1.1.1 函数的平均变化率-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修 第二册创新导学案word（湘教版）

数学　选择性必修·第二册（湘教） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．1．1　函数的平均变化率 (教师独具内容) 课程标准：1．理解函数平均变化率的概念．2．知道函数平均变化率的几何意义．3．会求函数在指定区间上的平均变化率． 教学重点：函数平均变化率的概念及函数平均变化率的求法． 教学难点：利用函数的平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 核心素养：通过学习函数平均变化率的概念及其几何意义培养数学抽象素养和直观想象素养． 知识点一　平均速度 1．每条直线上都可以建立一根数轴，则直线上每一点P的位置均可用一个实数x表示．若在这条直线上运动的动点P在任何时刻t的位置均可用(t)表示，则从时刻a到时刻b的位移为f(b)－f(a)，因为所花时间为b－a，所以在时间段[a，b]内动点P的平均速度为v[a，b]＝． 2．函数y＝f(t)的图象上任意两点A(a，f(a))，B(b，f(b))之间的线段AB的斜率等于动点在时间段[a，b]内的平均速度v[a，b]，如图． 知识点二　平均变化率 一般地，函数y＝f(x)的自变量有可能不是时刻，因变量有可能不表示位置，因而就不一定是平均速度，但仍然反映了因变量y随自变量x变化的快慢和变化方向(增减)，因此我们把称为函数f(x)在区间[a，b]内的平均变化率． 对函数平均变化率的理解 (1)函数的平均变化率可正可负，也可为零． (2)函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． (3)平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的平均变化率一定是正值．(　　) (2)若函数f(x)在[a，b]内的平均变化率为0，则f(x)＝0．(　　) (3)函数h(t)＝－3t2＋2在[1，2]内的平均变化率为－9．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数y＝，当自变量x由2变为1．5时，相应函数值的改变量为________． (2)函数f(x)＝2x＋1在区间[1，2]上的平均变化率为________． (3)一物体的运动方程为s＝5t2(s的单位：m，t的单位：s)，则该物体从1 s到3 s这段时间内的平均速度是________m/s． 答案　(1)　(2)2　(3)20 题型一　求运动物体的平均速度 　若一物体的运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s) s(t)＝ 求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度； (2)物体在t∈[1，2]内的平均速度． [解]　(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度为＝＝24(m/s)． (2)物体在t∈[1，2]内的平均速度为＝[29＋3×(2－3)2]－[29＋3×(1－3)2]＝－9(m/s)． 【感悟提升】　若物体的运动方程为s(t)，则要计算物体在时间段[a，b]内的平均速度，只要求出时间的改变量b－a及相应位移的改变量s(b)－s(a)，然后利用平均速度＝即可求出平均速度． 【跟踪训练】 1.某质点按规律做运动，且在t＝2 s时，位移x＝12 m，当t＝3 s时，位移x＝24 m，t＝4 s时，位移x＝38 m．求这个质点在时间段[2，3]，[3，4]内的平均速度． 解　质点在时间段[2，3]内的平均速度为＝12(m/s)，质点在时间段[3，4]内的平均速度为＝14(m/s)． 题型二　求函数的平均变化率 　求函数f(x)＝在区间[－1，0]，[1，3]，[x0，x0＋1](－2∉[x0，x0＋1])上的平均变化率． [解]　f(x)＝在区间[－1，0]上的平均变化率为＝＝－． f(x)＝在区间[1，3]上的平均变化率为＝＝－． f(x)＝在区间[x0，x0＋1]上的平均变化率为＝－ ＝． 【感悟提升】　求函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量f(x2)－f(x1)； (2)再计算自变量的改变量x2－x1； (3)然后利用平均变化率计算即可． 【跟踪训练】 2.求函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋0．1]上的平均变化率，并求当x0＝2时平均变化率的值． 解　函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋0．1]上的平均变化率为＝＝＝6x0＋0．3． 当x0＝2时，函数f(x)＝3x2＋2在区间[2，2．1]上的平均变化率为6×2＋0．3＝12．3． 题型三　平均变化率的应用 　汽车行驶的路程s和时间t之间的函数关系图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]内的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________． [解析]　1＝＝kOA，2＝＝kAB，3＝＝kBC，而由图象知kOA<kAB<kBC，所以1<2<3． [答案]　1<2<3 【感悟提升】　关于平均变化率的应用 根据平均变化率的意义，平均变化率可以衡量因变量变化的快慢，以及函数对应曲线倾斜程度的大小．平均变化率绝对值的大小对应于因变量变化的快慢、曲线倾斜程度的大小． 【跟踪训练】 3.甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的大小关系是(　　) A．v甲＞v乙 B．v甲＜v乙 C．v甲＝v乙 D．大小关系不确定 答案　B 解析　由题图知，s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)>0，所以<，所以v甲<v乙．故选B． 1．已知函数f(x)＝2x＋3，则函数在区间[2，2＋h]上的平均变化率为(　　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 答案　B 解析　＝＝＝2．故选B． 2．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．6 答案　B 解析　由题意得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1，故选B． 3．(多选)如图所示是物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是(　　) A．在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 B．在0到t0范围内甲的平均速度等于乙的平均速度 C．在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在t0到t1范围内甲的平均速度等于乙的平均速度 答案　BC 解析　在0到t0范围内甲、乙的平均速度均为＝，所以A错误，B正确；在t0到t1范围内甲的平均速度为，乙的平均速度为，很明显>，所以C正确，D错误．故选BC． 4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在[－2，1]上的平均变化率为________；函数f(x)在[－2，3]上的平均变化率为________． 答案　　 解析　从题图中可以看出f(－2)＝－1，f(1)＝1，f(3)＝3，所以函数f(x)在[－2，1]上的平均变化率为＝＝，函数f(x)在[－2，3]上的平均变化率为＝＝． 5．已知函数f(x)＝x＋，分别计算函数在区间[1，2]与[3，5]上的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． 解　在区间[1，2]上，函数f(x)的平均变化率为＝＝． 在区间[3，5]上，函数f(x)的平均变化率为＝＝． 因为<，所以函数f(x)＝x＋在区间[3，5]上变化得较快． 课后课时精练 一、选择题 1．已知函数f(x)＝2x2图象上的两点A，B，xA＝1，xB＝2，则直线AB的斜率为(　　) A．－6 B．6 C．－3 D．3 答案　B 解析　因为f(1)＝2×12＝2，f(2)＝2×22＝8，所以直线AB的斜率为＝＝6．故选B． 2．一质点运动的方程为s(t)＝5－3t2，则在一段时间[1，1＋h]内质点运动的平均速度为(　　) A．3h＋6 B．－3h＋6 C．3h－6 D．－3h－6 答案　D 解析　因为s(1＋h)－s(1)＝5－3(1＋h)2－(5－3×12)＝－3h2－6h，所以＝＝＝－3h－6． 3．若记函数y＝log2x在区间[2，4]上的平均变化率为k1，在区间[4，8]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　) A．k1>k2 B．k1<k2 C．k1＝k2 D．不能确定 答案　A 解析　由题意，可知k1＝＝＝，k2＝＝＝，所以k1>k2．故选A． 4．已知四个函数：①y＝x；②y＝2x；③y＝x3；④y＝，其中在区间[2，4]上的平均变化率最大的是(　　) A．④ B．③ C．② D．① 答案　B 解析　对于函数①y＝x，其在区间[2，4]上的平均变化率为＝1；对于函数②y＝2x，其在区间[2，4]上的平均变化率为＝6；对于函数③y＝x3，其在区间[2，4]上的平均变化率为＝28；对于函数④y＝，其在区间[2，4]上的平均变化率为＝－．故选B． 5．(多选)A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量WA(t)，WB(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有(　　) A．两机关节能效果一样好 B．A机关比B机关节能效果好 C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率小 D．A机关与B机关自节能以来用电总量是一样大 答案　BC 解析　由题图，可知A机关所对应的图象比较陡峭，B机关所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率小，且A机关比B机关节能效果好．故选BC． 二、填空题 6．若函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________． 答案　5 解析　因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，所以＝＝2，即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)． 7．某人服药后，吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是关于时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值： t 0 10 20 30 40 c(t) 0．84 0．89 0．94 0．98 1．00 t 50 60 70 80 90 c(t) 1．00 0．97 0．90 0．79 0．63 则此人服药后30 min到70 min血液中药物的质量浓度的平均变化率为________mg/(mL·min)． 答案　－0．002 解析　易得此人服药后30 min到70 min血液中药物的质量浓度的平均变化率为＝＝－0．002(mg/(mL·min))． 8．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________． 答案　[x3，x4] 解析　由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为，，，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]． 三、解答题 9．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5，分别计算函数在区间[3，4]与[4，5]上的平均变化率，并比较它们的大小．若记A(3，f(3))，B(4，f(4))，C(5，f(5))，试判断直线AB与直线BC斜率的相对大小． 解　因为＝＝2(x2＋x1)＋3， 所以函数f(x)在区间[3，4]上的平均变化率为2×(3＋4)＋3＝17，函数f(x)在区间[4，5]上的平均变化率为2×(4＋5)＋3＝21， 因为17＜21，所以函数f(x)在区间[3，4]上的平均变化率小于函数f(x)在区间[4，5]上的平均变化率． 由平均变化率的几何意义可知，直线AB的斜率小于直线BC的斜率． 10．已知函数f(x)＝2x2＋3，g(x)＝2x2＋x，h(x)＝2x2－x，分别计算这三个函数在区间[2，3]上的平均变化率，并比较它们的大小． 解　因为＝＝10， ＝＝11， ＝＝9， 11>10>9， 因此在区间[2，3]上，g(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小． 1．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为T(t)＝＋15，其中T(t)(单位：℃)为蜥蜴的体温，t(单位：min)为太阳落山后的时间． (1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？ (2)从t＝0到t＝10，蜥蜴体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ 解　(1)T(10)－T(0)＝＋15－＝－16， 即从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃． (2)从t＝0到t＝10，蜥蜴体温的平均变化率是＝＝－1．6， 它表示从t＝0到t＝10这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1．6 ℃． 2．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，而且f(x)在定义域内的任意区间上的平均变化率均比g(x)＝x2－x＋1在同一区间上的平均变化率大，求证：f(4)－f(2)>10． 证明　函数g(x)在区间[2，4]上的平均变化率为＝＝5． 根据题意，可知函数f(x)在区间[2，4]上的平均变化率>5， 所以f(4)－f(2)>10． 9 学科网（北京）股份有限公司 $