1.2.3 简单复合函数的求导-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

1.2.3 简单复合函数的求导 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则. 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合所学的公式、法则进行一些复合函数求导. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 复合函数及其导数 复合函数的定义 一般地，设y=f(u)是关于____的函数，u=g(x)是关于___的函数，则y=_______是关于x的函数，称为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数 求导法则 F(x)=f(g(x))的导数为F'(x)=__________，其中u=g(x).也可记作y'x=_________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的______ u x f(g(x)) f'(u)·g'(x) y'u·u'x 乘积 1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是 (　　) A.y=un，u=x2-1 B.y=(u-1)n，u=x2 C.y=tn，t=(x2-1)n D.y=(t-1)n，t=x2-1 √ 基础落实训练 解析：由复合函数求导法则知A正确. 2.设函数f(x)=(1-2x)10，则f'(1)= (　　) A.0 B.-1 C.-20 D.20 √ 解析：因为f'(x)=10(1-2x)9×(-2)=-20(1-2x)9，所以f'(1)=20. 3.函数y=cos的导数为_________________.  解析：y'='=-sin(-3)=3sin. y'=3sin 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　求复合函数的导数 [例1]　求下列函数的导数. (1)y=； 解：令u=1-3x，则y==u-4，所以y'u=-4u-5，u'x=-3. 所以y'x=y'u·u'x=12u-5=. (2)y=cos x2； 解：令u=x2，则y=cos u， 所以y'x=y'u·u'x=-sin u·(2x)=-2xsin x2. (3)y=sin； 解：令u=2x-，则y=sin u， 所以y'x=y'u·u'x=cos u·2=2cos. (4)y=. 解：令u=1+x2， 则y=，所以y'x=y'u·u'x=·2x=x·=. 　|思|维|建|模|　求复合函数的导数的步骤 针对训练 1.求下列函数的导数： (1)y=(3x-2)2； 解：∵y=(3x-2)2由函数y=u2和u=3x-2复合而成，∴y'x=y'u·u'x=(u2)'·(3x-2)'=6u=18x-12. (2)y=ln(6x+4)； 解：∵y=ln(6x+4)由函数y=ln u和u=6x+4复合而成，∴y'x=y'u·u'x=(ln u)'·(6x+4)'===. (3)y=. 解：函数y=可以看作函数y=和u=3x+5的复合函数，根据复合函数求导法则有y'x=y'u·u'x=()'·(3x+5)'==. 题型(二)　复合函数与导数的运算法则的综合应用 [例2]　求下列函数的导数. (1)y=； 解：∵(ln 3x)'=×(3x)'=，∴y'===. (2)y=x； 解：y'=(x)'=x'+x()' =+=. (3)y=xcossin. 解：∵y=xcossin =x(-sin 2x)cos 2x=-xsin 4x， ∴y'='=-sin 4x-cos 4x×4=-sin 4x-2xcos 4x. 　|思|维|建|模| (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的. (2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，开始由外及内逐层求导. 针对训练 2.求下列函数的导数： (1)y=e-x+2(2x+1)5； 解：y'=(e-x+2)'·(2x+1)5+e-x+2·[(2x+1)5] ' =-e-x+2·(2x+1)5+5e-x+2·(2x+1)4·(2x+1)'=-e-x+2(2x+1)4(2x-9). (2)y=cos(3x-1)-ln(-2x-1)； 解：y'=-sin(3x-1)·(3x-1)'-·(-2x-1)'=-3sin(3x-1)-. (3)y=sin 2x+cos2x； 解：y'=cos 2x·(2x)'+2cos x·(cos x)' =2cos 2x-2sin xcos x=2cos 2x-sin 2x. (4)y=. 解：y'==. 题型(三)　复合函数求导的综合应用 [例3]　已知函数f(x)=3x+cos 2x+sin 2x，f'(x)是f(x)的导函数，且a=f'，求过曲线y=x3上一点P(a，b)的切线方程. 解：由f(x)=3x+cos 2x+sin 2x，得f'(x)=3-2sin 2x+2cos 2x， 则a=f'=3-2sin+2cos=1. 又b=a3，∴b=1，∴点P的坐标为(1，1).由y=x3，得y'=3x2. 当P点为切点时，切线的斜率k=3×12=3， ∴曲线y=x3上以点P为切点的切线方程 为y-1=3(x-1)，即3x-y-2=0. 当P点不是切点时，设切点坐标为(x0，)，此时切线的斜率k'=3， ∴切线方程为y-=3(x-x0). 将P(1，1)代入切线方程，得1-=3(1-x0)， ∴2-3+1=0，∴2-2-+1=0， ∴(x0-1)2(2x0+1)=0，解得x0=-(x0=1舍去)，∴切点坐标为， 又切线的斜率为3×=，∴切线方程为y+=，即3x-4y+1=0. 综上，满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0. |思|维|建|模| 求复合函数的导数的注意点 (1)分解的函数通常为基本初等函数； (2)求导时分清是对哪个变量求导； (3)计算结果尽量简单. 针对训练 3.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，求b的值. 解：设f(x)=ln x+2，g(x)=ln(x+1)，则f'(x)=，g'(x)=. 设曲线f(x)=ln x+2上的切点为(x1，y1)， 曲线g(x)=ln(x+1)上的切点为(x2，y2)，则k==，则x2+1=x1. 又y1=ln x1+2，y2=ln(x2+1)=ln x1，所以k==2， 故x1==，y1=ln+2=2-ln 2. 故b=y1-kx1=2-ln 2-1=1-ln 2. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.若函数f(x)=e2x+e2，则f'(1)= (　　) A.e2 B.2e2 C.3e2 D.4e2 √ 解析：f'(x)=e2x·2+0=2e2x，则f'(1)=2e2.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.函数y=exsin 2x的导数为 (　　) A.y'=2excos 2x B.y'=ex(sin 2x+2cos 2x) C.y'=2ex(sin 2x+cos 2x) D.y'=ex(2sin 2x+cos 2x) √ 解析：若y=sin 2x，根据复合函数的求导法则，y'=2cos 2x，根据两函数乘积的求导公式，y=exsin 2x的导数为y'=exsin 2x+ex·2cos 2x =ex(sin 2x+2cos 2x).故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.函数f(x)=e4x-x-2的图象在点(0，f(0))处的切线方程是 (　　) A.3x+y+1=0 B.3x+y-1=0 C.3x-y+1=0 D.3x-y-1=0 √ 解析：因为f'(x)=4e4x-1，所以k= f'(0)=3.因为f(0)=-1，所以切线方程为y+1=3x，即3x-y-1=0.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.设f(x)=ln(3x-1)，若f(x)在x0处的导数f'(x0)=6，则x0的值为 (　　) A.0 B. C.3 D.6 √ 解析：对于函数f(x)=ln(3x-1)，由3x-1>0，可得x>，即函数f(x)的定义域为，f'(x)=，由f'(x0)==6，解得x0=，合乎题意.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.某放射性同位素在衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系N(t)=N0，其中N0为t=0时该同位素的含量.已知t=24时，该同位素含量的瞬时变化率为-e-1，则N(120)=(　　) A.24贝克 B.24e-5贝克 C.1贝克 D.e-5贝克 √ 解析：由N(t)=N0，得N'(t)=-N0，因为t=24时，该同位素含量的瞬时变化率为-e-1，所以N'(24)=-N0=-e-1，解得N0=24，所以N(120)=24×=24e-5，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.函数f(x)=xln(x+2)的图象在点(-1，0)处的切线与直线(a-2)x+y-2=0垂直，则实数a的值为 (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 √ 解析：函数f(x)=xln(x+2)，求导得f'(x)=ln(x+2)+，则f'(-1)=-1，即函数f(x)=xln(x+2)的图象在点(-1，0)处的切线斜率为-1，因为切线与直线(a-2)x+y-2=0垂直，有(2-a)×(-1)=-1，所以a=1.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知f(x)及其导函数f'(x)定义域为R，满足：x∈R，f(x)=f(2-x) +2(x-1)，g(x)=sin，g(x)定义域为，若g(x)在点(x0，g(x0))处的切线斜率与f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率相同，则x0=(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题知，f(x)及其导函数f'(x)定义域为R，满足： x∈R，f(x)=f(2-x)+2(x-1)，所以f'(x)=-f'(2-x)+2， 所以f'(1)=-f'(1)+2，即f'(1)=1.因为g(x)=sin，x∈， 所以g'(x)=2cos.因为g(x)在点(x0，g(x0))处的切线斜率 与f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率相同，所以g'(x0)=2cos=1， 所以cos=，所以2x0+=±+2kπ，k∈Z，由x∈， 解得x0=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)设函数y=ln，则y'=____________.  解析：对于函数y=ln ，可看作y=ln u，u=，v=1+x的复合函数，所以y'=××1=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)一个质点的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)满足函数关系式s=3t3-(2t+1)2+1，则当t=1时，该质点的瞬时速度为　　　　m/s.  解析：因为s=3t3-(2t+1)2+1，所以s'=9t2-4(2t+1).当t=1时，s'|t=1= 9-4×(2+1)=-3，故当t=1时，该质点的瞬时速度为-3 m/s. -3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)与函数f(x)=e3x-1在点(0，0)处具有相同切线的一个函数的解析式是_________________________.  解析：f'(x)=3e3x，故f'(0)=3e0=3，则函数f(x)=e3x-1在点(0，0)处的切线为y=3x.不妨令g(x)=3ex-3，g(0)=3e0-3=0，故(0，0)在g(x)=3ex-3上，g'(x)=3ex，故g'(0)=3e0=3，则函数g(x)=3ex-3在点 (0，0)处的切线为y=3x，满足要求. g(x)=3ex-3(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)如图，在墙角处有一根长3米的直木棒AB紧贴墙面，墙面与底面垂直.在t=0 s时，木棒的端点B以0.5 m/s的速度垂直墙面向右做匀速运动，端点A向下沿直线运动，则端点A在t=2 s这一时刻的瞬时速度 为___________m/s.  解析：设端点A运动的路程为s，则(3-s)2+=9，因为t=2 s，所以BB'=0.5×2=1 m<3 m，此时木棒处于倾斜状态，所以3-s>0，所以s=3-，则s'=.当t=2 s时，s'=，即端点A在t=2 s这一时刻的瞬时速度为 m/s. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)函数y=[f(x)]g(x)在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到ln y=g(x)ln f(x)，然后两边同时求导得=g'(x)ln f(x) +g(x)·，于是y'=[f(x)]g(x)，用此法探求y=(x+1)x(x>0)的导数为___________________________.  解析：两边取对数可得ln y=ln(x+1)x=xln(x+1)，两边求导可得= ln(x+1)+，所以y'=y=(x+1)x. y'= (x+1)x 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)已知a∈R，函数f(x)=ex+ae-x的导函数是f'(x)，且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是，求切点的横坐标x0. 解：易得f'(x)=ex-ae-x，x∈R. ∵f'(x)为奇函数，∴f'(x)+ f'(-x)=0对任意x∈R恒成立，即(1-a) (ex+e-x)=0对任意x∈R恒成立，∴a=1，∴f(x)=ex+e-x，f'(x)=ex-e-x. 设切点的横坐标为x0，由题可得-=，令=t(t>0)，则t-=， 解得t=2或t=- (舍去)，∴=2，∴x0=ln 2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)=3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t=18时的导数，并解释它的实际意义. 解：函数y=s(t)=3sin是由函数f(z)=3sin z和函数z=φ(t)=t+复合而成的，其中z是中间变量.由导数公式表可得f'(z)=3cos z，φ'(t)=. 再由复合函数求导法则得y't=s'(t)=f'(z)φ'(t)=3cos z·=cos. 将t=18代入s'(t)， 得s'(18)=cos=.它表示当t=18时，潮水的高度上升速度为 m/h. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)设函数f(x)=aexln x+. (1)求导函数f'(x)；(4分) 解：由f(x)=aexln x+， 得f'(x)=(aexln x)'+' =aexln x++. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2，求a，b的值.(6分) 解：由于切点既在曲线y=f(x)上， 又在切线y=e(x-1)+2上， 将x=1代入切线方程得y=2， 将x=1代入函数f(x)得f(1)=b， ∴b=2，将x=1代入导函数f'(x)中， 得f'(1)=ae=e，∴a=1.∴a=1，b=2. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $