1.1.3 导数的几何意义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

1.1.3 导数的几何意义 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 课时目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.会求简单函数的导函数. 2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点_________处的切线的______. (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数即为曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k=f'(x0).此时曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).如果切线的倾斜角为α，则tan α=f'(x0). (2)若函数y=f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，表明曲线在该点处有切线，且切线与x轴垂直或曲线在该点处无切线. (x0，f(x0)) 斜率 CONTENTS 目录 1 2 题型(一) 利用导数的几何意义判断 函数的图象变化　 题型(二) 利用导数的几何意义求解 切线问题　 课时跟踪检测 1 题型(一)　利用导数的几何意义 判断函数的图象变化 01 [例1]　若函数y=f(x)的导函数在区间[a，b]内单调递增，则函数y=f(x)在区间[a，b]内的图象可能是 (　　) √ 解析：函数y=f(x)的导函数y=f'(x)在[a，b]内单调递增，由导数的几何意义可知，曲线y=f(x)在区间[a，b]内各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合. |思|维|建|模| (1)曲线f(x)在x=x0附近的变化情况可通过在x=x0处的切线刻画.f'(x0)>0说明曲线在x=x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x=x0附近曲线是上升的;f'(x0)<0说明在x=x0附近曲线是下降的. (2)曲线在某点处的切线斜率反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢. 针对训练 1.已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系正确的是 (　　) A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2) B.0<f'(2)<f(3)-f(2)<f'(3) C.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2) D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3) √ 解析：kAB==f(3)-f(2)，f'(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，f'(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，根据图象可知0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2). 题型(二)　利用导数的几何意义 求解切线问题 02 题点1　求切线方程 [例2]　已知曲线y=x3+，求曲线在点P(2，4)处的切线方程. 解：∵P(2，4)在曲线y=x3+上， ∴曲线在点P(2，4)处切线的斜率为 k= = =4. ∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为 y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0. 　[变式拓展] 1.本例条件不变，求曲线过点P(2，4)的切线方程. 解：设曲线y=x3+与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率为k= =， ∴切线方程为y-=(x-x0)，即y=x-+. ∵点P(2，4)在切线上，∴4=2-+，即-3+4=0. ∴+-4+4=0，∴(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0， ∴(x0+1)(x0-2)2=0，解得x0=-1或x0=2. 故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0. 2.本例条件不变，求满足斜率为1的曲线的切线方程. 解：设切点为(x0，y0)， 由变式拓展1可知切线的斜率为k=， 即=1，x0=±1，∴切点为或(-1，1)， ∴切线方程为y-=x-1或y-1=x+1， 即3x-3y+2=0或x-y+2=0. |思|维|建|模| 求曲线切线方程的两种情形 (1)如果所给点P(x0，y0)是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)，即得切线的斜率k=f'(x0)，再根据点斜式得出切线方程. (2)如果所给点P不是切点，应先设出切点M(x0，y0)，再求切线方程.要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P不一定是切点，也不一定在曲线上. 题点2　求切点坐标或参数 [例3]　已知曲线f(x)=x3+ax在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则实数a=(　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 √ 解析：f'(1)===(d2+3d+3+a)=3+a. 又曲线f(x)在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，∴f'(1)·=(3+a)·=-1，解得a=1. [例4]　已知f(x)=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为__________.  解析：设切点坐标为(x0，y0)，则[2(x0+d)2+1]-(2+1)=4x0d+2d2， ∴f'(x0)==4x0. 又∵切线的斜率为k=tan 45°=1，∴4x0=1，即x0=. ∴y0=2×+1=，∴切点坐标为. |思|维|建|模| 求切点坐标的步骤 (1)设出切点坐标; (2)利用导数或斜率公式求出斜率; (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标; (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标. 针对训练 2.已知曲线f(x)=2x2上一点A(2，8)，则在点A处的切线斜率为 (　　) A.4 B.16 C.8 D.2 √ 解析：∵==4x+2d，当d→0时，4x+2d→4x，∴f'(x)=4x，∴f'(2)=4×2=8，即斜率k=8. 3.直线l：y=x+a(a≠0)和曲线C：y=x3-x2+1相切，则a的值为________，切点坐标为_________.  解析：设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)， 因为y'==3x2-2x， 则y'=3-2x0=1，解得x0=1或x0=-. 当x0=1时，y0=-+1=1.又因为(x0，y0)在直线y=x+a上， 将x0=1，y0=1代入得a=0，与已知条件矛盾，舍去. 当x0=-时，y0=-+1=，则切点坐标为， 将代入直线y=x+a中得a=. 　 4.已知曲线f(x)=x2-1在x=x0处的切线与曲线g(x)=1-x3在x=x0处的切线互相平行，求x0的值. 解：对于曲线f(x)=x2-1，=2x0+d， 当d→0时，2x0+d→2x0. 对于曲线g(x)=1-x3，=-3x0d-3-d2， 当d→0时，-3x0d-3-d2→-3， 所以2x0=-3，所以x0=0或x0=-. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.函数f(x)在x=x0处导数f'(x0)的几何意义是 (　　) A.在点x=x0处的斜率 B.在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角正切值 C.点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率 D.曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)) 处的切线的斜率 √ 解析：f'(x0)的几何意义是在切点(x0，f(x0))处的切线斜率.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则f(5)+f'(5)= (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 √ 解析：易得切点P(5，3)，∴f(5)=3，k=-1， 即f'(5)=-1，∴f(5)+f'(5)=3-1=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知函数f(x)满足f'(x1)>0，f'(x2)<0，则在x=x1和x=x2附近符合条件的f(x)的图象大致是 (　　) √ 解析：由f'(x1)>0，f'(x2)<0可知，f(x)的图象在x=x1处切线的斜率为正，在x=x2处切线的斜率为负. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是(　　) A.(0，0) B.(2，4) C. D. √ 解析：==2x+d，当d→0时，2x+d→2x，∴f'(x)=2x.令2x=tan=1，得x=，∴y==，所求点的坐标为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.[多选]下列命题正确的是 (　　) A.若f'(x0)=0，则函数f(x)在x0处无切线 B.函数y=f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点 C.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为2x-y=0，则当d→0时，=1 D.若函数f(x)的导数f'(x)=x2-2，且f(1)=2，则f(x)的图象在x=1处的切线方程为x+y-3=0 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：若f'(x0)=0，则函数f(x)在x0处的切线斜率为0，故A错误;函数y=f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函数f(x)=x3-3x，在x=1处的切线为y=-2，与函数的图象还有一个公共点(-2，-2)，故B正确;因为曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为2x-y=0，所以f'(1)=2. 又= -·，故当d→0时，→-f'(1)=-1≠1，故C错误;因为函数f(x)的导数f'(x)=x2-2，所以f '(1)=12-2=-1.又f(1)=2，所以切点坐标为(1，2)，斜率为-1，所以切线方程为y-2=-(x-1)，化简得x+y-3=0，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设=a，则下列不等式正确的是(　　) A.a<f'(2)<f'(4) B.f'(2)<a<f'(4) C.f'(4)<f'(2)<a D.f'(2)<f'(4)<a √ 解析：由题图可知，在[2，4]内，函数增长的越来越快，故函数图象的切线斜率越来越大，而(2，f(2))，(4，f(4))两点连线的斜率为，其大小在点(2，f(2))处的切线斜率f'(2)与点(4，f(4))处的切线斜率f'(4)之间，所以f'(2)<a<f'(4). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为(　　) A. 　B.[-1，0] C.[0，1] 　D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：==2x+d+2， 当d→0时，2x+d+2→2x+2，∴f'(x)=2x+2. ∴可设P点横坐标为x0，则曲线C在点P处的切线斜率为2x0+2. 由已知得2x0+2≥1，∴x0≥-，∴点P横坐标的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知曲线y=f(x)=2-与y=g(x)=x3-x2+2x 在x=x0处的切线的斜率之积为3，则x0的值为(　　) A.-2 B.1 C. D.2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意知，==， 当d→0时，=. = ==3+3x0d+d2-2x0-d+2，当d→0时，3+3x0d+d2-2x0-d+2→3-2x0+2，所以两曲线在x=x0处的切线的斜率分别为k1=f'(x0)=，k2=g'(x0)=3-2x0+2.由题意可知，k1k2=3，即=3，解得x0=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知函数y=f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x-y-2=0平行，则y'|x=2=__________.  解析：因为直线3x-y-2=0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y'=3. 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)， (6，4)，则=__________.  解析：由导数的概念和几何意义知，=f'(1)=kAB==-2. -2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知函数y=ax2+b在点(1，3)处的切线斜率为2，则=_____________.  解析：∵f'(1)=2，又==(ad+2a)=2a，∴2a=2， ∴a=1.又f(1)=a+b=3，∴b=2，∴=2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1，1)，Q(2，-1)，且在点Q处与直线y=x-3相切，求实数a，b，c的值. 解：∵曲线y=ax2+bx+c过点P(1，1)，∴a+b+c=1.① ∵y'== =(2ax+b+ad)=2ax+b，∴y'|x=2=4a+b，∴4a+b=1.② 又曲线过Q(2，-1)点，∴4a+2b+c=-1，③ 联立①②③解得a=3，b=-11，c=9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)试求过点P(3，5)且与曲线y=x2相切的直线方程. 解：设所求切线的切点为A(x0，y0)，则f'(x0)==2x0. ∵点A在曲线y=x2上，∴y0=，又∵A是切点， ∴过点A的切线的斜率k=2x0，∵所求切线过P(3，5)和A(x0，y0)两点， ∴其斜率为=.∴2x0=，解得x0=1或x0=5. 从而切点A的坐标为(1，1)或(5，25). 当切点为(1，1)时，切线的斜率为k1=2x0=2. 当切点为(5，25)时，切线的斜率为k2=2x0=10. ∴所求的切线有两条，方程分别为y-1=2(x-1)和y-25=10(x-5)，即y=2x-1和y=10x-25. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0)，若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求a的值. 解：= ==3x2+2ax-9+(3x+a)d+d2， 当d→0时，3x2+2ax-9+(3x+a)d+d2→3x2+2ax-9， 即f'(x)=3x2+2ax-9， ∴f'(x)=3-9-，当x=-时，f'(x)取最小值-9-. 又斜率最小的切线与12x+y=6平行， ∴-9-=-12，即a2=9，解得a=±3，又a<0，∴a=-3. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $