1.1.1 函数的平均变化率-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

第1章 导数及其应用 导数概念及其意义 1.1 函数的平均变化率 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 1.1.1 课时目标 1.通过具体实例了解函数的平均变化率. 2.了解“以直代曲”的含义. 3.会求运动物体的平均速度. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一) 运动物体的平均速度　 逐点清(二) 函数的平均变化率　 逐点清(三) 平均变化率的几何意义　 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　运动物体的平均速度 01 　若在直线上运动的点P在任何时刻t的位置均可用f(t)表示,则从时刻a到时刻b的位移为__________.因为所花时间为______,所以在时间段[a,b]内动点P的平均速度为v[a,b]=____________. |微|点|助|解| 　　把速度v看成关于时间t的函数v=v(t),则物体在时间段[t1,t2]上的平均加速度=. 多维理解 f(b)-f(a) b-a 1.[多选]一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直距离h(单位:m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h(t)=2t2+2t ，则下列说法正确的是 (　　) A.前3 s内球滚下的垂直距离的增量为20 m B.在时间[2，3]内球滚下的垂直距离的增量为12 m C.前3 s内球在垂直方向上的平均速度为8 m/s D.在时间[2，3]内球在垂直方向上的平均速度为12 m/s √ 微点练明 √ √ 解析：前3 s内球滚下的垂直距离的增量为h(3)-h(0)=24 m，此时球在垂直方向上的平均速度为=8 m/s ，故A错误， C正确； 在时间[2 ， 3]内球滚下的垂直距离的增量为h(3)-h(2)=12 m. 此时球在垂直方向上的平均速度为=12 m/s,故B、D正确. 2.一个物体做直线运动,位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)=6t2+mt，且这一物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s，则实数m的值为 (　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 √ 解析：s(2)-s(1)=6×22+2m-(6×12+m)=18+m，因为物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s，所以==18+m=20 m/s，解得m=2. 3.某物体做自由落体运动,其运动方程为s(t)=gt2，其中t为下落的时间(单位：s)，g为重力加速度，大小为9.8 m/s2.求它在时间段[1,3]内的平均速度. 解：物体在时间段[1，3]内的平均速度为==2g=19.6(m/s),即它在时间段[1，3]内的平均速度为19.6 m/s. 逐点清(二)　函数的平均变化率 02 　一般地,函数y=f(x)的自变量有可能不是时刻,因变量有可能不表示位置,因而就不一定是平均速度,但仍然反映了因变量y随 自变量x变化的_______和变化____________,因此我们把________称为函数f(x)在区间[a,b]内的平均变化率. 多维理解 快慢 方向(增减) |微|点|助|解| (1)求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题： ①平均变化率的公式中,分子是区间两端点间的函数值的差,分母是区间两端点间的自变量的差. ②平均变化率的公式中,分子、分母中被减数同为右端点,减数同为左端点. (2)一次函数的平均变化率： 一次函数y=kx+b(k≠0)在区间[m,n]内的平均变化率为= =k.由上述计算可知,一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率与m,n的值无关,只与一次项系数有关,且其平均变化率等于一次项的系数. 1.已知函数y=f(x)，其中f(x)=x2-1，此函数在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 微点练明 解析：根据题意，函数f(x)=x2-1在区间[1，m]上的平均变化率为==m+1=3，所以m=2.故选B. 2.已知函数f(x)=2x2-x+1，则f(x)从1到1+Δx的平均变化率为 (　　) A.2Δx+3 B.4Δx+3 C.2(Δx)2+3Δx D.2(Δx)2-Δx+1 √ 解析：由f(x)=2x2-x+1，可得f(1)=2，f(1+Δx)=2(1+Δx)2-(1+Δx)+1 =2(Δx)2+3Δx+2.所以f(x)从1到1+Δx的平均变化率为 ==2Δx+3. 3.已知函数f(x)=x2+2x在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)=2x-3在[2，3] 上的平均变化率的2倍，则实数a的值为　　　　　.  解析：由题意，得函数f(x)在[0，a]上的平均变化率为==a+2，函数g(x)在[2，3]上的平均变化率为==2.由题意知a+2=2×2，解得a=2. 2 4.比较函数f(x)=2x与g(x)=x-1在区间[a-1，a](a<0)上的平均变化率的大小. 解：f(x)=2x在区间[a-1，a](a<0)上的平均变化率为 =2a-2a-1=2a-1; g(x)=x-1在区间[a-1，a](a<0)上的平均变化率为 =-=.∵a<0，∴a-1<-1，∴2a-1<2-1=， ∴f(x)=2x在区间[a-1，a](a<0)上的平均变化率比g(x)=x-1在区间[a-1，a] (a<0)上的平均变化率小. 逐点清(三)　平均变化率的几何意义 03 [典例]　某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段[t1，t2]，[t2，t3]，[t3，t4]，[t1，t4]上的平均速度的大小分别为，则平均速度最小的是(　　) A. B. C. D. √ 解析：由题意知，汽车在时间[t1，t2]，[t2，t3]，[t3，t4]，[t1，t4]的平均速度大小分别为，设路程y与时间t的函数关系为y=f(t)，则=，即为经过点(t1，f(t1))，(t2，f(t2))的直线的斜率k1，同理为经过点(t2，f(t2))，(t3，f(t3))的直线的斜率k2，为经过点(t3，f(t3))，(t4，f(t4))的直线的斜率k3，为经过点(t1，f(t1))，(t4，f(t4))的直线的斜率k4，如图，由图可知，k3最小，即最小. 1.如图所示，向一个圆台形的容器倒水，任意相等时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度h随时间t变化的函数为h=f(t)，定义域为D，设t0∈D，k1，k2分别表示f(t)在区间[t0-d，t0]，[t0，t0+d](d>0)上的平均变化率，则 (　　) A.k1>k2 B.k1<k2 C.k1=k2 D.无法确定 √ 针对训练 解析：由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，所以f(t)在区间[t0-d，t0]，[t0，t0+d](d>0)上的平均变化率越来越小，即k1>k2. 2.已知函数y=f(x)的图象如图所示.设函数y=f(x)从-1到1的平均变化率为v1，从1到2的平均变化率为v2，则v1与v2的大小关系为 (　　) A.v1>v2 B.v1=v2 C.v1<v2 D.不能确定 √ 解析：记v1==tan α1，v2==tan α2， 由题图易知α1<α2，所以v1<v2. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.已知某质点运动的方程是s=2+，当t由1变到2时，其路程的增量为(　　) A. B.- C.1 D.-1 √ 解析：-(2+1)=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.自由落体运动的公式为s(t)=gt2(g=10 m/s2)，若v=，则下列说法正确的是(　　) A.v是在0~1 s这段时间内的速度 B.v是1 s到(1+Δt)s这段时间内的速度 C.5Δt+10是物体在t=1 s这一时刻的速度 D.5Δt+10是物体从1 s到(1+Δt)s这段时间内的平均速度 √ 解析：由平均速度的概念可知，v===g+gΔt =10+5Δt，表示1 s到(1+Δt)s这段时间内的平均速度，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.一质点按运动方程s(t)=(s的单位为米，t的单位为秒)做直线运动，则其从t1=1秒到t2=2秒这段时间里的平均速度(单位：米/秒)为(　　) A.-1 B.- C.- D.- √ 解析：从t1=1秒到t2=2秒这段时间里的平均速度为=-=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.下列函数中，在区间[-1，0]内的平均变化率最大的是 (　　) A.y=x2 B.y=x3 C.y= D.y=2x √ 解析：y=x2在[-1，0]内的平均变化率为=-1;y=x3在[-1，0]内的平均变化率为=1;y=在[-1，0]内的平均变化率为=-1;y=2x在 [-1，0]内的平均变化率为=，故y=x3在[-1，0]内的平均变化率最大. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况如图所示，则下列说法正确的是 (　　) A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故A、B错误;在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，因为 s2-s0>s1-s0，t1-t0>0，所以>，则在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度，故C正确，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.函数f(x)=x+sin x在区间[0，π]内的平均变化率为 (　　) A.1 B.2 C.π D.0 √ 解析：f(x)=x+sin x在区间[0，π]内的平均变化率为 ==1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 7.某水库储水量与水深的关系如下表所示： 水深/(m) 0 5 10 15 20 25 30 35 储水量/(104 m3) 0 10 30 90 160 275 435 650 在35 m范围内，当水深每增加5 m时，水库储水量的平均变化率 (　　) A.不变 B.越来越小 C.越来越大 D.不能确定 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 水深/(m) 0 5 10 15 20 25 30 35 平均变化率/ (104 m2) 0 2 4 12 14 23 32 43 平均变化率越来越大. 解析：根据平均变化率的定义，在35 m范围内， 当水深每增加5 m时，水库储水量的平均变化率依次为 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y=f(x)的图象上，若函数f(x)在[x1，x2]内的平均变化率为，则下面叙述正确的是(　　) A.直线AB的倾斜角为 B.直线AB的倾斜角为 C.直线AB的斜率为- D.直线AB的斜率为- √ 解析：∵f(x)在[x1，x2]内的平均变化率为，∴=， ∴f(x)在内的平均变化率就是直线AB的斜率kAB， ∴kAB=，故直线AB的倾斜角为，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.如图，函数y=f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x1，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是 (　　) A.[x1，x2] B.[x2，x3] C.[x1，x3] D.[x3，x4] √ 解析：由函数f(x)平均变化率的计算公式，可得函数f(x)在[x1，x2] 内的平均变化率为P1=>0，函数f(x)在[x2，x3] 内的平均变化率为P2=<0，函数f(x)在[x1，x3]内的平均变化率为P3=<0，函数f(x)在[x3，x4]上的平均变化率为P4=>0，结合函数y=f(x)的图象，可得P2<P3<0<P1<P4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)已知某物体运动的位移x m是时间t s的函数，且t=0.3时，x=0.38;t=0.6时，x=5.06.则该物体在时间段[0.3，0.6]内的平均速度为______m/s;估计t=0.4时的位移为_______m.  解析：由题意，得==15.6 m/s，经过点(0.3，0.38)， (0.6，5.06)的直线方程为x-0.38=15.6(t-0.3)，当t=0.4时，x=1.94 m. 1.94 15.6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(5分)若一个物体的运动规律如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)：s(t)=则物体在t∈[2，5]内的平均速度为__________.  解析：物体在t∈[2，5]内的时间改变量为5-2=3，物体在t∈[2，5]内的位移改变为3×52+2-[29+3×(-1)2]=77-32=45，所以物体在t∈[2，5]内的平均速度为=15(m/s). 15 m/s 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)(1)已知函数f(x)=x+，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快;(6分) 解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为==， 自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为==. 因为<，所以函数f(x)=x+在自变量x从3变到5时函数值变化得较快. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)已知函数f(x)=x2+1，求f(x)在区间[2，2+d]内的平均变化率.(4分) 解：f(2+d)-f(2)=(2+d)2+1-(22+1)=4d+d2， 所以f(x)在区间[2，2+d]内的平均变化率为==4+d. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(10分)路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以 84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C点处沿直线匀速离开. (1)求身影的长度y(单位：m)与人距C点的距离x(单位：m)之间的关系式;(5分) 解：如图，设人从C点运动到B点位移为x m， AB为身影长度为y m， 由于CD∥BE，则=， 即=，所以y=0.25x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)求人离开C点10 s内身影长度的平均变化率.(5分) 解：设人离开C点的时间为t s，而84 m/min=1.4 m/s，而x=1.4t，所以y=0.35t.在[0，10]内自变量的增量为t2-t1=10-0=10，函数值的增量为f(t2)-f(t1)=0.35×10-0.35×0=3.5，所以==0.35.即人离开C点10 s内身影长度的平均变化率为0.35 m/s. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $