1.1.2瞬时变化率与导数 课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

1.1.2 瞬时变化率与导数 伽利略是意大利文艺复兴时期的重要科学家、数学家和物理学家. 科学家伽利略 他通过实验和推理发现了自由落体的运动定律:物体下落的距离和所用的时间的平方成正比,如果距离单位用,时间单位用,实验测出它们之间近似地有以下函数关系: 他是如何测量得出这个函数关系式的呢？ 物体做自由落体运动下落得非常快，无法测量 让一只小球在光滑的斜面上从静止滚下 斜面必须是光滑且足够长 距离s(m)和所用的时间t(s) 有函数关系：s=s(t)=at2 a只与斜面坡度有关 只能算出平均速度 伽利略斜面实验 为更精确的了解小球的运动状态，我们需要计算小球每个时刻的瞬时速度,而这个工作伽利略没能完成 百年后，牛顿给出了瞬时速度的概念和计算方法 牛顿 |瞬时速度和计算方法 求出来一个特定斜面的常数a，得到运动方程为 先计算出小球在2秒到2.1秒之间的平均速度 s(t)=3t2 用同样的方法，可以求得区间[2,2.01]内的平均速度 运用计算器我们可以求出更短时间内的平均速度 容易发现，当时间间隔越来越小的时候，无论t从小于2的一边还是大于2的一边趋近于2，对应的平均速度都趋近于12m/s 但时间间隔的缩小是一个无穷无尽的过程，有限的几次计算，真的能得出12m/s这个确定的结果吗？如何从理论上推导呢？ 时间区间 间隔/ 平均速度/ 时间区间 间隔 平均速度/ 1 ... ... ... ... ... ... 用字母来代替数，可以把这无穷多次运算一次完成 设d是一个绝对值非常小的非零数 在时间区间[2，2+d]或[2+d，2]这段时间内，小球运动的平均速度为 当d无限趋近于0时，3d可以忽略不计,这个平均速度确实越来越趋近于12m/s 时间段的长度趋近于0时，这段时间内的平均速度以12m/s为极限 这个极限值就是小球在2秒时的瞬时速度 注意：这里d始终不能为0，只是无限趋近于0. 若物体的运动方程为s=f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是平均速度 v(t，d)= 在d 0时的极限 概念1：瞬时速度的定义 这个极限记为 v(t)= 例1 运动员从高台跳水时,从腾空到进入水面的过程中,不同时刻的速度是不同的,设起跳后运动员相对水面的高度(单位)为，计算在时运动员的瞬时速度. 解:运动员在或这段时间区间的平均速度为 在平均速度表达式中,当趋近于时,趋近于. 在时运动员的瞬时速度为 想一想：如何表示运动员在某一时刻t0瞬时速度？ 解：物体在t到t+d这段时间内的平均速度为v==== 2t+d 1.已知某物体走过的路程s（m)与时间t(s)之间的函数关系式为s=t²-1. 通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度： (1) t=0 s; (2) t=2 s; (3) t=4 s. (1)t=0s时，d→0，则v=0； (2)t=2s时，d→0，则v=4； (3)t=4s时，d→0，则v=8. 练一练 若y =f (x)作为运动方程时，则 平均速度 平均变化率 若y =f (x)作为函数时，则 平均速度当区间长d趋近于0时的极限值叫瞬时速度 函数的平均变化率的极限值 瞬时变化率 一般地，若函数的平均变化率 在d趋近于0时，有确定的极限值，则称这个值为该函数在x=u处的瞬时变化率. 概念2：瞬时变化率的定义 若y =f (x)作为运动方程时，则 若y =f (x)作为函数时，则 瞬时速度 瞬时变化率 函数的瞬时变化率，数学上叫作函数的导数或微商 设函数 在包含 的某个区间上有定义，在d趋近于0时,如果比值 趋近于一个确定的极限值,则称此极限值为函数 在 处的导数或微商，记作 . 导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达. 概念3：导数的定义 注意： 与的值有关,不同的其导数值一般也不同； 与的具体取值无关； .瞬时变化率与导数是同一个概念的两个名称. 若函数在定义区间中任一点的导数都存在，则也是的函数,我们把叫作的导函数或一阶导数. 或 或 概念4：导函数的定义 若在定义区间中任一点处都可导 则它的导函数叫作的二阶导数,记作 类似的,可以定义函数的三阶导数,记作 2.求函数 在 x = 1处的瞬时变化率． 你是如何表示瞬时变化率的？与同学相同吗？ 例2 投石入水,水面会产生圆形波纹区,且圆的面积随着波纹的传播半径的增大而增大,如图所示,计算: （1）半径从增大到时,圆面积相对于的平均变化率. （2）半径时,圆面积相对于的瞬时变化率. ()当趋近于,表达式,圆面积相对于的瞬时变化率为,恰为此时圆的周长 解:()圆面积相对于半径的平均变化率为 例3 在初速度为零的匀加速直线运动中,路程和时间的关系为 （1）求关于的瞬时变化率,并说明其物理意义； （2）求运动物体的瞬时速度关于的瞬时变化率,并说明其物理意义. 解:(1)关于的瞬时变化率就是函数的导数,按定义计算: 当时,,因此 关于的的瞬时变化率就是运动物体的瞬时速度 (2)运动物体的瞬时速度关于的瞬时变化率,实际上就是函数的 导数按照定义计算: 当时,还是,所以 运动物体的瞬时速度关于的瞬时变化率就是运动物体的加速度 （2）求运动物体的瞬时速度关于的瞬时变化率,并说明其物理意义. 2.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却 和加热. 如果第 x h时，原油的温度(单位: ℃)为y = f (x) = x2 – 7x+15 (0≤x≤8) . 则第3 h时，原油温度的瞬时变化率为 ℃/h，此原油温度的瞬时 变化率的意义是 . 在第3h附近，原油温度大约以1℃/h的速率下降 练一练 试一试：算出在第6h时原油温度的瞬时变化率，你发现了什么？ -1 导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势. 导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势. 19 1.瞬时变化率:平均变化率在趋近于0时的极限值就是函数在处的瞬时变化率,就是函数在处的瞬时变化率. 3.导函数、二阶导数、三阶导数的定义. 2.导数的定义:设函数在包含的某个区间上有定义,在趋近于0时, 如果比值 趋近于一个确定的极限值,则称此极限为函数 在处的导数或微商,记作. 本节课你学到了哪些知识与方法，谈谈你的收获. 1.汽车在笔直公路上行驶,如果v表示t时刻的速度,则当d趋近于0时, 的意义是（ ） A.表示当t=t0时汽车的瞬时加速度 B.表示当t=t0时汽车的瞬时速度 C.表示当t=t0时汽车的路程变化率 D.表示当t=t0时汽车与起点的距离 A 解：球在t到t+d这段时间内的平均速度为 v= = = = 2t+d 当t=4s时，d→0，则v=8m/s. 2.如图，一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（m）与运动时间t（s）之间的函数关系为h=t2.则t=4s时，此球在斜面方向上的瞬时速度为 m/s. 8 3.有一边长为10 cm的正方形铁板（此时铁板温度为0°C），加热后铁板会膨胀，已知铁板温度为t°C（t > 0）时，其边长膨胀为10(1＋at)cm，其中a为常数，求铁板面积对温度t的瞬时膨胀率． $