1.1.2 瞬时变化率与导数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

1.1.2 瞬时变化率与导数 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程. 2.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.瞬时速度 若物体的运动方程为s=f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是平均速度v(t，d)=____________在___________时的极限.这个极限记 为________________. 2.函数的瞬时变化率 一般地，若函数y=f(x)的平均变化率______________在d趋近于0时，有确定的极限值，则称这个值为该函数在______处的瞬时变化率. 函数的瞬时变化率，数学上叫作函数的导数或微商. 3.导数(微商)的定义 设函数y=f(x)在包含x0的某个区间上有定义，在d趋近于0时，如果 比值__________________趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为函数y=f(x)在_______处的导数或微商，记作f'(x0). 这时我们就说f(x)在点x0处的导数存在，或者说f(x)在点x0处可导或可微. 4.导函数(一阶导数) (1)若y=f(x)在定义区间中________的导数都存在，则f'(x)(或y')也是x的函数，我们把f'(x)(或y')叫作y=f(x)的导函数或一阶导数. (2)若f'(x)在定义区间中任一点处都可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f″(x). 任一点 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)瞬时变化率是刻画某函数在区间(v，d)上函数值的变化快慢的物理量. (　　) (2)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与d的正、负无关. (　　) (3)设x=x0+d，当d→0时，x→x0，因此，→f'(x0). (　　) 基础落实训练 × √ √ 2.一直线运动的物体，从时间t到t+d时，物体的位移为Δs，那么d趋于0时，为(　　) A.从时间t到t+d时物体的平均速度 B.在t 时刻物体的瞬时速度 C.当时间为t+d时物体的速度 D.在时间t+d时物体的瞬时速度 √ 解析：中d趋于0时得到的数值是物体在t时刻的瞬时速度. 3.当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 (　　) A.在区间[x0，x1]上的平均变化 B.在x0处的变化率 C.在x1处的变化量 D.在区间[x0，x1]上的导数 √ 4.已知f'(1)=1，则当d→0时，→__________.  1 解析：当d→0时，→f'(1)=1. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　运动物体的瞬时速度 [例1]　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示，求物体在t=1 s时的瞬时速度. 解：∵ ==3+d， 当d→0时，3+d→3， ∴物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s. 　[变式拓展] 1.在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度. 解：求物体的初速度，即求物体在t=0时的瞬时速度. ∵==1+d，∴当d→0时，1+d→1. ∴物体在t=0时的瞬时速度为1 m/s，即物体的初速度为1 m/s. 2. 在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. ∵=2t0+1+d. ∴当d→0时，2t0+1+d→2t0+1，则2t0+1=9， ∴t0=4，则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. |思|维|建|模| 求运动物体瞬时速度的3个步骤 (1)求时间改变量d和位移改变量s(t0+d)-s(t0); (2)求平均速度=; (3)求瞬时速度，当d无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度. 针对训练 1.如果一个物体的运动方程s(t)=试求该物体在t=1和t=4时的瞬时速度. 解：当t=1时，s(t)=t2+2，则==2+d， 当d无限趋近于0时，2+d无限趋近于2， ∴该物体在t=1时的瞬时速度为2. ∵t=4∈[3，+∞)，∴s(t)=29+3(t-3)2=3t2-18t+56，∴ == =3d+6，∴当d无限趋近于0时，3d+6无限趋近于6， ∴该物体在t=4时的瞬时速度为6. 题型(二)　函数的瞬时变化率——导数 [例2]　求函数f(x)=2x2+4x在x=3处的导数. 解：法一　f(3+d)-f(3)=2(3+d)2+4(3+d)-(2×32+4×3) =12d+2d2+4d=2d2+16d， ∴==2d+16， ∴当d→0时，f'(3)=16. 法二　==4x+2d+4→4x+4(d→0)， 即f'(x)=4x+4，∴f'(3)=4×3+4=16. |思|维|建|模| (1)求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤： 第一步，求函数的增量f(x0+d)-f(x0); 第二步，求平均变化率; 第三步，取极限，得到导数f'(x0). 以上步骤简称：一差，二比，三极限. (2)利用定义求函数的导数时要注意函数解析式中有分式时要通分. 针对训练 2.设函数f(x)=ax+1，若f'(1)=2，则a= (　　) A.2 B.-2 C.3 D.-3 √ 解析：∵f'(1)===a，且f'(1)=2，∴a=2.故选A. 3.求函数y=x2-在x=1处的导数值. 解：令y=f(x)=x2-， 则f(1+d)-f(1)=(1+d)2--1+1=d2+2d+1-=d2+2d+， 所以=d+2+.当d→0时，d+2+→2+1=3. 因此函数y=x2-在x=1处的导数值为3. 题型(三)　瞬时变化率的意义 [例3]　求球的体积在半径为3时的瞬时变化率，并指出这一瞬时变化率的实际意义. 解：球的体积公式为V(r)=πr3， V(3+d)-V(3)=π(3+d)3-π×33=π(27d+9d2+d3)， 当d→0时，π(27+9d+d2)→36π， 故球在r=3时的瞬时变化率为36π. 这一瞬时变化率的实际意义为球的表面积. |思|维|建|模| 认识瞬时变化率的关键点 (1)极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限. (2)函数y=f(x)在x=x0处的导函数f'(x0)反映了函数在x=x0处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况. 针对训练 4.某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单位：元)与产量x(单位：台)之间的关系式为c(x)=-2x2+7 000x+600. (1)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均变化率; 解：当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均变化率为 = =2 000(元/台). (2)求c'(1 000)与c'(1 500)，并说明它们的实际意义. 解：设x=1 000时产量的改变量为d1， 则===-2d1+3 000. 令d1→0，可得c'(1 000)=3 000. 设x=1 500时产量的改变量为d2， 则===-2d2+1 000. 令d2→0，可得c'(1 500)=1 000.c'(1 000)的实际意义：当产量为1 000台时，多生产1台旋切机可多获得3 000元;c'(1 500)的实际意义：当产量为1 500台时，多生产1台旋切机可多获得1 000元. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知物体做直线运动的方程为s=s(t)(位移单位：m，时间单位：s)，则s'(4)=10 m/s表示的意义是 (　　) A.经过4 s后物体向前走了10 m B.物体在前4 s内的平均速度为10 m/s C.物体在第4 s内向前走了10 m D.物体在第4 s末的瞬时速度为10 m/s √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.函数y=f(x)=x2在x=1处的导数为 (　　) A.2x B.2+d C.2 D.1 √ 解析：y=x2在x=1处的导数为f'(1)，则=2+d→2(d→0)，∴f'(1)=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.一物体做加速直线运动，假设t s时的速度为v(t)=t2+3，则t=2时物体的加速度为 (　　) A.4 m/s2 B.3 m/s2 C.2 m/s2 D.1 m/s2 √ 解析：因为v(t)=t2+3， 可得v'(2)===(4+d)=4， 所以t=2时物体的加速度为4 m/s2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.若f'(x0)=2，则=(　　) A.2 B.-2 C.-1 D.1 √ 解析：因为f'(x0)==2， 所以=-×=-f'(x0)=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知f(x)=，且f'(m)=-，则m的值等于(　　) A.-4 B.2 C.-2 D.±2 √ 解析：因为平均变化率为==.当d→0时，→-，所以-=-，m2=4，解得m=±2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.设f(x)为可导函数，则满足=-1，则f'(1)为(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 √ 解析：令x→0，则d=1-(1-2x)=2x→0， 所以 ==f'(1)=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比.若车轮开始转动后的第一圈需要1 s，则车轮转动开始后第2 s时的瞬时速度为 (　　) A.π B.2π C.4π D.8π √ 解析：设角度θ关于时间t的函数关系式为θ(t)=kt2(k≠0)，由已知得2π=k·12，即k=2π，故θ(t)=2πt2(k≠0).第2 s时的瞬时速度即为θ'(2).由于=2πd+8π，所以θ'(2)=(2πd+8π)=8π，即第2 s时的瞬时速度为8π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.[多选]甲、乙速度v与时间t的关系如图，a(b)是t=b时的加速度，s(b)是从t=0到t=b的路程，则下列说法正确的是 (　　) A.a甲(b)>a乙(b) B.a甲(b)<a乙(b) C.s甲(b)>s乙(b) D.s甲(b)<s乙(b) √ √ 解析：加速度是速度对t的导数，由题图可得甲在b处的加速度小于乙在b处的加速度;由题图知t=0到t=b甲的速度总大于等于乙的速度，所以甲从t=0到t=b的路程大于乙从t=0到t=b的路程. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)物体做匀速运动，其运动方程是s=vt，则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是_____________.  解析：物体做匀速直线运动，所以任何时刻的瞬时速度都是一样的. 相等 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)若可导函数f(x)的图象过原点，且满足=-1，则f'(0)=__________.  解析：∵f(x)的图象过原点，∴f(0)=0， ∴f'(0)== =-1. -1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)函数y=在x=x0(x0≠0)处的导数为______，在点________处的导数为.  解析：因为==， 所以y'=.令=， 得x0=1，此时y0==1， 即函数y=在点(1，1)处的导数为. 　 (1，1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的导数为f'(x)，若f'(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为____________.  解析：由导数的定义，得f'(0) == =(ad+b)=b>0.又 ∴ac≥，∴c>0.∴=≥≥=2. 当且仅当a=c=时等号成立. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)求函数y=f(x)=x-在x=-1处的导数. 解：函数增量为f(-1+d)-f(-1)=-1+d--0=. ∴函数的平均变化率为=， 当d趋近于0时，趋近于2.∴f'(-1)=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)某一运动物体，在x(单位：s)时离开出发点的距离(单位：m)是f(x)=x3+x2+2x. (1)求在第1 s内的平均速度;(2分) 解：物体在第1 s内的平均变化率(即平均速度)为=m/s. (2)求在第1 s末的瞬时速度;(2分) 解：==6+3d+d2， 当d→0时，→6，所以物体在第1 s末的瞬时速度为6 m/s. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s?(6分) 解：= =2x2+2x+2+d2+2xd+d， 当d→0时，→2x2+2x+2， 令2x2+2x+2=14，解得x=2(舍负)， 即经过2 s该物体的运动速度达到14 m/s. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，运动方程为s=at2，如果它的加速度是a=5×105 m/s2，子弹在枪筒中的运动时间为1.6×10-3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度. 解：已知s=at2.因为s(t0+d)-s(t0)=a(t0+d)2-a=adt0+ad2， 所以=at0+ad，所以当d无限趋近于0时， at0+ad无限趋近于at0.由题意，知a=5×105 m/s2，t0=1.6×10-3s， 所以at0=8×102=800(m/s)，即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $