1.2.1 几个基本函数的导数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

1.2 导数的运算 1.2.1 几个基本函数的导数 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的导数. 2.能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.常见幂函数的导数 函数 导数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=____ f(x)=x f'(x)=____ f(x)=x2 f'(x)=____ f(x)=x3 f'(x)=3x2 f(x)= f'(x)=_____ f(x)= f'(x)=______ 0 1 2x - 2.一些基本初等函数的导数 函数 导数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=xα(α≠0) f'(x)=________ f(x)=ex f'(x)=_____ f(x)=ax(a>0，a≠1) f'(x)=_________ (a>0，a≠1) f(x)=ln x f'(x)=_____ αxα-1 ex axln a 续表 f(x)=logax(a>0，a≠1) f'(x)=(a>0，a≠1) f(x)=sin x f'(x)=_______ f(x)=cos x f'(x)=_______ f(x)=tan x f'(x)= cos x -sin x |微|点|助|解| 　　关于几个基本初等函数导数公式的特点 (1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”. (2)指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数. (3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数. 1.已知f(x)=cos 30°，则f'(x)的值为 (　　) A.- B. C.- D.0 √ 基础落实训练 解析：∵f(x)=cos 30°=，因此，f'(x)=0. 2.若f(x)=，则f'(1)等于(　　) A.0 B.- C.3 D. √ 解析：因为f(x)=，则f'(x)=，所以f'(1)=. 3.已知函数f(x)=x3，f'(x)是f(x)的导函数，若f'(x0)=12，则x0= (　　) A.2 B.-2 C.±2 D.± √ 解析：依题意f'(x)=3x2，故3=12，解得x0=±2. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　求基本函数的导数 题点1　幂函数的导数 [例1]　求下列函数的导数： (1)y=x2 025; 解：y'=(x2 025)'=2 025x2 025-1=2 025x2 024. (2)y=; 解：∵y==x-3， ∴y'=(x-3)'=-3x-3-1=-3x-4=-. (3)y=. 解：∵y==， ∴y'=()'===. 题点2　可化为基本初等函数的导数 [例2]　求下列函数的导数： (1)y=log4x3-log4x2; 解：∵y=log4x3-log4x2=log4x， ∴y'=(log4x)'=. (2)y=-2x; 解：∵y=-2x==， ∴y'='=-. (3)y=-2sin. 解：∵y=-2sin =2sin=2sincos =sin x，∴y'=(sin x)'=cos x. |思|维|建|模| 求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂. (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 针对训练 1.求下列函数的导函数. (1)y=10x; 解：y'=(10x)'=10xln 10. (2)y=lox; 解：y'=(lox)'==-. (3)y=-1. 解：因为y=-1=sin2+2sin·cos+cos2-1=sin x，所以y'=(sin x)'=cos x. 题型(二)　利用导数公式求曲线的切线方程 [例3]　已知曲线y=ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程. 解：因为y'=，所以当x=e时，y'=， 即切线斜率为，所以切线方程为y-1=(x-e)，即x-ey=0. 　[变式拓展] 1.若y=kx+1是曲线y=ln x的一条切线，求k的值. 解：设切点坐标为(x0，y0)， 由题意得y'==k，又 解得∴k=. 2.求曲线y=ln x过点O(0，0)的切线方程. 解：因为点O(0，0)不在曲线上， 所以设切点为Q(a，b)，则切线斜率k=， 又因为k=，且b=ln a，所以a=e，b=1， 所以切线方程为x-ey=0. 3.若方程ln x=mx恰有一个根，求m的取值范围. 解：问题可以转化为函数y=ln x与y=mx的图象有且仅有一个公共点.由图象(图略)易知m≤0满足条件.另外就是y=mx是y=ln x的切线时满足条件.因为y=mx的图象过(0，0)，设切点为Q(a，b)，则切线斜率m=，又因为m=，且b=ln a，所以a=e，b=1，m=，即m的取值范围为(-∞，0]∪. |思|维|建|模| 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数; (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. 针对训练 2.(2025·全国Ⅰ卷)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线，则a=_________.  解析：y'=ex+1，令y'=ex+1=2⇒x=0， 代入y=2x+5⇒切点为(0，5)， 再将(0，5)代入y=ex+x+a⇒a=4. 4 3.在曲线y=f(x)=上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°. 解：设切点坐标为P(x0，y0)，f'(x0)=-2=tan 135°=-1， 即-2=-1，∴x0= . 代入曲线方程得y0=，∴点P的坐标为. 题型(三)　导数公式的实际应用 [例4]　 质点的运动方程是s=sin t，则质点在t=时的速度为________，质点运动的加速度为___________.  解析：v(t)=s'(t)=cos t，∴v=cos =， 即质点在t=时的速度为.∵v(t)=cos t， ∴加速度a(t)=v'(t)=(cos t)'=-sin t. a=-sin=-. 　 - |思|维|建|模| 　　由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数. 针对训练 4.已知在一次降雨过程中，某地降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可近似表示为y=，则在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为__________mm/min.  解析：因为y=f(t)==，所以f'(t)='=， 所以f'(4)=×=，故在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为 mm/min. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.[多选]下列运算错误的是 (　　) A.(2x)'=2xlog2e B.()'= C.(sin 1)'=cos 1 D.(log3x)'= √ √ 解析：对于A，(2x)'=2xln 2，A错误;对于B，()'=()'==， B正确;对于C，(sin 1)'=0，C错误;对于D，(log3x)'=，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知函数f(x)=，则f'(-2) =(　　) A.4 B. C.-4 D.- √ 解析：∵f'(x)=-，∴f'(-2)=-=-.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.函数f(x)=x2在区间[0，2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率，则m= (　　) A. B.1 C.2 D. √ 解析：函数f(x)=x2在区间[0，2]上的平均变化率等于==2.由f(x)=x2，得f'(x)=2x，所以f'(m)=2m.因为函数f(x)=x2在区间[0，2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率，所以2=2m，解得m=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M=m，则f'(x) (　　) A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不确定 √ 解析：因为M=m且M，m分别是函数f(x)的最大值和最小值，所以f(x)为常函数，故f'(x)=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有 (　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定 √ 解析：∵f'(x)=3x2，设切点为(x0，)，∴3=1，解得x0=±， ∴在点和点处有斜率等于1的切线， ∴满足题意的切线有2条.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知函数f(x)及其导数f'(x)，若存在x0使得f(x0)=f'(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是 (　　) A.f(x)=x2 B.f(x)=ln x C.f(x)=sin x D.f(x)=2x √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：对于A，f'(x)=2x，由x2=2x解得x=0或x=2，所以f(x)存在“巧值点”;对于B，f'(x)=(x>0)，作函数f(x)与f'(x)的图象，由图可知f(x)存在“巧值点”; 对于C，f'(x)=cos x，由sin x=cos x得tan x=1，解得x=+kπ，k∈Z，所以f(x)存在“巧值点”;对于D，f'(x)=2xln 2，因为2x>0，所以2x=2xln 2无实数解，所以f(x)不存在“巧值点”. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.若点A(a，a)，B(b，eb)(a，b∈R)，则A，B两点间距离|AB|的最小值为 (　　) A.1 B. C. D.2 √ 解析：点A(a，a)在直线y=x上，点B(b，eb)在y=ex上.由y=ex，得y'=ex.设y=ex的切线的切点为(x0，y0)，令y'=1⇒=1⇒x0=0 ，所以y=ex在点(0，1)处的切线为y=x+1，此时切线y=x+1与直线y=x平行，直线y=x与y=x+1之间的距离=为|AB|的最小值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知函数f(x)=ln x，则=__________.  解析：∵f(x)=ln x，∴f'(x)=， ∴=f'(2)=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知曲线y=ln x的一条切线方程为x-y+c=0，则c=_________.  解析：设切点为(x0，ln x0)，由y=ln x得y'=.因为曲线y=ln x在x=x0处的切线为x-y+c=0，其斜率为1.所以y'==1，即x0=1，所以切点为(1，0).所以1-0+c=0，解得c=-1. -1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f'(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)-f(a)= f'(c)(b-a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f(x)=ln x在[1，e]上的“拉格朗日中值点”为_________.  解析：由f(x)=ln x可得f'(x)=，令x0为函数f(x)=ln x在[1，e]上的“拉格朗日中值点”，则==，解得x0=e-1. e-1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)抛物线y=x2上的一动点M到直线l：x-y-1=0距离的最小值为__________.  解析：因为y=x2，所以y'=2x，令y'=2x=1，得x=，所以与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x2相切的直线的切点为，切线方程为y-=x-， 即x-y-=0，由两平行线间的距离公式可得所求的最小距离d==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)若质点P的运动方程是s(t)=(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t=8 s时的瞬时速度. 解：s(t)=，故s'(t)=，s'(8)=×=， 故质点P在t=8 s时的瞬时速度为 m/s. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)直线y=-x+b是下列函数的切线吗?如果是，请求出b的值；如果不是，请说明理由. (1)y=ln x；(5分） 解：函数y=ln x的定义域为(0，+∞)，则对任意的x>0，y'=>0，所以直线y=-x+b不是曲线y=ln x的切线. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)y=.(5分) 解：函数y=的定义域为{x|x≠0}，令y'=-=-1，解得x=±1， 将x=1代入函数y=的解析式可得切点坐标为(1，1)， 则-1+b=1，解得b=2. 将x=-1代入函数y=的解析式可得切点坐标为(-1，-1)， 则1+b=-1，解得b=-2. 综上所述，y=-x+b是函数y=的切线方程，且b=±2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)设l是曲线y=的一条切线，证明l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关. 证明：由题意，设点P(x0，y0)为y=图象上的任意一点，且点P处的切线即为l，很明显y0=，y'=-，则y'=-.故曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率为-，所以切线l方程为 y-y0=-(x-x0)，即y-=-(x-x0).当x=0时，y=；当y=0时，x=2x0， 所以l与坐标轴所围成的三角形的面积S=··2|x0|=2.很明显l与坐标轴所围成的三角形的面积是一个定值，与切点选取无关.所以l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $