精品解析：河南南阳市唐河县第一高级中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

2026年春期高一第一次月考 数学试题 一、选择题（共8小题） 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式求解. 【详解】， ， ， . 故选：A 2. “角θ是第四象限角”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由可得且，是第三、四象限角，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】由可得：且， 所以是第三或第四象限角， 所以“角θ是第四象限角”能推出“”， “”不能推出“角θ是第四象限角”， 所以“角θ是第四象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 3. 在平面直角坐标系中，以O为坐标原点，为始边，终边在直线上的角的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边相同角的定义即可求解. 【详解】因为角的终边在直线上， 所以角的终边在一、三象限的角平分线上， 故终边在直线上的所有角组成的集合为 . 故选：C 4. 已知在中，点在边上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可. 【详解】在中，，又点在边上，且， 则， 故选：A. 5. 若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正切函数的对称中心的结论列式求解即可. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是. 故选：A 6. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象向（ ） A. 右平移个单位长度 B. 右平移个单位长度 C 右平移个单位长度 D. 左平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】由条件利用函数的图像变换规律，可得结论 【详解】因为， 所以将的图象向右平移个单位长度，可得到的图象. 故选：B. 7. 已知函数，若为偶函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由为偶函数得的图象关于直线对称.，再根据余弦函数的对称性即可求得. 【详解】∵为偶函数，∴的图象关于直线对称. ∴， ∴. ， 故选：A. 8. 函数与在内的交点个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】画出函数与在内的图象，数形结合即可判断求解. 【详解】画出函数与在内的图象. 由图象可知，两个函数有4个交点． 故选：B 二、多选题（共3小题） 9. 下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断. 【详解】最小正周期为，在区间上单调递减； 最小正周期为，在区间上单调递增； 最小正周期为，在区间上单调递减； 不是周期函数，在区间上单调递减； 故选：AC 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称中心 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象知：、、为对称轴、是函数的一个对称中心，结合余弦函数的性质即可判断各选项的正误. 【详解】由图知：，即，而，可得，A正确； 且，可得，B错误； 为对称轴，C正确； 由是函数的一个对称中心，则是函数的对称中心，D正确； 故选：ACD 11. 已知函数在区间上有且只有三个零点，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的最大值为1 C. 的取值范围是 D. 有两个极大值点 【答案】BD 【解析】 【分析】先求出整体角的范围，作出的图象，根据题意即可求得，判断C项；取，得，利用周期定义检验判断A项；利用函数在上的图象即可判断B，D项. 【详解】因，设，则，作出函数的图象如下： 要使函数在区间上有且只有三个零点， 需使，解得，故C错误； 不妨取，则，， 因，故不是的一个周期，故A错误； 又由图知，函数在区间上取得两个极大值，也是最大值，为1，故B，D正确. 故选：BD. 三、填空题（共3小题） 12. 已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求解终边在角的终边所在直线上的角的集合，再结合图形即可求解. 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合， 终边在角的终边所在直线上的角的集合， 因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为. 故答案为：. 13. 如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为______. 【答案】 【解析】 【分析】由主动轮和被动轮转过的弧长相等即可得结果. 【详解】根据题意可设被动轮旋转的弧度数为， 由于主动轮和被动轮转过的弧长相等，即，即， 故答案为：. 14. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交射线，于不同的两点，，若，，则的最大值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】以为基底表示，由三点共线可求出，结合基本不等式可求出的最大值. 【详解】解析：，又，，三点共线，所以， 而，所以当且仅当时取等号. 故答案为:1. 【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了基本不等式，属于基础题.本题关键是求出的关系. 四、解答题（共5小题） 15 已知． （1）化简 （2）若a是第二象限角，且，求的值． （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助诱导公式计算后化简即可得； （2）利用同角三角函数基本关系计算可得，再利用诱导公式计算即可得； （3）利用诱导公式计算即可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 a是第二象限角，且，， 则； 【小问3详解】 ，． 16. 已知函数. （1）求的定义域、值域； （2）求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 【答案】（1）定义域为；值域为. （2）最小正周期；函数为非奇非偶函数；函数的递增区间为，没有递减区间. 【解析】 【分析】（1）（2）由正切函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性和单调区间得到函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性和单调区间. 【小问1详解】 令，则， ∴的定义域为. ∵函数的值域为， ∴的值域为. 【小问2详解】 ∵函数中，∴函数的最小正周期. 令，则， 即函数关于点中心对称， ∴函数非奇非偶函数. 令，∴， 且函数中，. ∴函数的递增区间为，没有递减区间. 17. 已知函数的部分图象如图所示，函数的图象与轴的交点的纵坐标为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； （3）若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2），； （3） 【解析】 【分析】（1）根据图像先求出周期即可得，由和即可求出和； （2）令即可求出函数的对称轴方程，令，即可求出函数的对称中心的横坐标，纵坐标为0； （3）函数在区间上的值域为，由正弦函数的图象和性质得解出即可. 【小问1详解】 由图可知函数的周期为，有，又由，可得， 又由图可知，有，有，又由.有，可得. 又由图可知，有，可得. 故函数的解析式为； 【小问2详解】 令，可得， 可得函数的图象的对称轴方程为， 令，可得， 可得函数的图象的对称中心的坐标为； 【小问3详解】 当时，，有. 若函数在区间上的值域为，由正弦函数的图象和性质可知，可得 故实数的取值范围为. 18. 已知函数，且，，. （1）求的值； （2）求在区间上的单调递减区间； （3）若关于的方程在区间上有且仅有4个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知条件确定对称中心与对称轴，再结合正弦函数的对称性求得； （2）由正弦函数的单调性求解； （3）先解方程得出或，然后由函数的图象与直线和的交点个数得出参数范围． 【小问1详解】 由，所以的图象关于直线对称， 又，所以的图象关于对称， ，即， 又，. 【小问2详解】 由，即在处取得最大值2，所以， ，则， ，即， 又，所以， ， 令，得， 由，可得，， 所以在区间上的单调递减区间为． 【小问3详解】 方程可化为， 则或， 由（2）可知，在区间上的图象如图所示， 因为方程在区间上有且仅有4个不同的实数解， 所以或且， 解得或或. 所以实数的取值范围是. 19. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数，）． （1）求的值； （2）证明：两角和的双曲余弦公式； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）1 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入双曲函数的指数定义展开，利用平方差公式计算得出结果为常数1； （2）将两角和的余弦公式右边按指数定义展开，合并同类项后即可得证； （3）利用双曲函数的指数表达式化简不等式，分离参数，通过换元将问题转化为求二次函数在对应区间上的最大值. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为 ，得证； 【小问3详解】 由题意，得在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 令，因为，所以，所以． 所以，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，则，即m的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期高一第一次月考 数学试题 一、选择题（共8小题） 1. 的值是（ ） A B. C. D. 2. “角θ是第四象限角”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在平面直角坐标系中，以O为坐标原点，为始边，终边在直线上的角的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 已知在中，点在边上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 为了得到函数图象，可以将函数的图象向（ ） A. 右平移个单位长度 B. 右平移个单位长度 C. 右平移个单位长度 D. 左平移个单位长度 7. 已知函数，若为偶函数，则的值为（ ） A B. C. D. 8. 函数与在内的交点个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多选题（共3小题） 9. 下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称中心 11. 已知函数在区间上有且只有三个零点，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的最大值为1 C. 的取值范围是 D. 有两个极大值点 三、填空题（共3小题） 12. 已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围_____________. 13. 如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为______. 14. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交射线，于不同的两点，，若，，则的最大值为______. 四、解答题（共5小题） 15 已知． （1）化简 （2）若a是第二象限角，且，求的值． （3）若，求的值． 16. 已知函数. （1）求的定义域、值域； （2）求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 17. 已知函数的部分图象如图所示，函数的图象与轴的交点的纵坐标为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； （3）若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 18. 已知函数，且，，. （1）求的值； （2）求在区间上的单调递减区间； （3）若关于的方程在区间上有且仅有4个不同的实数解，求实数的取值范围. 19. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数，）． （1）求的值； （2）证明：两角和的双曲余弦公式； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $