1.3.2 第1课时 函数的极值与导数 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

1.3.2 第1课时 函数的极值与导数 [课时跟踪检测] 1.[多选]没有驻点的函数有 (　　) A.y=ln x B.y=ex C.y= D.y=xπ 解析:选ABC　对于A,f'(x)==0,方程无解,选项A符合题意;对于B,f'(x)=ex=0,方程无解,选项B符合题意;对于C,f'(x)=-=0,方程无解,选项C符合题意;对于D,f'(x)=πxπ-1=0,解得x=0,选项D不符合题意. 2.若函数y=f(x)可导,则“f'(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的 (　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A　f'(x)=0,但f'(x)在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时f(x)在零点处无极值,但f(x)有极值则f'(x)在极值点处一定等于0.所以“f'(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的必要不充分条件.故选A. 3.定义在区间上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列结论错误的是 (　　) A.函数f(x)在区间(0,4)内单调递增 B.函数f(x)在区间内单调递减 C.函数f(x)在x=0处取得极小值 D.函数f(x)在x=3处取得极小值 解析:选D　根据导函数图象可知,在区间内,f'(x)<0,f(x)单调递减,在(0,4)内,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=0处取得极小值,没有极大值,故A、B、C正确,D错误,故选D. 4.已知函数f(x)=xex的极小值为 (　　) A.e B.-1 C.-e D.- 解析:选D　因为f(x)=xex,所以f'(x)=(x+1)ex,令f'(x)=0得x=-1,令f'(x)>0得x>-1,令f'(x)<0得x<-1,所以函数f(x)=xex在(-1,+∞)上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,所以f(x)=xex的极小值为f(-1)=-e-1=-.故选D. 5.已知函数f(x)=ax2+3x+2a,若不等式f(x)>0的解集为{x|1<x<2},则函数y=xf(x)的极值点的个数为 (　　) A.1 B.2 C.0 D.不能判断 解析:选B　由题意知解得a=-1,即f(x)=-x2+3x-2.于是y=xf(x)=-x3+3x2-2x,y'=-3x2+6x-2,由Δ>0,得y'=0有两个相异实根,故函数y=xf(x)有两个极值点. 6.[多选]设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是 (　　) A.∀x∈R,f(x)≥f(x0) B.-x0是f(-x)的极大值点 C.-x0是-f(x)的极小值点 D.-x0是-f(-x)的极小值点 解析:选BD　函数的极值是一个局部性的概念,是仅对某一点的左右两侧区域而言的,故A不正确;f(-x)的图象相当于f(x)的图象关于y轴的对称图象,故-x0应是f(-x)的极大值点,故B正确;-f(x)的图象相当于f(x)的图象关于x轴的对称图象,故x0应是-f(x)的极小值点,跟-x0没有关系,故C不正确;-f(-x)的图象相当于f(x)的图象先关于y轴作对称,再关于x轴作对称得到的图象,故D正确.故选BD. 7.(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则 (　　) A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时,f(x)<f(x2) C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x) 解析:选ACD　因为函数f(x)的定义域为R,而f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3),易知当x∈(1,3)时,f'(x)<0,当x∈(-∞,1)或x∈(3,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,3)内单调递减,在(3,+∞)上单调递增,故x=3是函数f(x)的极小值点,故A正确;当0<x<1时,x-x2=x(1-x)>0,所以1>x>x2>0,而由上可知,函数f(x)在(0,1)内单调递增,所以f(x)>f(x2),故B错误;当1<x<2时,1<2x-1<3,而由上可知,函数f(x)在(1,3)内单调递减,所以f(1)>f(2x-1)>f(3),即-4<f(2x-1)<0,故C正确;当-1<x<0时,f(2-x)-f(x)=(1-x)2·(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0,所以f(2-x)>f(x),故D正确.故选ACD. 8.[多选]设f'(x)为函数f(x)的导函数,已知x2f'(x)+xf(x)=ln x,f(1)=,则下列结论正确的是 (　　) A.xf(x)在(1,+∞)上单调递增 B.xf(x)在(1,+∞)上单调递减 C.xf(x)在(0,+∞)上有极大值 D.xf(x)在(0,+∞)上有极小值 解析:选AD　由x2f'(x)+xf(x)=ln x得x>0,则xf'(x)+f(x)=,即[xf(x)]'=,设g(x)=xf(x),由g'(x)=>0得x>1,由g'(x)<0得0<x<1,即xf(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,即当x=1时,函数g(x)=xf(x)取得极小值g(1)=f(1)=,故选AD. 9.(5分)已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导数y=f'(x)的图象如图所示,则函数的极小值是　　　　. 解析:依题意f'(x)=3ax2+2bx. 由题图可知,当x<0时,f'(x)<0,当0<x<2时,f'(x)>0,故当x=0时,函数f(x)取极小值f(0)=c. 答案:c 10.(5分)设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点,则常数a=　　　　.  解析:因为f'(x)=+2bx+1, 由题意得解得 答案:- 11.(5分)若x=e是函数y=(x-a)ln x的驻点,则实数a的值为　　　　　　.  解析:由题意知,f'(x)=ln x-+1(x>0), 因为x=e是函数f(x)的驻点,所以f'(e)=1-+1=0,解得a=2e. 当a=2e时,f'(x)=ln x-+1, 当0<x<e时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减, 当x>e时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 所以x=e是函数f(x)的驻点.综上,a=2e. 答案:2e 12.(10分)已知函数f(x)=x2-3x+ln x+2. (1)求f(x)的单调区间;(5分) (2)求f(x)的极值.(5分) 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=2x-3+=, 令f'(x)>0,解得0<x<或x>1, 令f'(x)<0,解得<x<1, 所以f(x)的单调递增区间为和(1,+∞),单调递减区间为. (2)由(1)可知,f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 又f=-+ln+2=-ln 2,f(1)=1-3+2=0,所以f(x)的极大值为-ln 2,极小值为0. 13.(10分)求函数f(x)=-2的驻点,并判断其是否为极值点,若是,求出对应的极值. 解:函数的定义域为R. f'(x)==-. 令f'(x)=0,得x=-1或x=1, 所以x=-1或x=1为函数的驻点. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞, -1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x) 递减↘ -3 递增↗ -1 递减↘ 由上表可以看出: 当x=-1时,函数有极小值,且极小值为f(-1)=-3;当x=1时,函数有极大值,且极大值为f(1)=-1. 14.(15分)设函数f(x)=aln x++x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴. (1)求a的值;(5分) (2)求函数f(x)的极值.(10分) 解:(1)f'(x)=-+(x>0). 由题意知,曲线在x=1处的切线斜率为0, 即f'(1)=0,从而a-+=0,解得a=-1. (2)由(1)知f(x)=-ln x++x+1(x>0), f'(x)=--+==. 令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-(舍去). 当x∈(0,1)时,f'(x)<0, 故f(x)在(0,1)上单调递减; 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0, 故f(x)在(1,+∞)上单调递增. 故f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=3,无极大值. 学科网（北京）股份有限公司 $