1.3.2 第1课时 函数的极值与导数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

1.3.2 函数的极值与导数 函数的极值与导数 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.体会导数与单调性、极值的关系. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.极大值点与极大值 如图(1)，设函数y=f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都____________f(x0)(即f(x)___ f(x0))，就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值，此时____称为f(x)的一个极大值点. 小于或等于 ≤ x0 2.极小值点与极小值 如图(2)，设函数y=f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都_____________f(x0)(即f(x)____ f(x0))，就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值，此时____称为f(x)的一个极小值点.极大值和极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点. 大于或等于 ≥ x0 |微|点|助|解| (1)把函数取得极大值时的x的值称为极大值点，把函数取得极小值时的x的值称为极小值点，极大值点与极小值点统称为极值点，故极值点不是点； (2)极值是函数的局部性质； (3)函数的极值不唯一； (4)极大值与极小值两者的大小不确定； (5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点； (6)对于可导函数，若f'(x0)=0，则x0不一定是极值点，即f'(x0)=0是f(x)在x=x0处取到极值的必要不充分条件，函数y=f'(x)的变号零点，才是函数的极值点. 3.函数的驻点 若f'(c)=0，则x=c叫作函数f(x)的驻点. 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)导数值为0的点一定是函数的极值点. (　　) (2)函数的极小值一定小于它的极大值. (　　) (3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值. (　　) (4)如果f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不具有单调性.(　　) 基础落实训练 × × × √ 2.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f'(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ 3.若函数y=-x3+6x2+m的极大值等于13，则实数m等于_________.  解析：y'=-3x2+12x，由y'=0，得x=0或x=4，容易得出当x=4时函数取得极大值，所以-43+6×42+m=13，解得m=-19. -19 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　函数极值的辨析 [例1]　[多选]已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示，则 (　　) A.函数f(x)有极大值f(2) B.函数f(x)有极大值f(-2) C.函数f(x)有极小值f(-2) D.函数f(x)有极小值f(2) √ √ 解析：由题图可知，当x<-2时，f'(x)>0；当-2<x<1时，f'(x)<0；当1<x<2时，f'(x)<0；当x>2时，f'(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值，在x=2处取得极小值. |思|维|建|模| 　　解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的.若由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值. 针对训练 1.设f(x)=x2+cos x，则函数f(x)(　　) A.有且仅有一个极小值 　 B.有且仅有一个极大值 C.有无数个极值 　 D.没有极值 √ 解析：f'(x)=x-sin x，f″(x)=1-cos x≥0，∴f'(x)单调递增且f'(0)=0， ∴当x<0时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，当x>0时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，故f(x)有唯一的极小值点.故选A. √ 2.[多选]如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象，则下列说法正确的是 (　　) A.函数f(x)在区间(1，3)内单调递减 B.f(1)<f(2) C.函数f(x)在x=1处取极大值 D.函数f(x)在区间(-2，5)内有两个极小值点 √ 解析：由导函数y=f'(x)的图象，可知函数f(x)在(1，2)内单调递增，在 (2，3)内单调递减，故f(1)<f(2)，故A错误，B正确；由导函数的图象，可知f(x)在(-1，2)内单调递增，故x=1不是函数的极大值点，故C错误；由导函数图象可得在区间(-2，5)内有f'(-1)=f'(4)=0，且在(-2，-1)与(3，4)内导函数小于0，在(-1，0)和(4，5)内导函数大于0，故x=-1和x=4为函数的两个极小值点，故在区间(-2，5)内有两个极小值点，故D正确. 题型(二)　函数的驻点和极值点 [例2]　已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)，f'(-1)=f'(1)=0，且f(1)=-1. (1)试求常数a，b，c的值； 解：f'(x)=3ax2+2bx+c.由f'(-1)=f'(1)=0， 得3a+2b+c=0，3a-2b+c=0. 又f(1)=-1，∴a+b+c=-1， ∴a=，b=0，c=-. (2)试求函数的驻点，判断函数的导数在驻点左右两侧附近的符号，并判断驻点是否为极值点. 解：由(1)可得f(x)=x3-x，∴f'(x)=x2-=(x-1)(x+1). 令f'(x)=0，即(x-1)(x+1)=0， 解得x=1或x=-1，它们是此函数的驻点. 当x<-1或x>1时，f'(x)>0；当-1<x<1时，f'(x)<0， ∴函数f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上单调递增，在(-1，1)上单调递减. ∴x=1是函数的极小值点，x=-1是函数的极大值点. |思|维|建|模| 判断函数y=f(x)的驻点和极值点的方法 解方程f'(x)=0，当f'(x0)=0时，此时x0为f(x)的驻点. (1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，那么x=x0是极大值点. (2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，那么x=x0是极小值点. 针对训练 3.(2025·全国Ⅱ卷)[多选]已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(x2-3)ex+2，则 (　　) A.f(0)=0 B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)e-x-2 C.f(x)≥2，当且仅当x≥ D.x=-1是f(x)的极大值点 √ √ √ 解析：∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)=0，A正确； 当x<0时，f(x)=-f(-x)=-(x2-3)e-x-2，B正确；当x>0时，f'(x)=(x+3)(x-1)ex，∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，当x→0时， f(x)→-1，且f(1)=-2e+2<0，f()=2，结合f(x)是定义在R上的奇函数，可以画出f(x)的大致图象，由图可知C错误，D正确. 4.求函数f(x)=(x3-1)2+1的驻点，并判断其是否为极值点. 解：因为f(x)=(x3-1)2+1=x6-2x3+2， 所以f'(x)=6x5-6x2=6x2(x3-1). 令f'(x)=0，解得x=0或x=1，所以x=0或x=1为函数的驻点. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： X (-∞，0) 0 (0，1) 1 (1，+∞) f'(x) - 0 - 0 + f(x) 递减↘ 2 递减↘ 1 递增↗ 从表中可以看出，x=1是f(x)的极小值点. 题型(三)　求函数的极值 [例3]　求下列函数的极值点和极值. (1)f(x)=x3-x2-3x+3； 解：f(x)=x3-x2-3x+3的定义域为R，f'(x)=x2-2x-3.令f'(x)=0， 得x1=3，x2=-1.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表. x (-∞，-1) -1 (-1，3) 3 (3，+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 因此当x=-1时，f(x)有极大值，并且极大值为f(-1)=；当x=3时，f(x)有极小值，并且极小值为f(3)=-6. (2)f(x)=+3ln x. 解：函数f(x)=+3ln x的定义域为(0，+∞)，f'(x)=-+=， 令f'(x)=0得x=1.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表. x (0，1) 1 (1，+∞) f'(x) - 0 + f(x) 递减↘ 极小值 递增↗ 因此当x=1时，f(x)有极小值，并且极小值为f(1)=3；无极大值. 　|思|维|建|模|　求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)求函数的定义域； (2)求函数的导数f'(x)； (3)令f'(x)=0，求出全部的根x0； (4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f'(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内； (5)判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则在x0处取得极小值. 针对训练 5.(1)求f(x)=x2e-x的极值； 解：f'(x)=2xe-x-x2e-x，令f'(x)=0，得x=0或x=2， 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表. x (-∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x) 递减↘ 极小值 递增↗ 极大值 递减↘ 所以f(x)的极小值是f(0)=0，极大值是f(2)=. (2)求函数f(x)=的极值. 解：函数f(x)=的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)，f'(x)=.令f'(x)=0，得x1=-1，x2=2. 所以当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表. x (-∞，-1) -1 (-1，1) (1，2) 2 (2，+∞) f'(x) + 0 - + 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 递增↗ 非极值 递增↗ 故当x=-1时，f(x)有极大值，极大值为-. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.[多选]没有驻点的函数有 (　　) A.y=ln x B.y=ex C.y= D.y=xπ √ √ √ 解析：对于A，f'(x)==0，方程无解，选项A符合题意；对于B，f'(x)= ex=0，方程无解，选项B符合题意；对于C，f'(x)=-=0，方程无解，选项C符合题意；对于D，f'(x)=πxπ-1=0，解得x=0，选项D不符合题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若函数y=f(x)可导，则“f'(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的 (　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析：f'(x)=0，但f'(x)在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时f(x)在零点处无极值，但f(x)有极值则f'(x)在极值点处一定等于0.所以“f'(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的必要不充分条件.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.定义在区间上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则下列结论错误的是(　　) A.函数f(x)在区间(0，4)内单调递增 B.函数f(x)在区间内单调递减 C.函数f(x)在x=0处取得极小值 D.函数f(x)在x=3处取得极小值 √ 解析：根据导函数图象可知，在区间内，f'(x)<0，f(x)单调递减，在(0，4)内，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x=0处取得极小值，没有极大值，故A、B、C正确，D错误，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知函数f(x)=xex的极小值为 (　　) A.e B.-1 C.-e D.- √ 解析：因为f(x)=xex，所以f'(x)=(x+1)ex，令f'(x)=0得x=-1，令f'(x)>0得x>-1，令f'(x)<0得x<-1，所以函数f(x)=xex在(-1，+∞)上单调递增，在(-∞，-1)上单调递减，所以f(x)=xex的极小值为f(-1)=-e-1=-.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知函数f(x)=ax2+3x+2a，若不等式f(x)>0的解集为{x|1<x<2}，则函数y=xf(x)的极值点的个数为 (　　) A.1 B.2 C.0 D.不能判断 √ 解析：由题意知解得a=-1，即f(x)=-x2+3x-2. 于是y=xf(x)=-x3+3x2-2x，y'=-3x2+6x-2， 由Δ>0，得y'=0有两个相异实根，故函数y=xf(x)有两个极值点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是 (　　) A.∀x∈R，f(x)≥f(x0) B.-x0是f(-x)的极大值点 C.-x0是-f(x)的极小值点 D.-x0是-f(-x)的极小值点 √ √ 解析：函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的，故A不正确；f(-x)的图象相当于f(x)的图象关于y轴的对称图象，故-x0应是f(-x)的极大值点，故B正确；-f(x)的图象相当于f(x)的图象关于x轴的对称图象，故x0应是-f(x)的极小值点，跟-x0没有关系，故C不正确；-f(-x)的图象相当于f(x)的图象先关于y轴作对称，再关于x轴作对称得到的图象，故D正确.故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]设函数f(x)=(x-1)2(x-4)，则 (　　) A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) √ √ √ 解析：因为函数f(x)的定义域为R，而f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3)，易知当x∈(1，3)时，f'(x)<0，当x∈(-∞，1)或x∈(3，+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，3)内单调递减，在(3，+∞)上单调递增，故x=3是函数f(x)的极小值点，故A正确；当0<x<1时，x-x2=x(1-x)>0，所以1>x>x2>0，而由上可知，函数f(x)在(0，1)内单调递增，所以f(x)>f(x2)，故B错误；当1<x<2时，1<2x-1<3，而由上可知，函数f(x)在(1，3)内单调递减，所以f(1)>f(2x-1)>f(3)，即-4<f(2x-1)<0，故C正确；当-1<x<0时，f(2-x)-f(x)=(1-x)2·(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0，所以f(2-x)>f(x)，故D正确.故选ACD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.[多选]设f'(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f'(x)+xf(x)=ln x，f(1)=，则下列结论正确的是(　　) A.xf(x)在(1，+∞)上单调递增 B.xf(x)在(1，+∞)上单调递减 C.xf(x)在(0，+∞)上有极大值 D.xf(x)在(0，+∞)上有极小值 √ √ 解析：由x2f'(x)+xf(x)=ln x得x>0，则xf'(x)+f(x)=，即[xf(x)]'=，设g(x)=xf(x)，由g'(x)=>0得x>1，由g'(x)<0得0<x<1，即xf(x)在(1，+∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，即当x=1时，函数g(x)=xf(x)取得极小值g(1)=f(1)=，故选AD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知函数f(x)=ax3+bx2+c，其导数y=f'(x)的图象如图所示，则函数的极小值是__________. 解析：依题意f'(x)=3ax2+2bx. 由题图可知，当x<0时，f'(x)<0， 当0<x<2时，f'(x)>0，故当x=0时，函数f(x)取极小值f(0)=c. c 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点，则常数a=___________.  解析：因为f'(x)=+2bx+1， 由题意得解得 - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)若x=e是函数y=(x-a)ln x的驻点，则实数a的值为_______.  解析：由题意知，f'(x)=ln x-+1(x>0)， 因为x=e是函数f(x)的驻点，所以f'(e)=1-+1=0，解得a=2e. 当a=2e时，f'(x)=ln x-+1， 当0<x<e时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减， 当x>e时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增， 所以x=e是函数f(x)的驻点.综上，a=2e. 2e 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知函数f(x)=x2-3x+ln x+2. (1)求f(x)的单调区间；(5分) 解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=2x-3+=， 令f'(x)>0，解得0<x<或x>1，令f'(x)<0，解得<x<1， 所以f(x)的单调递增区间为和(1，+∞)，单调递减区间为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求f(x)的极值.(5分) 解：由(1)可知，f(x)在上单调递增， 在上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. 又f=-+ln+2=-ln 2，f(1)=1-3+2=0， 所以f(x)的极大值为-ln 2，极小值为0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)求函数f(x)=-2的驻点，并判断其是否为极值点，若是，求出对应的极值. 解：函数的定义域为R.f'(x)==-. 令f'(x)=0，得x=-1或x=1，所以x=-1或x=1为函数的驻点. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： x (-∞，-1) -1 (-1，1) 1 (1，+∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x) 递减↘ -3 递增↗ -1 递减↘ 由上表可以看出：当x=-1时，函数有极小值，且极小值为f(-1)=-3；当x=1时，函数有极大值，且极大值为f(1)=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)设函数f(x)=aln x++x+1，其中a∈R，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴. (1)求a的值；(5分) 解：f'(x)=-+(x>0). 由题意知，曲线在x=1处的切线斜率为0， 即f'(1)=0，从而a-+=0，解得a=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求函数f(x)的极值.(10分) 解：由(1)知f(x)=-ln x++x+1(x>0)，f'(x)=--+==. 令f'(x)=0，解得x1=1，x2=-(舍去). 当x∈(0，1)时，f'(x)<0，故f(x)在(0，1)上单调递减； 当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，故f(x)在(1，+∞)上单调递增. 故f(x)在x=1处取得极小值，极小值为f(1)=3，无极大值. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $