1.2.1 第1课时 常用幂函数的导数课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第1章 导数及其应用 1.2.1 第1课时 常用幂函数的导数 1.导数的几何意义、物理意义： 物理意义：是运动物体在某一时刻的瞬时速度. 利用此“三步曲”，可以求出很多常用函数的导数. 几何意义： 1.函数 y = f (x) =c 的导数 y=c y x O y=0表示函数y = f (x) =c图象上每一点处的切线的斜率都为0. 若y=c表示路程关于时间的函数，则y=0则为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态. 从几何的角度理解： 从物理的角度理解： 2.函数 y= f (x)=x 的导数 y=x y x O y=1表示函数y=x图象上每一点处的切线斜率都为1. 若y=x表示路程关于时间的函数，则y=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动. 从几何的角度理解： 从物理的角度理解： 3.函数 y = f (x) = x2 的导数 y=x2 y x O y =2x表示函数y=x2图象上点(x，y)处切线的斜率为2x， 说明随着x的变化，切线的斜率也在变化. 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，y=2x表明: 当x<0时，随着x的增加，y=x2减少得越来越慢; 当x>0时，随着x的增加，y=x2增加得越来越快. 从几何的角度理解： 从物理的角度理解： 若y=x2表示路程关于时间的函数，则y=2x可以解释为某物体作变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x. 4.函数 y = f (x) = x3 的导数 5.函数 y = f (x) = 的导数 6.函数 y = f (x) = 的导数 知识归纳 例1 不饱和食盐溶液蒸发到一定程度时，会慢慢析出氯化钠晶体．已知氯化钠晶体为立方体形状，当立方体的棱长 x 变化时，其体积关于 x 的变化率是立方体表面积的多少? 解：立方体的体积 V(x) = x³，表面积 S(x) = 6x² ． 因为 V '(x) = (x³)' = 3x²． 所以其体积关于 x 的变化率为 3x²， 是立方体表面积的 ． 先表示出体积和表面积，再结合导数的物理意义分析. 1.正方形的边长x变化时，其面积关于x的变化率是正方形周长的多少？ 解：正方体的面积为 S = x2，周长C = 4x ． 因为 S'(x) = (x2)' = 2x． 所以其面积关于 x 的变化率为 2x， 是周长的 ． 例2 写出过点A(-4，2)作曲线xy-1=0的切线，求切线方程. 解：由于点A不在曲线xy-1=0上， 所以可设所求的切线和曲线切于点B(u，v). 又曲线的方程可写成函数y=则y'=-. 故曲线在点B处切线的斜率k=-. 所以曲线在点B处的切线方程为y-v=-(x-u). 由题意可得，2-v=-(-4-u). ① 又点B在曲线xy-1=0上， 所以v=. ② 由①②得 因此，过点A有两条切线，方程分别为y+1=-(x+1) 和y-=-(x-2)，即分别为x+y+2=0和x+4y-4=0， 如图所示. y-v=-(x-u). 14 (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况： ①若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数; ②若已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解. (2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤： 方法归纳 15 解：令y=f(x)=, ∵f'(x)=-, ∴f'(1)=-1, 即在点M(1,1)处的切线的斜率为-1, 故切线方程为y-1=-(x-1), 即x+y-2=0. 2.曲线y=在点M(1,1)处的切线方程是　　　　 . x+y-2=0 3.已知函数 ，直线l为曲线y=f（x）的切线且过点(3,-1), 求直线l的方程． 问题1：点 是否在曲线上？ 问题2：函数在 处的导数是否是所求切线的斜率？ 问题3：如何求这条切线方程？ 4.已知函数 ，求过曲线 上点 且与过这点的切线垂直的直线方程． 解:易知, 过曲线y=f（x）上点(-1,-1)的切线的斜率为-1， 所以与它垂直的直线的斜率为1,所以所求直线方程为 曲线 在点（ ）处的切线的斜率． 2.求函数 的导数的一般步骤： 六个基本函数的导数： （1） 的导数 ； （2） 的导数 ； （3） 的导数 ； （4） 的导数 ； （5） 的导数 ； （6） 的导数 ． 解：设切点为 ，直线的斜率： ， 直线l的方程为： ， 即： 又因为直线l过点 ， 所以： ，解得： 或 所以所求的切线方程为： 或 ，即： 或 ． 1．六个基本函数的导数： （1） 的导数 ； （2） 的导数 ； （3） 的导数 ； （4） 的导数 ； （5） 的导数 ； （6） 的导数 ． 2．注意“过”与“在”的区别： （1）“在”表示该点即为切点； （2）“过”表示该点不一定为切点，需要设切点求解； $