1.1.2瞬时变化率与导数 （教学课件）数学湘教版选择性必修第二册

1.1导数概念及其意义 1.1.2瞬时变化率与导数 湘教版选择性必修第二册 第1章导数及其应用 湘教版选择性必修第二册 学习目标 目标 1 理解平均速度与瞬时速度的关系,会求运动物体的瞬时速度. 理解函数的导数的含义以及瞬时变化率与导数的关系,能够根据瞬时变化率求函数在某一点处的导数. 重点 2 难点 3 函数的导数的含义以及瞬时变化率与导数的关系,能够根据瞬时变化率求函数在某一点处的导数. 函数的导数的含义以及瞬时变化率与导数的关系 新课导入 伽利略是意大利文艺复兴时期的重要科学家、数学家和物理学家，同学们，你知道伽利略在物理学上最重要的贡献是什么吗？ 亲爱的同学们，你知道伽利略是如何测量得出这个函数关系式吗？ 科学家伽利略 通过实验和推理发现了自由落体的运动定律:物体下落的距离和所用的时间的平方成正比,如果距离单位用,时间单位用,实验测出它们之间近似地有以下函数关系: 新课导入 如果直接让物体从空中下落，它落的很快，不便观察测量，于是伽利略让小球从光滑斜面上由静止滚下来,小球在斜面上滚下的距离s（m）与所用的时间之间有函数关系 叫作小球的运动方程 新课导入 问题2：在实验中，伽利略看到，从斜面上向下滚的小球，随着时间的推移越滚越快，只用平均速度能不能精确的描述小球的运动状态？ 问题1：根据上节课所学，请你能利用这个运动方程计算小球在[a,b]上的平均速度吗？ 为更精确的了解小球的运动状态，我们需要计算小球每个时刻的瞬时速度,而这个工作伽利略没能完成 百年后， 牛顿给出了瞬时速度的概念和计算方法 下面咱们展示一下牛顿的创意 新课讲授 设小球在某个斜面上向下滚动的运动方程为 问题3：请大家计算小球在2s到2.1s之间的平均速度 小球在秒到秒之间的平均速度 新课讲授 我们用同样的方法，可以求得区间[2,2.01]内的平均速度 时间区间 间隔/ 平均速度/ 时间区间 间隔 平均速度/ 1 ... ... ... ... ... ... 问题4：观察下面的各个时间段上的平均速度，你有什么发现？ 从计算结果可以发现，当时间间隔越来越小时，无论t从小于2的一边，还是大于2的一边趋近于2，对应的平均速度都趋近于12m/s. 问题5：时间间隔的缩小是一个无穷无尽的过程,有限的几次计算,真的能得出这个确定的结果吗从理论上推导吗？ 设是一个绝对值非常小的非零数,在时间区间或这段时间内,小球运动的平均速度为 当时间间隔趋近于时,平均速度趋近于 我们12m/s叫做小球在2s时的瞬时速度 新课讲授 当d越来越趋近于0时，这个平均速度越来越趋近于12m/s 这个极限记为 瞬时速度:若物体的运动方程为s=f(t)则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是平均速度 在d趋近于0时的极限. 新课讲授 v(t)= 【例题精讲】 例1.运动员从高台跳水时,从腾空到进入水面的过程中,不同时刻的速度是不同的,设起跳后运动员相对水面的高度(单位)为，计算在时运动员的瞬时速度. 典例分析 解:运动员在或这段时间区间的平均速度为 在平均速度表达式中,当趋近于时,趋近于 在时运动员的瞬时速度为 若y =f (x)作为运动方程时，则 平均速度 平均变化率 若y =f (x)作为函数时，则 类比联系 问题6：平均速度当区间长d趋近于0时的极限值叫瞬时速度，那么函数的平均变化率的极限值应该叫什么呢？ 瞬时变化率:一般地，若函数的平均变化率 在d趋近于0时，有确定的极限值，则称这个值为该函数在x=u处的瞬时变化率. 新课讲授 若y =f (x)作为运动方程时，则 瞬时速度 瞬时变化率 若y =f (x)作为函数时，则 类比联系 导数：设函数 在包含 的某个区间上有定义，在d趋近于0时,如果比值 趋近于一个确定的极限值,则称此极限值为函数 在 处的导数或微商，记作 . 新课讲授 与的值有关,不同的其导数值一般也不同 与的具体取值无关 .瞬时变化率与导数是同一个概念的两个名称 新课讲授 导函数：若函数在定义区间中任一点的导数都存在，则也是的函数,我们把叫作的导函数或一阶导数 或 或 若在定义区间中任一点处都可导 则它的导函数叫作的二阶导数,记作 类似的,可以定义函数的三阶导数,记作 新课讲授 例7 投石入水,水面会产生圆形波纹区,且圆的面积随着波纹的传播半径的增大而增大,如图所示,计算: （1）半径从增大到时,圆面积相对于的平均变化率 （2）半径时,圆面积相对于的瞬时变化率 解:()圆面积相对于半径的平均变化率为 ()当趋近于,表达式,圆面积相对于的瞬时变化率为,恰为此时 圆的周长 典例分析 例8 在初速度为零的匀加速直线运动中,路程和时间的关系为 （1）求关于的瞬时变化率,并说明其物理意义 （2）求运动物体的瞬时速度关于的瞬时变化率,并说明其物理意义 典例分析 解:(1)关于的瞬时变化率就是函数的导数,按定义计算: 当时,,因此 关于的的瞬时变化率就是运动物体的瞬时速度 解:(2)运动物体的瞬时速度关于的瞬时变化率,实际上就是函数的导数按照定义计算: 当时,还是,所以 运动物体的瞬时速度关于的瞬时变化率就是运动物体的加速度 典例分析 学以致用 课本第10页练习2 练习　将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时，原油的温度(单位: ℃)为y = f (x) = x2 – 7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2 h和第6 h，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 21 课堂小结 1 瞬时变化率:平均变化率在趋近于0时的极限值就是函数在处的瞬时变化率,就是函数在处的瞬时变化率 2 导数的定义:设函数在包含的某个区间上有定义,在趋近于 0时,如果比值 趋近于一个确定的极限值,则称此极限 为函数在处的导数或微商,记作 3 导函数、二阶导数、三阶导数的定义 湘教版选择性必修第二册 感谢聆听 $$