1.1.3 导数的几何意义课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第1章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义 2.函数的平均变化率的几何意义： 曲线的割线的斜率 x y O y=f(x) A B x1 x2 f(x1) f(x2) x2-x1 f(x2)-f(x1) 你还记得平均变化率的几何意义吗 函数的瞬时变化率，数学上叫作函数的导数或微商. f ′(x0)(d→0) 3.函数的瞬时变化率与导数 导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况. 导数有怎样的几何意义，我们如何研究呢？ 4.求函数 y = f (x)的导数的一般方法 简记：一差、二比、三极限. 如图，曲线C是函数y=f(x)的图象， P(x0，y0)是曲线C上的任意一点， Q(x0+Δx，y0+Δy)为P邻近一点， PQ为C的割线，PM//x轴，QM//y轴， β为PQ的倾斜角. 导数的几何意义 β β P y=f(x) Q M Δx Δy O x y 斜率! P Q o x y y=f(x) 割线 切线 T 思考：观察当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况，你能发现这个移动过程的特点吗？ 如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线. 随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近逼近曲线C， 直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线．这种方法叫割线逼近切线. 当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的 y O x P Q 历史上，牛顿在研究瞬时速度的计算时发现了导数，而莱布尼兹是在寻求切线作图方法时发现了导数，可谓殊途同归. y=f(x) 7 牛顿 莱布尼茨 微积分的创始人 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P，即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 此处的切线定义是以逼近的方式对切线作出的定义 初中学过的圆的切线是从直线和圆的公共点个数的角度定义的. 想一想：通过逼近方式对切线作出的定义，是否适用于圆的切线呢？ P0 P 圆的切线的定义：与圆有且只有一个公共点的直线 ，该公共点称为切点. 切线过某点，这点不一定是切点. 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 即: 注意： ①该定义提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②揭示了切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数f ′(x0). P x y O T (x0, f (x0)) 导数的几何意义 若曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f ′(x0)不存在， 则该曲线在点P处的切线与y轴平行，即切线的倾斜角为直角. (2) f ′(x0)>0，切线的倾斜角为锐角； f ′(x0)<0，切线的倾斜角为钝角； f ′(x0)=0，切线的倾斜角为0°. P x y O T (x0, f (x0)) 例1 求函数f(x)=x2-3x+c的图像上点P(u,f(u))处切线的斜率. 解：在曲线上另取一点Q(u+d,f(u+d)). 在所求得的斜率表达式中， 因此，所求切线的斜率k=2u-3. 求切线的斜率的步骤 (3)当d无限趋近于0时, 无限趋近于一个常数, 此常数即为点P处切线的斜率. (1) 设点P(x0，f(x0))，Q(x0+d，f(x0+d))； (2) 求割线的斜率kPQ； 方法归纳 例2: 求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1，2)处的切线方程. 因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x. 要求切线方程，得先确定斜率 y x O y = f(x) x x0 X0＋x P Q f (x0+x)  f (x0) 切线 割线 P（x0,f(x0)) Q(x0+△x,f(x0+ △x)) △x>0时,点Q位于点P的右侧 y=f(x) △x<0时,点Q位于点P的左侧 2.求出割线PQ的斜率 ，并化简. 求曲线y=f (x)上一点P(x0,f(x0))处切线斜率的一般步骤： 3. 令Δx 趋向于0，若上式中的割线斜率“逼近”一个常数，则其即为所求切线斜率． 1.设曲线上另一点Q(x0+Δx,f(x0 + Δx)) M （即 y） 方法归纳 16 （1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线 在点(x0，f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 求切线方程的步骤 无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导数概念. 方法归纳 1.如图已知曲线 ，求: (1) 点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. y x -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 3 4 O P 所以点P处的切线的斜率等于22=4. (2)在点P处的切线方程是y- =4(x-2),即12x-3y-16=0. 19 20 针对以下内容，回顾本节课所学知识： 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的　　　 　　.也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是　　 .相应地，切线方程为 . 切线的斜率 f ′(x0) y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0) P x y O T (x0, f (x0)) 1.导数的几何意义 2.利用导数的几何意义求切线方程 (1)当已知的点在曲线上且切于该点时，直接利用导数求切线的斜率，写出直线方程． (2)当已知点不在曲线上，设出切点，利用导数表示出切线斜率，写出切线方程，代入点的坐标，求出切点坐标，写出直线方程． 注意：曲线过某点,该点不一定是切点. A ==1-. 当d→0时,→2,则f'(1)=-1, ∴曲线在点A处的切线斜率为-1. 2.曲线f(x)=x+在点A(1,3)处的切线斜率为（ ） A.-1 B.1 C.2 D.3 A 3.(多选)过点(2,0)作曲线y=f(x)=x3的切线l,则直线l的方程可能为（ ） A.y=0 B.x=0 C.12x-y-24=0 D.27x-y-54=0 AD 解：由f(x)=x3,设切点(x0,). 则=3x0d+3+d2, 当d→0时,3x0d+3+d2→3, ∴在x=x0处的切线方程为y-=3(x-x0), 把点(2,0)代入并解得x0=0或x0=3. ①当x0=0时,切线方程为y=0; ②当x0=3时,切点为(3,27), 斜率k=27, 故切线方程为y-27=27(x-3), 整理得27x-y-54=0. 1.函数的平均变化率： eq \f(△y,△x)＝ eq \f(y2－y1,x2－x1) （或 eq \f(△f,△x)＝ eq \f(f(x2)－f(x1),x2－x1)） kAB＝ eq \f(y2－y1,x2－x1)＝ eq \f(△y,△x) 即f ′(x0)＝ eq \o(lim,\s\do7(d→0))\f(f(x0+d)－f(x0),d) 定义 设函数y=f(x)在包含x0的某个区间上有定义，在d趋近于0时，如果比值 eq \f(f(x0+d)－f(x0),d)趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为函数y=f(x)在x=x0处的导数或微商，记作f ′(x0)或y′|x=x0. eq \f(f(x0+d)－f(x0),d) (1)(3，30)　设点P坐标为(x0，y0)， 则eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),(x0＋Δx)－x0)＝eq \f(2(Δx)2＋4x0Δx＋4Δx,Δx)＝4x0＋4＋2Δx． 当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4， 因此4x0＋4＝16，即x0＝3，所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30． 即点P坐标为(3，30). 2.(1)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16， 则点P的坐标为________． (2)已知曲线y＝3x2－x，求曲线上一点A(1，2)处的切线的 斜率及切线方程． (2)[解]　设A(1，2)，B(1＋Δx，3(1＋Δx)2－(1＋Δx))， 则kAB＝eq \f(3(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(3×12－1),Δx)＝5＋3Δx， 当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5， 所以曲线y＝3x2－x在点A(1，2)处的切线斜率是5． 切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0． 2.(1)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16， 则点P的坐标为________． (2)已知曲线y＝3x2－x，求曲线上一点A(1，2)处的切线的 斜率及切线方程． 1.如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)＝(　　) A．　　　B．3 C．4 D．5 解：根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线的斜率k，注意到k＝＝，所以f′(4)＝. $