1.1.1函数的平均变化率（教学课件）数学湘教版选择性必修第二册

1.1导数概念及其意义 1.1.1函数的平均变化率 湘教版选择性必修第二册 湘教版选择性必修第二册 第1章 导数及其应用 如何描述高台跳水运动中，运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度？如何求曲线上任一点处的切线？这些问题好像是无穷无尽，永远做不完的．但是，用微积分的方法，成干上万问题被一举突破，微积分的发现是人类精神的伟大胜利．导数是微积分的核心概念之一．让我们开启导数的学习。 新课导入 学习目标 目标 1 理解函数平均变化率的概念 会求函数的平均变化率 会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题 重点 2 难点 3 会求函数的平均变化率 会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题。 理解函数平均变化率的概念 新课导入 问题1：物理中所学物体运动的平均速度如何计算？ 如何求物体运动的平均速度呢？我们一起来探究吧！ 新课探究 例1：假设数轴上动点在任何时刻的位置均可用函数表示,求该点在时间段[a,b]内的平均速度. 解：由于 所以点 P在时间段[a，b]内的平均速度为0.5． 问题 ：你能类比上面的方法求出该动点在其它时段内的平均速度吗？ 你有什么发现？ 由于动点做匀速直线运动，所以该动点在任何一个时间段[a，b]内的平均速度都等于0.5，是常数． 新课讲授 发现平均速度 就是图象上两点A(a，f(a))，B(b，f(b))之间的线段 AB的斜率，也就是直线y = 0.5 t＋1的斜率． 新课讲授 结论：匀速直线运动中即函数图象为直线时，平均速度就是相应函数图象的斜率 问题4：如果表示动点位置的函数y =f (t)不是一次函数，即动点不做匀速直线运动，如何求它在在[a，b]内的平均速度 v[a，b]呢？ 新课讲授 8 问题5： 此时y =f (t)不是一次函数，则其图象不是直线而是曲线．那么图象上任意两点A(a，f(a))，B(b，f(b))之间的线段 AB的斜率 与动点在[a，b]内的平均速度 v[a，b]，又有怎样的关系呢？ 新课讲授 动点在[a，b]内的平均速度v[a，b] 仍等于线段AB的斜率 9 例2 某物体做自由落体运动，其运动方程为 ，其中t为下落的时间（单位：s），g为重力加速度，大小为9.8m/s．求它在时间段[1，3]内的平均速度． 解：物体在时间段[1，3]内的平均速度为 典例分析 新课讲授 10 一般情况下,函数的自变量有可能不是时刻,因变量可能不表示位置,因而 就不一定是平均速度,但它仍然反映了因变量随自变量变化的快慢和变化方向或者增减, 因此我们把 称为函数在区间[a,b]内的平均变化率. 1.平均变化率的概念 问题6：平均变化率的本质是什么？ 函数值的增量与自变量的增量之比. 新课讲授 P1 P2 2.平均变化率的几何意义 新课讲授 P1 P2 3.平均变化率的物理意义 新课讲授 例3 如图，在正弦曲线 f (x) = sinx上取两点 ，求直线AB的斜率． 解：直线AB的斜率为 直线AB的斜率即为函数 f (x) = sinx在区间[π/2，π]内的平均变化率． 典例分析 14 例4 充满气的气球近似为球体．在给气球充气时，我们都知道，开始充气时，开始气球膨胀较快，随后膨胀速度逐渐缓慢下来，气球膨胀实际上就是气球半径增大，表面积增大，体积增大．试描述气球的半径相对于体积的平均变化率． 由以上两个结果可以看出，气球体积由0.5增至1，再由1增至1.5，二者都增大了0.5，但r的平均变化率却由0.26变成0.18，变小了．也就是说，随着气球体积的逐渐增大，它的半径的平均变化率逐渐变小． 典例分析 典例分析 15 例5 已知函数f (x) = 3 x＋2，g(x) = x2，分别计算它们在区间[－2，－1]，[1，5]上的平均变化率． 解：函数f (x) = 3 x＋2在区间[－2，－1]上的平均变化率为 函数f (x) = 3 x＋2在区间[1，5] 上的平均变化率为 函数g(x) = x2在区间[－2，－1]上的平均变化率为 函数g(x) = x2在区间[1，5] 上的平均变化率为 典例分析 16 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)； (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1； 反思小结 问题7：根据上面例题你能总结求函数的平均变化率的步骤吗？ 练习1 小球在光滑斜面上向下滚动，从开始滚动算起时间t内所经过的距离为 s(t) = at²，求小球在时间段[2，2＋h]内的平均速度． 解：小球在时间段[2，2＋h]内的平均速度为 学以致用 课本第5页练习1 18 练习2 在函数f (x) = 2x2－x－5的图象上取两点A(a，f(a))，B(b，f(b))，求直线AB的斜率． 解：直线AB的斜率为 学以致用 课本第5页练习2 19 平均变化率: 我们把 称为函数f (x)在区间[a，b]内的平均变化率． 函数f (x)的平均变化率即函数值之差与对应的自变量之差的比． 求函数的平均变化率的步骤: （1）求函数值的增量： ； （2）求自变量的增量： ； （3）求出函数的平均变化率： ． 课堂小结 1．已知质点M 按规律s = 3＋t 2 运动，求质点M 在时间段[2，2.1]内的平均速度． 2．已知f (x) = －x＋1，分别计算f (x) 在下列区间的平均变化率． （1）[1，1.1]； （2）[0.9，1]； （3）[0.5，1]； （4）[1，1.5]； 能力提升 湘教版选择性必修第二册 感谢聆听 表示曲线y＝f(x)上两点P1P2连线的斜率. 已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，观察函数y＝f(x)的图象，平均变化率＝表示什么？ 表示动点在 上的平均速度. 已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，观察函数y＝f(x)的图象，平均变化率＝表示什么？ $$