-1， 故f(x)=x2-x-ln x， 故f(x)≤x2-1即为x+ln x≥1，设s(x)=x+ln x，x>0， 则s'(x)=1+>0，故s(x)在(0，+∞)上为增函数， 而x+lnx≥1即为s(x)≥s(1)，故x≥1，故原不等式的解集为[1，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若函数y=f(x)满足在(0，+∞)上存在极大值，求m的取值范围.(10分) 解：f(x)在(0，+∞)有极大值即为有极大值点. f'(x)=2x-(m+2)+==， 若m≤0，则x∈(0，1)时，f'(x)<0，x∈(1，+∞)时，f'(x)>0， 故x=1为f(x)的极小值点，无极大值点，故舍去；若0<<1即0<m<2，则x∈时，f'(x)<0，x∈∪(1，+∞)时，f'(x)>0，故x=为f(x)的极大值点，符合题设要求；若m=2，则x∈(0，+∞)时，f'(x)≥0，f(x)无极值点，故舍去；若>1即m>2，则x∈时，f'(x)<0，x∈(0，1) ∪时，f'(x)>0，故x=1为f(x)的极大值点，符合题设要求.综上，m的取值范围是(0，2)∪(2，+∞). 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $