专题7.1 复数的概念知识填空与考点专练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题7.1 复数的概念 高中数学导学案 专题7.1 复数的概念 一、知识填空 1.复数概念：形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，满足．其中的叫做复数的 ，叫做复数的 ． 2.复数集：全体 所构成的集合，即 3.复数的分类: 当时，为 ；当时，为 ，当时，为 . 4. 复数相等：若与，则 5. 共轭复数：复数与叫做互为 ，记做 6.复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做 ，y轴叫做 . 显然，实轴上的点都表示 ；除了原点外，虚轴上的点都表示 . 7.复数的几何意义： （1）复数与点对应：复数复平面内的点 （2）复数与向量对应：复数 平面向量 8.复数的模：复数的模记作 或 ,而且 . 复数的模就是复数在复平面内对应的点到 的距离. 自检自纠： 1.实部 虚部 2.复数 3.实数 虚数 纯虚数 4. 5. 共轭复数 6. 实轴 虚轴 实数 纯虚数 8. 坐标原点 二、考点专练 地 城 考点01 虚数单位及其性质 【经典例题】 1．在复数集中，为虚数单位，则（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】A 【详解】由复数运算性质得，故A正确.故选：A 2．（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】.故选：C 3．（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】因为，，，，所以具有周期性，周期为， 所以，所以.故选：A 4．已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由题意可得：.故选：B. 5．________． 【答案】/ 【详解】∵，∴， 则， 故原式．故答案为：. 【变式训练】 1．已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】，故选：A 2．已知i是虚数单位，则_______ 【答案】0 【详解】.故答案为：0 3．若，则______． 【答案】 【详解】.故答案为： 4．i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________（用a＋bi的形式表示，a，b∈R）． 【答案】4－4i 【详解】是周期为4的运算，，，，…， 代入原式得.故答案为： 5．i是虚数单位，若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项 A： 是虚数，不是实数，而 中的元素都是实数，因此 ，故A错误；选项 B：，而 ，所以 成立，故B正确；选项 C：， 是虚数，不属于 ，故C错误； 选项 D： 是虚数，也不属于 ，故D错误.故选：B 6．当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（   ） A．-2，0，2 B．-2，0，2 C．-1+，0，1+ D．-2，-2，0，2，2. 【答案】A 【详解】由的乘方的周期性， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，（为虚数单位）的所有可能值为，故选：A 【巩固练习】 1．已知为虚数单位，那么下列的取值中，能使成立是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由，则.故选：B 2．的平方根为___________. 【答案】 【详解】的平方根为，故答案为：. 3．计算______．（为虚数单位) 【答案】 【详解】，故答案为： 4．已知i是虚数单位，则＝__． 【答案】 【详解】.故答案：． 5．若是虚数单位，则__________. 【答案】 【详解】，故答案为： 6．__________． 【答案】1 【详解】,故答案为：1. 7．计算：______． 【答案】 【详解】因为，所以，，，， 又，所以是以为周期，且每个周期内的和为，又，所以.故答案为：. 8．__________. 【答案】0 【详解】，故答案为：0. 9．已知i为虚数单位，则_________． 【答案】i 【详解】由，，，，得．故答案为：i. 【经典例题】地 城 考点02 复数的基本概念 1．复数的虚部为（   ） A．2025 B． C．1121 D．1120 【答案】D 【详解】由可知，虚部为1120.故选：D 2．已知复数的实部是（    ） A．0 B．2 C．3 D． 【答案】D 【详解】依题意，，所以复数的实部为.故选：D. 3．复数的共轭复数的虚部是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】因为复数的共轭复数是，所以复数的虚部为.故选：C 4．已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积大于0， 则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】由复数，可得复数的实部为，虚部为，因为复数的实部与虚部之积大于0，可得，即，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：. 5．下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【详解】对于①，因为，所以，故①正确；对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误； 对于③，当，时，成立，故③错误；④正确.故选：B 【变式训练】 1．已知为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】根据复数的概念，可得复数的虚部为.故选：C. 2．复数，则的虚部为______. 【答案】 【详解】由复数，可得复数的虚部为.故答案为： 3．已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】，虚部为－1.故选：A. 4．设，则的虚部是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，所以的虚部为1，故选：A 5．已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以的虚部为，故选：D. 6．复数，则的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由可得：，故的虚部为.故选:D． 7．已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【详解】易知复数的实部为，虚部为；所以，解得. 故选：B 8．给出下列命题：①若R，则是纯虚数；②若R且，则；③若C，则复数的实部为a，虚部为b；④i的平方等于.其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【详解】对于复数（R），当且时为纯虚数，在①中，若，则不是纯虚数，①错误；在②中，两个虚数不能比较大小，②错误；在③中，只有当R时，复数的实部才为a，虚部为b，③错误；在④中，i的平方等于，④正确.故选：D 【巩固练习】 1．复数的实部是（   ） A．1 B．-1 C．2 D． 【答案】B 【详解】由得，实部为，故选：B. 2．若复数满足（是虚数单位），则的虚部是（　　） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】由题意得，的虚部是3．故选：D． 3．设为虚数单位，复数的虚部是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】根据虚部的概念知，复数的虚部是.故选：A 4．复数，则复数的虚部是（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】由题意可得：，所以复数的虚部是.故选：A. 5．若复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】D 【详解】，则的虚部是2.故选：D 6．以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的虚部为的实部为，所以所求复数为.故选：A 7．已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】D 【详解】由复数的实部与复数的虚部相等，且为实数，所以.故选：D. 8．若复数的虚部是实部的3倍，则实数__________. 【答案】/ 【详解】因为的虚部是实部的3倍，所以，解得.故答案为： 【经典例题】地 城 考点03 复数相等及其应用 1．已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【【详解】因为，所以，.故选：B. 2．若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，解得，所以.故选：C 3．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】由，所以，，则.故选：A 4．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，，即， 故选：A. 5．已知复数,，并且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴，化为，∴，∵，∴当时，取得最小值；当时，取得最大值7，∴， ∴的取值范围是，故选：B. 【变式训练】 1．若，则__________，__________． 【答案】 【详解】因为，由复数相等的充要条件可知，．故答案为：； 2．设为虚数单位，若，则（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】C 【详解】由题得解得所以.故选：. 3．若，则实数x，y的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】.故选：D 4．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为_____. 【答案】 【详解】设，因为，所以，可得，解得为，则的虚部为.故答案为：. 5．已知，是虚数单位，方程有解，则正实数（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】由复数相等的充要条件得，解得或，当时，解得， 当时，解得舍；故选：C. 6．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由集合，，且，得，因此，所以，当时，，因，故，符合题意.故选：C 7．定义运算，如果，则的值为____． 【答案】 【详解】由定义运算，得，故有. 因为x，y为实数，所以有，得，得.所以.故答案为： 8．满足的有序实数对有______组. 【答案】四 【详解】由，，解得或，或，可得，或，或，或.所以共有四组实数对.故答案为：四. 9．已知复数，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，则．令，则在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，当时，，所以．故选：. 10．已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以，所以，因此所选方程的两根为，仅有符合要求，故选：A. 11．（多选）下列命题为真命题的是（ ） A．复数的虚部为; B．若为虚数单位，则; C．在复数集中，方程有两个解，依次为; D．已知是虚数单位，若，则实数; 【答案】BCD 【详解】对于A，复数的虚部为，故A错误；对于B，若为虚数单位，则，故B正确；对于C，，所以在复数集中，方程有两个解，依次为，故C正确；对于D，已知是虚数单位，若，则，有，解得，故D正确.故选：BCD. 【巩固练习】 1．已知为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】因，则由复数相等的定义可得：.故选：B 2．若，，，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由得，所以，，所以.故选：A 3．已知，其中，则____. 【答案】 【详解】因为，所以，解得，所以.故答案为： 4．已知，则实数________，________． 【答案】 2 【详解】因为，所以，解得，故答案为：；2 5．若，则（   ） A．6 B．5 C．-6 D．-5 【答案】A 【详解】因为，所以，，.故选:A. 6．已知，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以，解得，故选:B. 7．已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 【答案】C 【详解】因为，，且，则，，解得.故选：C 8．已知a，，复数，（i为虚数单位），若，则（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－4 【答案】B 【详解】由得，，，解得，．故选：B． 9．已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 【答案】B 【详解】由得，即，根据复数相等的充要条件可得，解得.故选：B. 10．定义运算，如果（是虚数单位），那么实数的值为_______ 【答案】 【详解】由题意可得，，则，所以，解得，故.故答案为： 11．设实数，，满足，则的最大值为_________． 【答案】/ 【详解】因为，所以，，又，所以． 故答案为： 12．，，并且，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】由题意可得，，所以，因为， 所以当时，最大值为3；当时，最小值为，所以的取值范围为，故答案为：. 13．已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】复数，且，所以，则，因为，所以，当时，，当时，，所以的取值范围是.故选：B. 【经典例题】地 城 考点04 复数的类型与求参 1．在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】，是纯虚数，，，是实数，是虚数．故选：C 2．下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【答案】B 【详解】对于A，当，，时，复数是纯虚数，A错误；对于B，当时，复数是纯虚数，B正确；对于C，是纯虚数，则即，C错误； 对于D，复数，，未注明为实数，D错误.故选：B. 3．在复平面上，平行于轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．实数 B．虚数且非纯虚数 C．纯虚数 D．无法确定 【答案】C 【详解】由题意得平行于轴的非零向量所对应的复数一定是纯虚数，故C正确.故选：C 4．已知复数是纯虚数，则实数的值为（   ）． A．0或2 B．0 C．1或2 D．1 【答案】B 【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得.故选：B. 5．若复数是实数，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为复数是实数，则，解得.故选：C. 6．已知为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【详解】由纯虚数的概念：实部为0，虚部不为0，对比选项可知，选项中复数为纯虚数的是.故选：D. 7．（多选）下列命题错误的是（   ） A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A选项，复数不能比大小，故A错误； 对于B选项，因为，故，故B错误； 对于C选项，因为，所以是纯虚数，故C正确；对于D选项，当时，，故D错误.故选：ABD. 【变式训练】 1．已知，，下列为纯虚数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将，代入，得，A为实数；，B为纯虚数；，C为实数；，D为虚数，但不为纯虚数． 故选：B. 2．已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ） A． B．1 C．3 D．或1 【答案】B 【详解】依题意，，解得．故选：B． 3．复数是实数，则实数的值为________． 【答案】 【详解】由题意得，解得或，且，即，故的值为， 故答案为：． 4．已知复数，为纯虚数，则实数________. 【答案】 【详解】因为复数，为纯虚数，所以且，解得， 故答案为： 5．已知，i是虚数单位，复数．若z是纯虚数，m的值为________ 【答案】 【详解】复数是纯虚数，故，解得，故. 6．已知为虚数单位，复数是纯虚数，则______________． 【答案】2 【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得．故答案为：2. 7．“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【详解】若复数为纯虚数，则，解得，所以“”是“复数为纯虚数”的充要条件.故选：B 8．下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【详解】对于①，由是实数，得，则，①正确；对于②，由是虚数，得，则，②正确；对于③，由是纯虚数，得，则，③正确，所以真命题的序号是①②③.故选：D 9．（多选）下列四个命题，错误的是（   ） A．两个复数不能比较大小 B．若复数z满足，则 C．若实数a与对应，则实数集与纯虚数集一一对应 D．纯虚数集相对复数集的补集是虚数集 【答案】ABCD 【详解】对于A，当两个复数为不相等的实数时可以比较大小，故A错误； 对于B，取，则，但，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，实数集是纯虚数集相对复数集的补集的子集， 若D命题正确，则实数集为虚数集的子集，矛盾，故D错误． 故选：ABCD． 【巩固练习】 1．下列各数中，是纯虚数的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】由为实数，复数中实部为，则ABD错误.故选：C. 2．若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为复数为纯虚数，所以，即，所以，故选：C. 3．已知是纯虚数，则实数的值为（    ） A．-1或3 B．1或3 C．-1 D．3 【答案】D 【详解】由题意可知解得.故选：D. 4．已知i为虚数单位，复数是纯虚数，则（   ） A．2或0 B．2 C．0 D． 【答案】B 【详解】由题设，可得.故选：B 5．已知复数为纯虚数，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，因为复数为纯虚数，所以，所以，故选：C 6．设复数（其中，为虚数单位），则“”是“z为实数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因，则， 而“为实数”即，故“”是“z为实数”的充要条件.故选：C. 7．若复数是纯虚数，则实数（   ） A．2或3 B．3 C．2 D．0 【答案】C 【详解】由题意，得，解得.故选：C. 8．若复数（）为纯虚数，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【【详解】为纯虚数，，解得，，当时，符合题意． ．故选：B． 9．复数是纯虚数，则_____________，_____________． 【答案】 1 2 【详解】∵复数是纯虚数，∴，解得.于是，即. 故答案为：1；2 地 城 考点05 复数的几何意义 【经典例题】 1．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】，复数在复平面内对应的点为，在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，则.故选：D. 3．复数和在复平面内的对应点关于（   ） A．实轴对称 B．一、三象限的角平分线对称 C．虚轴对称 D．二、四象限的角平分线对称 【答案】A 【详解】由复数的性质得对应的点为，对应的点为，易知与两点在复平面内关于实轴对称.故选：A． 4．已知为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】已知，则，分子分母同乘，即，所以复数在复平面内对应的点为，在第四象限.故选：D. 5．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是________． 【答案】 【详解】由点A，B，C对应的复数分别为，，，得，则， 设，则，由，得，则，解得， 所以点D表示的复数为.故答案为： 6．已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 【答案】或. 【详解】由复数表示的点的坐标为：，又该复数对应的点在虚轴上，所以，解得或，故答案为：或. 7．已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【详解】由于，故点位于第四象限，因此，解得，即的取值范围是.故答案为：. 8．若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】由题意得，解得，故答案为： 9．设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为______． 【答案】 【详解】若复数在复平面内的对应点在第三象限，则 ，解得：，故答案为：． 【变式训练】 1．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以，所以，故选：C. 2．如图，复数在复平面内对应的点为，则（   ）   A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】根据复数的几何意义，若，则在复平面内对应的点的坐标为. 依据已知显然的坐标为，所以.故选：A. 3．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】根据复数的几何意义，复数在复平面内对应的点为，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B. 4．在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在复平面内，对应的点关于实轴对称点为，则.故选：B. 5．已知复数，设在复平面内对应的向量分别为，则（    ） A． B．3 C．5 D． 【答案】B 【详解】复数，则，所以，故.故选：B 6．已知在复平面内对应的点的横坐标为3，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】， ， 在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点的横坐标为3，，.故选：A. 7．在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【详解】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或.故选：A. 8．已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知点对应的复数为，根据复数的几何意义，所以点的坐标为. 所以向量.又因为为等边三角形，所以，且. 又因为，所以，即.设，则. 又因为，而，联立方程组可得 或.由题可知点在第二象限，所以即点的坐标为. 即点对应的复数为.所以虚部为.故选：C. 9．（多选）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】AB 【详解】整理得，对应的点位于第二象限，则，解得． 故选：AB 10．在复平面内，O是原点，已知复数，，，它们所对应的点分别是A，B，C．若，则的值是_____________． 【答案】5 【详解】由已知，得，，， 所以． 由，可得，解得，故．故答案为：5 【巩固练习】 1．已知复数，则在复平面上所对应的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因复数的实部为，虚部为，故该复数在复平面内对应的点为.故选：A. 2．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】，复数在复平面内对应的点为，在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 3．设复数在复平面内对应的点位于第二象限，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】不妨设，，，则，所以在复平面内对应的点位于第三象限.故选:C. 4．在复平面内，若复数对应的点为，则复数的虚部为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由题意得，故复数z的虚部为.故选：A． 5．若复数的虚部为1，则在复平面对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的虚部为，，解得，所以， 故在复平面对应的点的坐标为，故选：A. 6．已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由复数的几何意义可知对应点，即.对应点，即.若与共线，则，解得.故选：A. 7．已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易得在复平面内对应的点为， 由题意可得，解得．故选：B． 8．（多选）若复数，则下列说法正确的有（    ） A．实部为 B．虚部为 C． D．复数对应的点在第一象限 【答案】AD 【详解】由题意可得，所以的实部为，虚部为，， 复数对应的点为，在第一象限，故选：AD 9．在复平面内的长方形的四个顶点中，点，，对应的复数分别是，，，则点对应的复数为________． 【答案】 【详解】记为复平面的原点，由题意得，，．设，则，．由题意知，，所以，解得， 故点对应的复数为．故答案为：. 10．已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【详解】∵复数在复平面内对应的点在第四象限，∴，解得， 即实数a的取值范围是．故答案为：． 地 城 考点06 复数的模 【经典例题】 1．已知复数，则（   ） A．1 B． C． D．5 【答案】C 【详解】. 2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由复数的几何意义可知，，所以，.故选：A 3．使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，即，或，解得或.故选：C. 4．已知复数，则复数的模的最大值为_____________，最小值为_____________． 【答案】 6 4 【详解】令，则．因为，所以，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如图， 易知，圆上的点A所对应的复数的模最大，为，圆上的点B所对应的复数的模最小，为，所以复数的模的最大值和最小值分别为6和4．故答案为：6；4 5．（多选）对于下列四个命题，正确的是（   ） A．任何复数的模都是非负数； B．如果复数，，，，那么这些复数的对应点共圆 C．的最大值是，最小值为0 D．轴是复平面的实轴，轴是虚轴 【答案】ABD 【详解】设，则 ，故A正确；因为，，，，这些复数的对应点均在以原点为圆心，为半径的圆上，故B正确； 因为为定值，最大、最小值相等，都是1，故C错误；根据复平面的定义，轴是复平面的实轴，轴是虚轴，故D正确．故选：ABD． 【变式训练】 1．已知复数，则（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【详解】复数，则,故选：A. 2．复数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】依题意，. 3．复数的虚部为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】，的虚部为，故选：B. 4．已知复数，为虚数单位，为z的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以. 5．已知复数满足：，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为复数满足：，所以，所以，解得. 所以.故选：B. 6．（多选）下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则 B．若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若复数在复平面内对应的点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BCD 【详解】对于A，也满足，A错误． 对于B，因为，，所以，B正确． 对于C，复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，C正确． 对于D，复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，D正确． 【巩固练习】 1．___________． 【答案】 【详解】. 2．若复数满足，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】复数，所以.故选：D. 3．已知（其中i为虚数单位），则（    ）． A．5 B．7 C．9 D．25 【答案】A 【详解】因为，所以，则.故选：A 4．已知复数，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为，所以，所以.故选：B. 5．已知复数z所对应的点在第四象限，且，的虚部为，则复数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，所以，，， 复数z所对应的点在第四象限，所以，，，，，所以，解得，则.故选：A. 6．“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为复数在复平面内对应的点位于第四象限， 而成立推不出成立，，所以是复数在复平面内对应的点位于第四象限的必要不充分条件，故选：B 7．已知复数满足，则实数的可能取值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】设复数(其中)，则，将代入，整理得：，即，所以，得，将代入第一个方程得： ，即，两边平方得：，所以， 因为，且分母不能为0，所以，即，所以从判断选项来看，的可能取值只有. 地 城 考点07 解答题 【经典例题】 1．实数取何值时，复数是 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 【详解】（1）的实部为，虚部为． （1）复数是实数的充要条件是：， 所以当时复数为实数． （2）复数是虚数的充要条件是：且， 所以当且时复数为虚数 （3）复数是纯虚数的充要条件是：， 所以当时复数为纯虚数． 2．在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 【详解】（1）复数的实部为，虚部为, 由题意可得，解得或； （2）由题意可得，解得； （3）由题意可得， 或； （4）由题意可得，解得． 3．在复平面内，已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，．求： (1)向量对应的复数； (2)向量对应的复数； (3)点对应的复数． 【详解】（1）复平面内平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，， ∴向量对应的复数，向量对应的复数为． ，∴向量对应的复数为． （2）， ∴向量对应的复数为． （3）， ∴向量对应的复数为， ∴点对应的复数为． 4．已知复数，，，它们在复平面上的对应点分别是正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 【答案】 【详解】设第四个顶点对应的复数为，如图. 则， . ，，解得，故点对应的复数为. 5．设全集，集合，，且在复平面内的对应点位于第四象限. (1)求集合B； (2)当时，求； (3)若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 【详解】（1）因为，且在复平面内对应点位于第四象限， 则可得，解得. （2）当时，可得，且， 得到. （3）若“”是“”的必要条件，则是的子集，即，故. 的取值范围为. 6．欧拉公式：（是自然对数的底数，为虚数单位，），建立了指数函数和三角函数之间的关系，进而可以化成复数的代数形式. (1)根据欧拉公式将化成复数的代数形式； (2)设函数，，求的值域. 【详解】（1）根据欧拉公式，可得； （2） ， ∵，，. 当，即时，； 当，即时，； 所以的值域为. 【变式训练】 1．已知复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【详解】（1）若是实数， 则，解得或. （2）若复数是纯虚数，则，解得. （3）若在复平面内对应的点位于第四象限，则， 不等式，即，解得或； 不等式，即，解得， 所以，，即的取值范围是. 2．设复数， (1)当实数m为何值时，z是纯虚数？ (2)当实数m为何值时，z是实数？ 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 所以，解得， 所以当时，z是纯虚数． （2）因为复数是实数， 所以，解得，所以当时，z是实数． 3．已知复数，（）， (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围； (3)若复数z对应的点位于直线上，求复数z. 【详解】（1）若z为纯虚数，则，解得； （2）若复数z对应的点位于第二象限，则，解得； （3）若复数z对应的点位于直线上，则， 解得或， 则或. 4．在复平面内，复数对应的点为. (1)若为纯虚数，求的值； (2)设为坐标原点，为虚轴负半轴上任意一点，若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. 【详解】（1）由已知得， 为纯虚数，，解得. （2）设，则，又， 由，夹角为锐角得：，且与不共线，， 解得且，故的取值范围为. 5．已知复数（是虚数单位），. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【详解】（1）， 若是纯虚数，则实部为0且虚部不为0，即 且 ，解得. （2）若在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于0且虚部小于0， 即 ，，解得，即. 6．已知, ．若，求实数m的取值范围． 【答案】 【详解】，，均为实数，且的实部小于的实部， ，解得， ，故实数m的取值范围是． 【巩固练习】 1．当m为何值时，复数,是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 【详解】（1）， 当m满足，即或时，z为实数． （2）当m满足，即且时，z为虚数． （3）当m满足即时，z为纯虚数． 2．设复数，当为何值时： (1)是实数？ (2)是纯虚数？ 【详解】（1）要使复数为实数，需满足，解得或． 即当或时，是实数． （2）要使复数为纯虚数， 需满足，即, 解得，即当时，是纯虚数． 3．设复数，对应的点满足下列关系，求的范围或取值. (1)点在第二象限； (2)点在直线上. 【详解】（1）复数对应的点坐标为， 如满足点在第二象限，则须有，解得. （2）如点在上，则有，即或. 4．已知复数，则 (1)当实数m取什么值时，z是实数； (2)当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限． 【详解】（1）由题意得且，解得； （2）由题意得，解得， 故当时，z在复平面内对应的点在第二象限. 5．已知复数（，为虚数单位）. (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 【详解】（1）复数是纯虚数， ，解得，则，故. （2）若在复平面内对应的点位于第一象限， 则，解得，则的取值范围为. 6．已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若是纯虚数，求的值； (2)在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【详解】（1）由是纯虚数，可得， 由①解得或，因时，，不合题意， 故的值为； （2）由在复平面内对应的点在第二象限， 可得，由③解得；由④解得或， 故得，即的取值范围为. 三、达标检测 《复数的概念》小题检测 （限时40分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．复数（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】.故选：A. 2．的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于，则的平方根是．故选：D. 3．复数的实部与虚部之和为（    ） A． B． C．8 D．6 【答案】B 【详解】因为，所以的实部与虚部之和为．故选：B. 4．若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为，所以，，故，故C正确.故选：C. 5．若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得. 故选：C. 6．若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以．故选：C 7．若（，是虚数单位），则的值分别等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据复数相等的定义，可得.故选：A. 8．如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”.已知与互为“共胚复数”.其中为虚数单位，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．3 【答案】B 【详解】，依题意，，解得，所以.故选：B 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列命题中，错误的是（    ） A．若，，且，则 B．若（），则 C．若（），则当且仅当且时， D．若，，且，则 【答案】ABD 【详解】.设，，满足，但不能比较大小，故A错误；.因为，所以不能判断，比如：，，故B错误； 当且仅当且时，，故C.正确；当，，满足，故D.错误.故选：ABD 10．已知复数满足，则可能为（    ）. A．0 B． C． D． 【答案】AC 【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC 11．（多选）下列命题不正确的是（    ） A．复数不可能是纯虚数 B．若复数，则当且仅当时，为虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若，则复数为纯虚数 【答案】ABC 【详解】对于A，当，时，复数为纯虚数，故A错误；对于B，当，时，，为虚数，故B错误；对于C，当时，为实数，故C错误；对于D，当时，，为纯虚数，故D正确.故选：ABC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知，则______. 【答案】3 【详解】因为，则，解得.故答案为：3. 13．已知，其中、，则_________． 【答案】 【详解】因为，其中、，由复数相等可得，解得，因此，.故答案为：. 14．已知复数，若，则实数的取值范围为________． 【答案】； 【详解】因为所以所以所以 又因为所以即令则由二次函数的性质知：该函数对称轴为：所以当时，该函数取最大值为6，当时，该函数取最小值故答案为：. 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $专题7.1复数的概念 高中数学导学案 专题7.1复数的概念 一、知识填空 1.复数概念：形如二=a+i(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i=1.其中的a叫做复 数z的 b叫做复数z的 2.复数集：全体 所构成的集合，即C={a+bia,b∈R} 3.复数=a+bi(a,b∈R)的分类 当b=0时，二=a为_；当b≠0时，二=a+bi为，当a=0,b≠0时，5=bi为 4.复数相等：若=a+bi(a,b∈R)与2=c+(c,d∈R),则=22⊙ 5.共轭复数：复数1=a+bi(a,b∈R)与22=a-bi叫做互为 ,记做22=51,51=52 6.复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做 ,y轴叫做 显然，实轴上的点都表示一；除了原点外，虚轴上的点都表示 7.复数的几何意义： (1)复数与点对应：复数：=a+bi(a,b∈R)。一一对应→复平面内的点2(a,b) 6 Z:a+bi (2)复数与向量对应：复数：=a+bi(a,b∈R)。一一对应→平面向量OZ=(a,b) 8.复数的模：复数-=a+bi(a,b∈R)的模记作 或 而且=a+bi= 复数=a+bi(a,b∈R)的模就是复数二=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到 的距离。 自检自纠： 1.实部虚部2.复数3.实数虚数纯虚数4. a=c b=d 5.共轭复数6.实轴虚轴实数纯虚数 8.日la+b例Va2+b 坐标原点 二、考点专练 目目 考点01 虚数单位及其性质 【经典例题】 1.在复数集中，1为虚数单位，则=() 1/21 专题7.1复数的概念 高中数学导学案 A.-1 B.0 C.2 D.3 2.2025=（) A.1 B.-1 C.i D.-i 3.计i2+i+i+..+i2024=（) A.0 B.i C.1 D.-i 4.已知i为虚数单位，则=(） A.i B.-1 C.1 D.-1 5.1+2i2+3i+…+2022i2022+2023i2023= 【变式训练】 1.已知i为虚数单位，则203=（) A.i B.-i C.1 D.-1 2.已知i是虚数单位，则i+i+i泸+i7= 3.若f(x)=x3-x2+x-1,则f)= 4.i是虚数单位，i十2i2+3i3+..十88= (用a十bi的形式表示，a,b∈R)· 5.i是虚数单位，若集合S={-1,0,1},则() A.i∈S B.i∈S C.i∈S D.-2iES 6.当n取正整数时，计算”+(-i)”(i为虚数单位)的所有可能值，下列选项结果正确的是() A.-2,0,2B.-2i,0,2iC.-1+i,0,1+iD.-2,-2i,0,2,2i. 2/21 专题7.1复数的概念 高中数学导学案 【巩固练习】 1.己知i为虚数单位，那么下列n的取值中，能使”=1成立是() A.3 B.4 C.5 D.6 2.-5的平方根为 3.计算2o21=·(i为虚数单位) 4.已知i是虚数单位，则22= 5.若i是虚数单位，则i+i2+…+i221= 6.1+i+i+i3+.+i2016= 7.计算：i+i2+i子+.+i20= 8.1+i+i2+i+.+i2023= 9.已知i为虚数单位，则2020+i2021+i202= 目目 考点02 复数的基本概念 【经典例题】 1.复数z=2025+1120i的虚部为() A.2025 B.1120i C.1121 D.1120 2.已知复数z=2i+3i2的实部是() A.0 B.2 C.3 D.-3 3.复数2-3i的共轭复数的虚部是() A.2 B.-2 C.3 D.-3 4.己知i是虚数单位，若复数x-(x-2)的实部与虚部之积大于0，则实数x的取值范围是 3/21 专题7.1复数的概念 高中数学导学案 5.下列命题正确的个数是() ①1+i=0: ②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i: ③若x2+y2=0,则x=y=0: ④两个虚数不能比较大小. A.1 B.2 C.0 D.3 【变式训练】 1.已知i为虚数单位，则复数z=2-3√5i的虚部为() A.2 B.-3√5i C.-35 D.i 2.复数==2-5i,则z的虚部为 3.已知i为虚数单位，则226-i的虚部为() A.-1 B.1 C.i D.-i 4.设z=i+i,则z的虚部是() A.1 B.i C.-1 D.-i 5.已知i为虚数单位，则(-i)22的虚部为() A.i B.-i C.1 D.-1 6.复数z=i+2i2+3,则z的虚部为() A.2i B.-2i C.2 D.-2 7.已知a∈R,复数2a+5+(5-a)i的实部是虚部的3倍，则a=() A.-2 B.2 C.1 D.-1 8.给出下列命题：①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数；②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;③若a,b∈C,则 复数a+bi的实部为a,虚部为b;④i的平方等于-l.其中正确命题的序号是() A.① B.② C.③ D.④ 【巩固练习】 1.复数2i-1的实部是() A.1 B.-1 C.2 D.2i 2.若复数z满足z=1+3i(i是虚数单位)，则z的虚部是() A.-3i B.-3 C.3i D.3 4/21 专题7.1复数的概念 高中数学导学案 3.设i为虚数单位，复数2-6i的虚部是() A.-6 B.-6i C.2 D.-2 4.复数z=-2i+i2,则复数z的虚部是（) A.-2 B.2 C.-1 D.1 5.若复数z满足==-2+13，则z的虚部是() A.-2i B.2i C.-2 D.2 6.以3i-√2的虚部为实部，以-3+√2的实部为虚部的复数是() A.3-3i B.3+i C.-√2+√2i D.√2+√2i 7.已知复数31=1+3i的实部与复数22=-1+m的虚部相等，则实数a等于() A.-3 B.3 C.-1 D.1 8.若复数2a-1+(8-ai的虚部是实部的3倍，则实数a= 目目 考点03 复数相等及其应用 【经典例题】 1.已知a,b为实数，a+2i=-3+bi(i为虚数单位)，则() A.a=-3,b=-2 B.a=-3,b=2 C.a=3,b=2 D.a=3,b=-2 2.若a+i=b+2-i(a,b∈R),则a+b=() A.2 B.4 C.-4 D.-2 3.若i2=a+bi(a,b∈R),则a+b=() A.-1 B.0 C.1 D.2 4.若复数z满足2(z+)+2i=4+z-z,则z=() A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 5/21 专题7.1复数的概念 高中数学导学案 5.已知复数31=+(4-m2)i(m∈R),z2=2cos6+(2+3sin8)i(2,8∈R),并且z,=z2,则2的取值范围是 () C.(←0,7) D. 【变式训练】 1.若5-12i=xi+y(x,y∈R),则x= 2.设a>0,b>0,i为虚数单位，若2a+bi=b+2ai,则ab=() A.-1 R月 C. D.1 3.若(x+)i=-y,则实数x,y的值为() A.x=-1,y=1B.x=-1,y=-1C.x=1,y=-1D.x=-1,y=0 4.已知复数z满足z+10i=z(i为虚数单位)，则z的虚部为： 5.已知xeR,i是虚数单位，方程3x2-a2x+(2x2+x)i=1+10i有解，则正实数a=() A.9 B.10 C.11 D.12 6.已知集合A={0,+(2-1)i}(m∈R),B={1,-2i,若A⌒B={1},则() A.m=-1 B.m=0 C.m=1 D.=2 a=ad-bd,如果(+++3i-y 7.定义运算cd 3x+2y i 则y的值为· 8.满足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0的有序实数对(x,y)有 组 9.已知复数名=4-2+i(m∈R),二2=t+2cos日+iW3sin8(,日∈R),若z=22,则t的取值范围为() A.[0,2] 层 c.[2,6 10.已知(1+i)b=a(i-1)+2i,其中a,beR,i为虚数单位，则以a,b为根的一个一元二次方程是() A.x2-1=0 B.x2+x=2 C.x2-x=0 D.x2+x=0 11.(多选)下列命题为真命题的是() A.复数2-2i的虚部为-2i; B.若i为虚数单位，则223=-i; 6/21 专题7.1复数的概念 高中数学导学案 C.在复数集C中，方程+x+1=0有两个解，依次为-+5-13 22 i-22i: D.已知i是虚数单位，aeR,若(a+2i)(1+i)=4i,则实数a=2 【巩固练习】 1.已知a,b为实数，a+3i=-1+bi(i为虚数单位)，则() A.a=1,b=-3B.a=-1,b=3C.a=-1,b=-3D.a=1,b=3 2.若x+i=1+i,x,y∈R,则x-y=() A.2 B.-2 C.1 D.-1 3.己知(2x-1)+i=y+(3-)i,其中，yeR,则x+y= 4.已知2x+8y+(x-6y)i=14-13i,则实数x= 5.若(x-i)i=y+5i(x,yeR),则x+y=() A.6 B.5 C.-6 D.-5 6.已知(1-2i)a+3+4i)b=2+6i,其中a,b为实数，则() A.a=1,b=-1B.a=-1,b=1C.a=-1,b=-1D.a=1,b=1 7.已知x,y∈R,且3x+i=2+yi,则x,y的值分别为() A1. B.4,1 c. D.1,3 8.已知a,beR,复数z=-1+i,2=b-3i(i为虚数单位)，若乙=22，则a+b=（) A.1 B.2 C.-2 D.-4 9.已知z=m2-3m+mi,22=4+(5+6)i,其中m为实数，i为虚数单位，若三-2=0，则m的值为() A.4 B.-1 C.6 D.-1或6 10.定义运算 dad-c,如果(x+)+6k+3i= a 3x+2y i -y (i是虚数单位)，那么实数x+y的值为 11.设实数x,y,0满足x+i=1+5cos6+(-1+5sin8)i,则x2+y2的最大值为 12.=m+mi(m∈R),二2=cos8+(+3sin8)i(2,0∈R),并且=2，则2的取值范围为 13.已知复数31=m+(4-2)i,2=2cos8+(2+3sin0)i,(m,元，6∈R),且2=乙2，则的取值范围是（) A.[81B.&]c[8+w D.1,] 7/21 专题7.1复数的概念 高中数学导学案 复数的类型与求参 目目 考点04 【经典例题】 1.在2+V万， ,0,8+5i,0-5,0618这几个数中，纯虚数的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 2.下列命题正确的是() A.复数a+bi不是纯虚数 B.若x=1,则复数z=（x2-1+(x+1)i是纯虚数 C.若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=士2 D.若复数z=a+bi,则当且仅当b≠0时，z为虚数 3.在复平面上，平行于y轴的非零向量所对应的复数一定是() A.实数B.虚数且非纯虚数 C.纯虚数 D,无法确定 4.已知复数m(0-2)+(m-1)(-2)i是纯虚数，则实数m的值为()· A.0或2 B.0 C.1或2 D.1 5.若复数z=m+1+(-1)i是实数，则实数m=（) A.-1 B.0 C.1 D.2 6.已知i为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是() A.1-3i B.5 C.3+i D.3i 8/21 专题7.1复数的概念 高中数学导学案 7.(多选)下列命题错误的是() A.若a>b,则a+i>b+iB.-i=-1C.(d+l)i(a∈R)是纯虚数D.若=∈C,则z2>0 【变式训练】 1.已知x=3,y=1,下列为纯虚数的是() A.（1-y2)i B.(x-y)'i C.x+(x-3y)i D.2x-yi 2.已知复数z=d-1+(d-2a-3)i,其中aeR,i是虚数单位，若z为纯虚数，则a的值为() A.-1 B.1 C.3D.-1或1 3.复数：=m+6+(r+5m-6)i是实数，则实数m的值为 m-1 4.已知复数z=(m2-1)+(+1)i,m∈R为纯虚数，则实数m= 5.已知m∈R,i是虚数单位，复数z=m2+-2+(m2-1)i.若z是纯虚数，m的值为 6.已知i为虚数单位，复数==a2-4+(2a+4)i(a∈R)是纯虚数，则a= 7.“a=4”是“复数z=a2-16+(a+4)i为纯虚数”的() A.充分非必要条件B.充要条件C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件 8.下列关于复数z=x2-y2+(x2-2xy+y2)i(,y∈的命题中， ①若z是实数，则y=x;②若z是虚数，则y≠x;③若z是纯虚数，则y=-x≠0. 真命题的序号是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 9.（多选)下列四个命题，错误的是() A.两个复数不能比较大小 B.若复数z满足z2∈R,则z∈R C.若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应 D.纯虚数集相对复数集的补集是虚数集 【巩固练习】 1.下列各数中，是纯虚数的是() A.0 B.1+√3 C.1+3)i D.1+V3 9/21 专题7.1复数的概念 高中数学导学案 2.若复数=a-1+(2a-4)i(a∈R)为纯虚数，则a=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.已知(m2-2-3)+(m+1)i是纯虚数，则实数m的值为() A.-1或3 B.1或3 C.-1 D.3 4.已知i为虚数单位，复数二=m2-2m+i(m∈R)是纯虚数，则m=() A.2或0 B.2 C.0 D.-2 5.已知复数z为纯虚数，且+1=a2+(a+1)i,则实数a=() A.-1 B.0 C.1 D.±1 6.设复数z=a+bi(其中a,b∈R,i为虚数单位)，则“二=三是“z为实数”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7.若复数z=m2-5+6+(m2-3m)i是纯虚数，则实数m=() A.2或3 B.3 C.2 D.0 8.若复数z=a-1+(2a-4)i(a∈R)为纯虚数，则a=() A.2 B.1 C.0 D.-2 9.复数二=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数，则a= |z= 目目考点05 复数的几何意义 【经典例题】 1.复数z=20-26i在复平面内对应的点位于() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(2，-2)，则z的共轭复数三=() A.-2-2i B.2-2i C.-2+2i D.2+2i 3.复数=1+V3i和5，=1-√3i在复平面内的对应点关于() A.实轴对称 B.一、三象限的角平分线对称 C.虚轴对称 D.二、四象限的角平分线对称 10/21专题7.1复数的概念 高中数学导学案 专题7.1复数的概念 一、知识填空 1.复数概念：形如二=a+i(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i=1.其中的a叫做复 数z的 b叫做复数z的 2.复数集：全体 所构成的集合，即C={a+bia,b∈R} 3.复数=a+bi(a,b∈R)的分类 当b=0时，二=a为_；当b≠0时，二=a+bi为，当a=0,b≠0时，5=bi为 4.复数相等：若=a+bi(a,b∈R)与2=c+(c,d∈R),则=22⊙ 5.共轭复数：复数1=a+bi(a,b∈R)与22=a-bi叫做互为 ,记做22=51,51=52 6.复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做 ,y轴叫做 显然，实轴上的点都表示一；除了原点外，虚轴上的点都表示 7.复数的几何意义： (1)复数与点对应：复数：=a+bi(a,b∈R)。一一对应→复平面内的点2(a,b) 6 Z:a+bi (2)复数与向量对应：复数：=a+bi(a,b∈R)。一一对应→平面向量OZ=(a,b) 8.复数的模：复数-=a+bi(a,b∈R)的模记作 或 而且=a+bi= 复数=a+bi(a,b∈R)的模就是复数二=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到 的距离。 自检自纠： 1.实部虚部2.复数3.实数虚数纯虚数4. a=c b=d 5.共轭复数6.实轴虚轴实数纯虚数 8.日la+b例Va2+b 坐标原点 二、考点专练 目目 考点01 虚数单位及其性质 【经典例题】 1.在复数集中，1为虚数单位，则=() 1/39 专题7.1复数的概念 高中数学导学案 A.-1 B.0 C.2 D.3 【答案】A 【详解】由复数运算性质得2=-1，故A正确.故选：A 2.2025=（) A.1 B.-1 C.i D.-i 【答案】C 【详解】i2025=i06x4H=i06x4.i=i.故选：C 3.计i2+i+i+..+i2024=（) A.0 B.i C.1 D.-i 【答案】A 【详解】因为2=-1，i=-i,i计=1，i=i…,所以具有周期性，周期为4， 所以i+i2++i4=0,所以i计i+i+i+..+i2024=0.故选：A 4.已知为虚数单位，则号-() 1 A.i B.-i C.1 D.-1 【答案】B 【详解】由题意可得： 下-i.故选：B 11 5.i+2i2+3+.+2022i2022+2023i2023= 【答案】-1012-1012i/-1012i-1012 【详解】，2i2=-2,3i=-3i,4i4=4,.i+2i2+3+4i4=i-2-3i+4=2-2i, 则5i+6i6+7i7+88=2-2i,,2021i2021+2022i202+2023i2023+2024i2024=2-2i, 故原式=506×(2-2i)）-2024=-1012-1012i.故答案为：-1012-1012i 【变式训练】 1.已知i为虚数单位，则2033=() A.i B.-i C.1 D.-1 【答案】A 【详解】3=()i=i,故选：A 2.已知i是虚数单位，则i+i+i的+i”= 【答案】0 【详解】i+i+i泸+i=i-i+i-i=0.故答案为：0 2/39 专题7.1复数的概念 高中数学导学案 3.若f(x)=x-x2+x-1,则f(①)= 【答案】0 【详解】f(i)=i-i2+i-1=-i+1+i-1=0.故答案为：0 4.i是虚数单位，i十2i2+3i3+.+88= (用a十bi的形式表示，a,b∈R). 【答案】4-4i 【详解】i是周期为4的运算，i2=-1,i2=-i,4=1, 代入原式得i+(-2)+(-3i)+4+5i+(-6)+(-7i)+8=4-4i.故答案为：4-4i 5.i是虚数单位，若集合S={-1,0,1},则() A.i∈S B.iP∈S C.i∈S D.-2iES 【答案】B 【详解】选项A:i是虚数，不是实数，而S中的元素都是实数，因此iS,故A错误：选项B:i=-1, 而-1es,所以i∈S成立，故B正确：选项C:i=i2.i=-i,-i是虚数，不属于s,故C错误： 选项D:-2i是虚数，也不属于S,故D错误.故选：B 6.当取正整数时，计算+(-i)”(i为虚数单位)的所有可能值，下列选项结果正确的是() A.-2,0,2B.-2i,0,2iC.-1+i,0,1+iD.-2,-2i,0,2,2i. 【答案】A 【详解】由的乘方的周期性， 当n=4k,(k∈N)时，i+(-i)”=1+1=2: 当n=4k+1,(k∈N)时，i”+(-i”=i+(-)=0: 当n=4h+2,(k∈N)时，i+(-i)”=i2+(-)2=-2; 当n=4+3,(k∈N)时，i+(-i)”=i+(-i)3=0: 综上，i”+(-)”(i为虚数单位)的所有可能值为2,0，-2，故选：A 【巩固练习】 1.已知i为虚数单位，那么下列n的取值中，能使”=1成立是() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【详解】由i2=-1,则4=i×i2=1故选：B 2.-5的平方根为 3/39 专题7.1复数的概念 高中数学导学案 【答案】±√5i 【详解】-5的平方根为±√5=±V5i=±√5i,故答案为：±V5i 3.计算2021 (i为虚数单位) 【答案】i 【详解】i2021=i4x5051=i,故答案为：i 4.已知i是虚数单位，则222=_， 【答案】-1 【详解】i2022=i2=-1.故答案：-1. 5.若i是虚数单位，则i+i2+…+i221= 【答案】i 【i详解】i+护+…+_i0-i）_i0-f）_i0-D=, 故答案为：i 1-i 1-i 1-i 6.1+i+i2+i++i206= 【答案】1 【详解】1+i+i2+i++i2016=1+504i++i+i)=1,故答案为：1. 7.计算：i+i2+i3++i0=一· 【答案】0 【详解】因为i=()=1(keN),所以1=ii=ii+2=ii2=-1,i3=ii=-i,i+4=i=1, 又i-1+(i)+1=0,所以rmeN')是以4为周期，且每个周期内的和为0，又20=50，所以 4 i+i2+i++i200=0.故答案为：0. 8.1+i+i2+i3+.+i2023= 【答案】0 【详解】1+i+i+i+…+i023=1+505(i+i+i+1)+i+i2+i=0,故答案为：0. 9.已知i为虚数单位，则i2020+i2021+i2022= 【答案】i 【详解】由i=1,i4n1=i,i+2=-1,i4+3=-i,得i2020+i2021+i2022=1+i-1=i.故答案为：i. 目目 考点02 复数的基本概念 【经典例题】 1.复数z=2025+1120i的虚部为() 4/39 专题7.1复数的概念 高中数学导学案 A.2025 B.1120i C.1121 D.1120 【答案】D 【详解】由z=2025+1120i可知，虚部为1120.故选：D 2.已知复数z=2i+3i记的实部是() A.0 B.2 C.3 D.-3 【答案】D 【详解】依题意，二=一3+2i,所以复数z的实部为-3.故选：D. 3.复数2-3i的共轭复数的虚部是() A.2 B.-2 C.3 D.-3 【答案】C 【详解】因为复数2-3i的共轭复数是2+3i,所以复数2+3i的虚部为3.故选：C 4.已知i是虚数单位，若复数x-(x-2)的实部与虚部之积大于0，则实数x的取值范围是 【答案】(0,2) 【详解】由复数x-(x-2)i,可得复数的实部为x,虚部为-(x-2),因为复数x-(x-2)i的实部与虚部之 积大于0，可得-(x-2)x>0,即x(x-2)<0,解得0<x<2,所以实数x的取值范围为(0,2).故答案为：(0,2) 5.下列命题正确的个数是() ①1+i2=0;②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i;③若x2+y2=0,则x=y=0;④两个虚数不能比较 大小 A.1 B.2 C.0 D.3 【答案】B 【详解】对于①，因为=-1，所以1+i2=0,故①正确：对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误： 对于③，当x=1,y=i时，x2+y2=0成立，故③错误；④正确.故选：B 【变式训练】 1.已知i为虚数单位，则复数z=2-3√3i的虚部为() A.2 B.-33i C.-35 D.i 【答案】c 【详解】根据复数的概念，可得复数：=2-3√3i的虚部为-3√3.故选：C 2.复数：=2-5i,则z的虚部为 5/39 专题7.1复数的概念 高中数学导学案 【答案】-5 【详解】由复数：=2-5i,可得复数的虚部为-5.故答案为：-5 3.已知i为虚数单位，则226-i的虚部为（) A.-1 B.1 C.i D.-i 【答案】A 【详解】i2026-i=-1-i,虚部为一1.故选：A 4.设z=i2+i,则z的虚部是（) A.1 B.i C.-1 -1 【答案】A 【详解】由于z=i子+i=1+i,所以z的虚部为1，故选：A 5.已知i为虚数单位，则(-i)2的虚部为() A.i B.-i C.1 D.-1 【答案】D 【详解】因为(-i)025=-i2025=-io641=-i,所以(i)202的虚部为-1，故选：D. 6.复数z=i+2i2+3,则z的虚部为() A.2i B.-2i C.2 D.-2 【答案】D 【详解】由z=i+2i2+3i可得：z=-2-2i,故z的虚部为-2.故选D 7.已知a∈R,复数2a+5+(5-a)i的实部是虚部的3倍，则a=() A.-2 B.2 C.1 D.-1 【答案】B 【详解】易知复数2a+5+(5-a)i的实部为2a+5,虚部为5-a;所以2a+5=3(5-a),解得a=2. 故选：B 8.给出下列命题：①若a∈R,则(a+l)i是纯虚数；②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;③若a,b∈C,则 复数α+bi的实部为a,虚部为b:④i的平方等于-1.其中正确命题的序号是() A.① B.② C.③ D.④ 【答案】D 【详解】对于复数a+bi(a,b∈R),当a=0且b≠0时为纯虚数，在①中，若a=-l,则(a+1)i不是纯虚 数，①错误；在②中，两个虚数不能比较大小，②错误：在③中，只有当a,b∈R时，复数a+bi的实部才 为a,虚部为b,③错误；在④中，i的平方等于-1，④正确.故选：D 6/39 专题7.1复数的概念 高中数学导学案 【巩固练习】 1.复数2i-1的实部是() A.1 B.-1 C.2 D.2i 【答案】B 【详解】由2i-1得，实部为-1，故选：B 2.若复数z满足z=1+3i(i是虚数单位)，则z的虚部是() A.-3i B.-3 C.3i D.3 【答案】D 【详解】由题意得，z的虚部是3.故选：D. 3.设i为虚数单位，复数2-6i的虚部是() A.-6 B.-6i C.2 D.-2 【答案】A 【详解】根据虚部的概念知，复数2-6i的虚部是-6.故选：A 4.复数z=-2i+i2,则复数z的虚部是() A.-2 B.2 C.-1 D.1 【答案】A 【详解】由题意可得：z=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以复数z的虚部是-2.故选：A. 5.若复数z满足二=-2+13i,则z的虚部是() A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】D 【详解】-=-2i+13i4=-22.i计13()=(-2)×(-1)i+13×(-1)2=13+2i,则z的虚部是2.故选：D 6.以3i-√2的虚部为实部，以-3+√2的实部为虚部的复数是() A.3-3i B.3+i C.-√2+√2i D.√2+√2i 【答案】A 【详解】3i-√2的虚部为3-3+√2i的实部为-3，所以所求复数为3-3i.故选：A 7.已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=-1+m的虚部相等，则实数a等于（) A.-3 B.3 C.-1 D.1 【答案】D 【详解】由复数=1+3i的实部与复数z2=-1+i的虚部相等，且a为实数，所以a=1.故选：D. 8.若复数2a-1+(8-ai的虚部是实部的3倍，则实数a= 7/39 专题7.1复数的概念 高中数学导学案 【答案1 【详解】因为2a-1+8-o1的虚部是实部的3倍：所以8-a=3(2n-),解得a=号故答案为： 11 目目 考点03 复数相等及其应用 【经典例题】 1.已知a,b为实数，a+2i=-3+bi(i为虚数单位)，则() A.a=-3,b=-2 B.a=-3,b=2 C.a=3,b=2 D.a=3,b=-2 【答案】B 【【详解】因为a+2i=-3+bi,所以a=-3,b=2.故选：B. 2.若a+i=b+2-i(a,beR),则a+b=() A.2 B.4 C.-4 D.-2 【答案】C a=b+2 b=-3 【详解】由题意得， 1=-a 解得 =-1,所以a+b=-4故选：C 3.若i=a+bi(a,b∈R),则a+b=() A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】A 【详解】由i=a+bi=-1,所以a=-1,b=0,则a+b=-1.故选：A 4.若复数z满足2(z+z)+2i=4+z-z,则z=() A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 【答案】A 【详解】设z=a+bi(a,beR),则2(s+)+2i=4a+2i=4+2-三=4+2bi, 4a=4、a=1 {2=2b9b=1即z=1+i, 故选：A 5.已知复数z1=m+(4-m)i0l∈R),二2=2cos8+(亿+3sim)i(,0∈R),并且z,=Z2,则元的取值范围是 () C.(-0,7) 9 【答案】B 8/39 专题7.1复数的概念 高中数学导学案 4-m=+3in0化为4sm0=+38m0,÷a=4sn6-3_9 m=2cos e 【详解】2=22，， 816 9 ,-1≤sin0≤1，∴.当sin0=。时，取得最小值- 8 15:当siB二二1时，入取得最大值7···一，云≤入≤7， 9 ∴，入的取值范围是 故选：B 16 【变式训练】 1.若5-12i=xi+y(x,y∈R),则x= 【答案】 -12 5 【详解】因为5-12i=xi+y(x,y∈R),由复数相等的充要条件可知x=-12,y=5,故答案为：-12；5 2.设a>0,b>0,i为虚数单位，若2a+bi=b+2ai,则ab=() A.-1 C. D.1 【答案】c 「2a=b, b2=24, 1 a= 【详解】由题得 解得 a>0, 所以a山-号故选：c b=1, b>0, 3.若(x+)i=-y,则实数x,y的值为() A.x=-1,y=1B.x=-1,y=-1C.x=1,y=-1D.x=-1,y=0 【答案】D [x+1=0.「x=-1 【详解】(x+1)i=-y→(+1)i+y=0→ y=0 {y=0放选：D 4.已知复数z满足z+10i=z(i为虚数单位)，则z的虚部为 【答案】-5 【详解】设=a+bi(a,b∈R),因为z+10i=z,所以a+bi+10i=a-bi,可得b+10=-b,解得为b=-5, 则z的虚部为-5.故答案为：-5 5.已知xeR,i是虚数单位，方程3x2-a.2x+(2x2+x)i=1+10i有解，则正实数a=() A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】c 【详解】由复数相等的充要条件得 3x2-x=1 2,解得x=2或x=),当x2时，解得a=11>0 2x2+x=10 9/39 专题7.1复数的概念 高中数学导学案 当x=- 时，解得a- 1舍：故选：C 6.己知集合A={0,+(m2-1)i(m∈R),B={L,-2i},若A⌒B=},则() A.=-1 B.=0 C.m=1 D.m=2 【答案】C 【详解】由集合A={0,m+(m2-1)}m∈R),B={L,-2i,且AnB=},得m+(0m2-1)i=1,因此 =1 m2-1=0 所以m=1,当m=1时，A=0,1},因B=1,-2i},故A⌒B={},符合题意故选：C a 7.定义运算 a1-bd,如果(c++K+3i b 3x+2y i -y1 则y的值为· 【答案】-2 3x+2y i 【详解】由定义运算 d-c, =3x+2y+i,故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi. x+v=3x+2y 「2x+y=0 x=-1 因为x,y为实数，所以有 x+3=y 得 +3=y得 y=2所以0w=-2故答案为：-2 8.满足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0的有序实数对(x,y)有组 【答案】四 【详解】由2+5x+2=0,2-y-2-0,解得x-2成分少=2成-1，可得 =-2 =2·或/ x=-2 1或 &s-1 1 x= 2,或{2.所以共有四组实数对.故答案为：四 y=2 y=-1 9.已知复数乙=4-2+mi(m∈R),二=t+2cos日+iW3sin6(t,日∈R),若Z=Z2,则t的取值范围为() A.[0,2] B c.[2,6] 【答案】D 4-m2=t+2cos6, 【详解】因为2=22，所以 m=√3sind, 1-40-2a9-w0-2a01=f0o-号今 上单调递增，所以当x}时，子 当x=-1时，tx=6,所以t∈ 故选：D 10/39专题7.1 复数的概念 高中数学导学案 专题7.1 复数的概念 一、知识填空 1.复数概念：形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，满足．其中的叫做复数的 ，叫做复数的 ． 2.复数集：全体 所构成的集合，即 3.复数的分类: 当时，为 ；当时，为 ，当时，为 . 4. 复数相等：若与，则 5. 共轭复数：复数与叫做互为 ，记做 6.复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做 ，y轴叫做 . 显然，实轴上的点都表示 ；除了原点外，虚轴上的点都表示 . 7.复数的几何意义： （1）复数与点对应：复数复平面内的点 （2）复数与向量对应：复数 平面向量 8.复数的模：复数的模记作 或 ,而且 . 复数的模就是复数在复平面内对应的点到 的距离. 自检自纠： 1.实部 虚部 2.复数 3.实数 虚数 纯虚数 4. 5. 共轭复数 6. 实轴 虚轴 实数 纯虚数 8. 坐标原点 二、考点专练 地 城 考点01 虚数单位及其性质 【经典例题】 1．在复数集中，为虚数单位，则（    ） A． B．0 C．2 D．3 2．（   ） A．1 B． C． D． 3．（    ） A．0 B． C．1 D． 4．已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 5．________． 【变式训练】 1．已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 2．已知i是虚数单位，则_______ 3．若，则______． 4．i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________（用a＋bi的形式表示，a，b∈R）． 5．i是虚数单位，若集合，则（   ） A． B． C． D． 6．当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（   ） A．-2，0，2 B．-2，0，2 C．-1+，0，1+ D．-2，-2，0，2，2. 【巩固练习】 1．已知为虚数单位，那么下列的取值中，能使成立是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．的平方根为___________. 3．计算______．（为虚数单位) 4．已知i是虚数单位，则＝__． 5．若是虚数单位，则__________. 6．__________． 7．计算：______． 8．__________. 9．已知i为虚数单位，则_________． 【经典例题】地 城 考点02 复数的基本概念 1．复数的虚部为（   ） A．2025 B． C．1121 D．1120 2．已知复数的实部是（    ） A．0 B．2 C．3 D． 3．复数的共轭复数的虚部是（    ） A．2 B． C．3 D． 4．已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积大于0， 则实数的取值范围是_____. 5．下列命题正确的个数是（    ） ①； ②若，且，则； ③若，则； ④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【变式训练】 1．已知为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 2．复数，则的虚部为______. 3．已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 4．设，则的虚部是（    ） A．1 B． C． D． 5．已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 6．复数，则的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 7．已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 8．给出下列命题：①若R，则是纯虚数；②若R且，则；③若C，则复数的实部为a，虚部为b；④i的平方等于.其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【巩固练习】 1．复数的实部是（   ） A．1 B．-1 C．2 D． 2．若复数满足（是虚数单位），则的虚部是（　　） A． B． C． D．3 3．设为虚数单位，复数的虚部是（   ） A． B． C．2 D． 4．复数，则复数的虚部是（    ） A． B．2 C． D．1 5．若复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．-2 D．2 6．以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（   ） A． B． C． D． 7．已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（   ） A． B．3 C． D．1 8．若复数的虚部是实部的3倍，则实数__________. 【经典例题】地 城 考点03 复数相等及其应用 1．已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 3．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 5．已知复数,，并且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．若，则__________，__________． 2．设为虚数单位，若，则（    ） A．-1 B． C． D．1 3．若，则实数x，y的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为_____. 5．已知，是虚数单位，方程有解，则正实数（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 7．定义运算，如果，则的值为____． 8．满足的有序实数对有______组. 9．已知复数，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）下列命题为真命题的是（ ） A．复数的虚部为; B．若为虚数单位，则; C．在复数集中，方程有两个解，依次为; D．已知是虚数单位，若，则实数; 【巩固练习】 1．已知为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．若，，，则（   ） A．2 B． C．1 D． 3．已知，其中，则____. 4．已知，则实数________，________． 5．若，则（   ） A．6 B．5 C．-6 D．-5 6．已知，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 8．已知a，，复数，（i为虚数单位），若，则（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－4 9．已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 10．定义运算，如果（是虚数单位），那么实数的值为_______ 11．设实数，，满足，则的最大值为_________． 12．，，并且，则的取值范围为______. 13．已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【经典例题】地 城 考点04 复数的类型与求参 1．在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 3．在复平面上，平行于轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．实数 B．虚数且非纯虚数 C．纯虚数 D．无法确定 4．已知复数是纯虚数，则实数的值为（   ）． A．0或2 B．0 C．1或2 D．1 5．若复数是实数，则实数（   ） A． B． C． D． 6．已知为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是（    ） A． B．5 C． D． 7．（多选）下列命题错误的是（   ） A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 【变式训练】 1．已知，，下列为纯虚数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ） A． B．1 C．3 D．或1 3．复数是实数，则实数的值为________． 4．已知复数，为纯虚数，则实数________. 5．已知，i是虚数单位，复数．若z是纯虚数，m的值为________ 6．已知为虚数单位，复数是纯虚数，则______________． 7．“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 8．下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．（多选）下列四个命题，错误的是（   ） A．两个复数不能比较大小 B．若复数z满足，则 C．若实数a与对应，则实数集与纯虚数集一一对应 D．纯虚数集相对复数集的补集是虚数集 【巩固练习】 1．下列各数中，是纯虚数的是（   ） A．0 B． C． D． 2．若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知是纯虚数，则实数的值为（    ） A．-1或3 B．1或3 C．-1 D．3 4．已知i为虚数单位，复数是纯虚数，则（   ） A．2或0 B．2 C．0 D． 5．已知复数为纯虚数，且，则实数（    ） A． B． C． D． 6．设复数（其中，为虚数单位），则“”是“z为实数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若复数是纯虚数，则实数（   ） A．2或3 B．3 C．2 D．0 8．若复数（）为纯虚数，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 9．复数是纯虚数，则_____________，_____________． 地 城 考点05 复数的几何意义 【经典例题】 1．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（   ） A． B． C． D． 3．复数和在复平面内的对应点关于（   ） A．实轴对称 B．一、三象限的角平分线对称 C．虚轴对称 D．二、四象限的角平分线对称 4．已知为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是________． 6．已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 7．已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是__________． 8．若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为______． 9．设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为______． 【变式训练】 1．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，复数在复平面内对应的点为，则（   ）   A． B． C．1 D． 3．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 5．已知复数，设在复平面内对应的向量分别为，则（    ） A． B．3 C．5 D． 6．已知在复平面内对应的点的横坐标为3，则（    ） A．4 B． C．3 D． 7．在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 8．已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 10．在复平面内，O是原点，已知复数，，，它们所对应的点分别是A，B，C．若，则的值是_____________． 【巩固练习】 1．已知复数，则在复平面上所对应的点为（    ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设复数在复平面内对应的点位于第二象限，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在复平面内，若复数对应的点为，则复数的虚部为（   ） A． B． C．1 D． 5．若复数的虚部为1，则在复平面对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 7．已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）若复数，则下列说法正确的有（    ） A．实部为 B．虚部为 C． D．复数对应的点在第一象限 9．在复平面内的长方形的四个顶点中，点，，对应的复数分别是，，，则点对应的复数为________． 10．已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是______． 地 城 考点06 复数的模 【经典例题】 1．已知复数，则（   ） A．1 B． C． D．5 2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 3．使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知复数，则复数的模的最大值为_____________，最小值为_____________． 5．（多选）对于下列四个命题，正确的是（   ） A．任何复数的模都是非负数； B．如果复数，，，，那么这些复数的对应点共圆 C．的最大值是，最小值为0 D．轴是复平面的实轴，轴是虚轴 【变式训练】 1．已知复数，则（   ） A． B． C．4 D．5 2．复数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．复数的虚部为（   ） A．2 B． C．0 D． 4．已知复数，为虚数单位，为z的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 5．已知复数满足：，则（   ） A．1 B． C． D．2 6．（多选）下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则 B．若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若复数在复平面内对应的点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【巩固练习】 1．___________． 2．若复数满足，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知（其中i为虚数单位），则（    ）． A．5 B．7 C．9 D．25 4．已知复数，则（    ） A．1 B． C． D．2 5．已知复数z所对应的点在第四象限，且，的虚部为，则复数（    ） A． B． C． D． 6．“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知复数满足，则实数的可能取值为（   ） A．2 B． C．1 D． 地 城 考点07 解答题 【经典例题】 1．实数取何值时，复数是 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 2．在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 3．在复平面内，已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，．求： (1)向量对应的复数； (2)向量对应的复数； (3)点对应的复数． 4．已知复数，，，它们在复平面上的对应点分别是正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 5．设全集，集合，，且在复平面内的对应点位于第四象限. (1)求集合B； (2)当时，求； (3)若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 6．欧拉公式：（是自然对数的底数，为虚数单位，），建立了指数函数和三角函数之间的关系，进而可以化成复数的代数形式. (1)根据欧拉公式将化成复数的代数形式； (2)设函数，，求的值域. 【变式训练】 1．已知复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 2．设复数， (1)当实数m为何值时，z是纯虚数？ (2)当实数m为何值时，z是实数？ 3．已知复数，（）， (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围； (3)若复数z对应的点位于直线上，求复数z. 4．在复平面内，复数对应的点为. (1)若为纯虚数，求的值； (2)设为坐标原点，为虚轴负半轴上任意一点，若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. 5．已知复数（是虚数单位），. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 6．已知, ．若，求实数m的取值范围． 【巩固练习】 1．当m为何值时，复数,是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 2．设复数，当为何值时： (1)是实数？ (2)是纯虚数？ 3．设复数，对应的点满足下列关系，求的范围或取值. (1)点在第二象限； (2)点在直线上. 4．已知复数，则 (1)当实数m取什么值时，z是实数； (2)当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限． 5．已知复数（，为虚数单位）. (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 6．已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若是纯虚数，求的值； (2)在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 三、达标检测 《复数的概念》小题检测 （限时40分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．复数（   ） A．1 B．2 C． D． 2．的平方根是（    ） A． B． C． D． 3．复数的实部与虚部之和为（    ） A． B． C．8 D．6 4．若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 5．若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 6．若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．若（，是虚数单位），则的值分别等于（   ） A． B． C． D． 8．如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”.已知与互为“共胚复数”.其中为虚数单位，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．3 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列命题中，错误的是（    ） A．若，，且，则 B．若（），则 C．若（），则当且仅当且时， D．若，，且，则 10．已知复数满足，则可能为（    ）. A．0 B． C． D． 11．（多选）下列命题不正确的是（    ） A．复数不可能是纯虚数 B．若复数，则当且仅当时，为虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若，则复数为纯虚数 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知，则______. 13．已知，其中、，则_________． 14．已知复数，若，则实数的取值范围为________． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $