2026届高考数学二轮复习小题专题练2.1 数列的通项公式

专题练2.1　数列的通项公式 [分值：73分] 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足3an=2Sn+1,则S5=(　　) A.11 B.31 C.61 D.121 2.设数列{an}的前n项和为Sn，若=(n∈N*)，且a1=-则等于(　　) A.-2 027 B.-2 026 C.2 025 D.-2 025 3.已知数列{an}满足an+1=,且a1=2,则a9=(　　) A. B. C. D. 4.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+nan=1,则满足Sn>0.99时,n的最小值为(　　) A.49 B.50 C.99 D.100 5.已知数列{an}满足a1=3，an+1=an+2+1，则a10等于(　　) A.80 B.100 C.120 D.143 6.已知数列{an}满足[2-(-1)n]an+[2+(-1)n]an+1=1+(-1)n×3n(n∈N*)，则a25-a1等于(　　) A.100 B.200 C.300 D.400 7.已知在数列{an}中，a1=2，a2=2 025，an+1=(n≥2)，则{an}中的最大项是(　　) A.a1 012 B.a1 013 C.a2 024 D.a2 025 8.定义：对任意n∈N*，都有an+an+1=c(c为常数)，称数列{an}为“等和”数列.设“等和”数列{an}的首项为a1，直线kx-(y+k)+2=0(k∈R)过定点P(a1，a2)，则an等于(　　) A.2 025 B.2 562 C.3 036 D.3 037 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,a2=3,an+1=3an-2an-1(n≥2),则下列说法正确的有(　　) A.数列{an+1-an}为等差数列 B.数列{an+1-2an}为等比数列 C.an=2n-1 D.Sn=2n+1-n-2 10.对于数列{an},定义An=为数列{an}的“好数”,已知某数列{an}的“好数”An=2n+1,记数列{an-kn}的前n项和为Sn,若Sn≤S6对任意的n∈N*恒成立,则k的可能取值为(　　) A.2 B. C. D. 11.若f(x)=(x-1)3+2(x-1)-ln+2，数列{an}的前n项和为Sn，且S1=2Sn=nan+1，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)关于点(1，2)中心对称 B.数列{an}是等差数列 C.数列{an}的通项公式为an= D.f(ai)=38 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn=3an+4，则{an}的通项公式为　　　　　　　　.  13.已知数列{an}满足a1=2,an>0且+1,则-n=　　　　　. 14.已知数列{an}满足2anan+1+an+1=3an,且a2=,则使不等式+…+<100成立的n的最大值为　　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题练2.1　数列的通项公式 [分值：73分] 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足3an=2Sn+1,则S5=(　　) A.11 B.31 C.61 D.121 答案　D　 解析 令n=1,得3a1=2S1+1=2a1+1,得a1=1. 由3an=2Sn+1,当n≥2时,3an-1=2Sn-1+1,两式相减得3an-3an-1=2(Sn-Sn-1)=2an,即an=3an-1,即=3(n≥2),所以数列{an}是以a1=1为首项,3为公比的等比数列,所以S5==121. 2.设数列{an}的前n项和为Sn，若=(n∈N*)，且a1=-则等于(　　) A.-2 027 B.-2 026 C.2 025 D.-2 025 答案　A 解析　因为an+1=Sn+1-Sn(n∈N*)， 所以=⇒= 所以= 化简整理得Sn+1-Sn=Sn+1Sn(n∈N*)， 所以-=-1(n∈N*)， 所以数列是以-1为公差的等差数列， 又因为==-2， 所以等差数列的通项公式为=-2+(n-1)×(-1)=-n-1， 所以=-2 027. 3.已知数列{an}满足an+1=,且a1=2,则a9=(　　) A. B. C. D. 答案　A　 解析 易知an≠0,从而由题意得,即-1=--1),-1=-0,所以数列是以-为首项,-为公比的等比数列,从而-1=-,所以-1=,解得a9= 4.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+nan=1,则满足Sn>0.99时,n的最小值为(　　) A.49 B.50 C.99 D.100 答案　D　 解析 因为Sn+nan=1,所以a1=,当n≥2时,Sn+nan=Sn-1+(n-1)an-1=1,所以(n+1)an=(n-1)an-1,即(n≥2),此时an=…a1=…(n≥2),当n=1时也满足该式, 故an=,Sn=1-nan=1-,若Sn=1->0.99,解得n>99,又n∈N*,所以n的最小值为100. 5.已知数列{an}满足a1=3，an+1=an+2+1，则a10等于(　　) A.80 B.100 C.120 D.143 答案　C 解析　因为an+1=an+2+1， 所以an+1+1=()2+2+1， 即an+1+1=(+1)2， 等式两边开方可得=+1， 即-=1， 所以数列{}是首项为=2， 公差为1的等差数列， 所以=2+(n-1)×1=n+1， 所以an=n2+2n， 所以a10=102+20=120. 6.已知数列{an}满足[2-(-1)n]an+[2+(-1)n]an+1=1+(-1)n×3n(n∈N*)，则a25-a1等于(　　) A.100 B.200 C.300 D.400 答案　C 解析　∵[2-(-1)n]an+[2+(-1)n]an+1=1+(-1)n×3n， ∴令n=2k(k∈N*)，可得a2k+3a2k+1=1+6k. 令n=2k-1(k∈N*)，可得a2k+3a2k-1=4-6k. ∴a2k+1-a2k-1=4k-1， ∴a25-a1=(a25-a23)+(a23-a21)+…+(a3-a1) =(4×12-1)+…+(4×1-1)=4×-1×12=300. 7.已知在数列{an}中，a1=2，a2=2 025，an+1=(n≥2)，则{an}中的最大项是(　　) A.a1 012 B.a1 013 C.a2 024 D.a2 025 答案　B 解析　记k=2 025，由题意得当n≥2时，an+1= 整理可得k-kan+1an-1=2an+1an， 得-an+1an-1=an+1an，即-= 又a1=2，a2=k，所以=则是以为首项为公差的等差数列， 所以== 当1≤n≤1 012时<1，即an<an+1， 当n≥1 013时>1，即an>an+1， 所以a1<a2<…<a1 012<a1 013>a1 014>…， 故{an}中的最大项为a1 013. 8.定义：对任意n∈N*，都有an+an+1=c(c为常数)，称数列{an}为“等和”数列.设“等和”数列{an}的首项为a1，直线kx-(y+k)+2=0(k∈R)过定点P(a1，a2)，则an等于(　　) A.2 025 B.2 562 C.3 036 D.3 037 答案　D 解析　由直线kx-(y+k)+2=0(k∈R)变形得k(x-1)-y+2=0(k∈R)，当x=1时，y=2， 所以直线过定点P(1，2)，即a1=1，a2=2， 由数列{an}为“等和”数列且an+an+1=c(c为常数)， 所以an+an+1=a1+a2=1+2=3， 所以“等和”数列{an}的奇数项为1，偶数项为2， 所以an=a1+a2+a3+a4+…+a2 023+a2 024+a2 025 =(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2 023+a2 024)+a2 025 =3×+1=3 037. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,a2=3,an+1=3an-2an-1(n≥2),则下列说法正确的有(　　) A.数列{an+1-an}为等差数列 B.数列{an+1-2an}为等比数列 C.an=2n-1 D.Sn=2n+1-n-2 答案　BCD　 解析 因为an+1=3an-2an-1(n≥2),所以an+1-an=2(an-an-1),又a2-a1=2≠0,则{an+1-an}是首项为2,公比为2的等比数列,故A错误; 根据题意得an+1=3an-2an-1⇒an+1-2an=an-2an-1,又a2-2a1=1≠0,所以数列{an+1-2an}是首项为1,公比为1的等比数列,故B正确; 由上得an+1-an=2n,所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2+4+…+2n-1==2n-1,故C正确; Sn=(2+22+23+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2,故D正确. 10.对于数列{an},定义An=为数列{an}的“好数”,已知某数列{an}的“好数”An=2n+1,记数列{an-kn}的前n项和为Sn,若Sn≤S6对任意的n∈N*恒成立,则k的可能取值为(　　) A.2 B. C. D. 答案　BCD　 解析 因为An==2n+1,所以a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1,可得a1=4. 当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n, 两式相减得2n-1an=n·2n+1-(n-1)·2n=(n+1)2n,所以an=2(n+1)(n≥2), 当n=1时,a1=4也符合上式. 故an=2(n+1),则an-kn=(2-k)n+2,所以数列{an-kn}为等差数列.故Sn≤S6对任意的n(n∈N*)恒成立可化为a6-6k≥0,a7-7k≤0, 即解得k,结合四个选项,B,C,D正确. 11.若f(x)=(x-1)3+2(x-1)-ln+2，数列{an}的前n项和为Sn，且S1=2Sn=nan+1，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)关于点(1，2)中心对称 B.数列{an}是等差数列 C.数列{an}的通项公式为an= D.f(ai)=38 答案　ABD 解析　函数f(x)=(x-1)3+2(x-1)-ln+2的定义域为(0，2)， 由已知f(2-x)=(1-x)3+2(1-x)-ln+2， 所以f(x)+f(2-x)=(x-1)3+(1-x)3+2(x-1)+2(1-x)-+4， 又(x-1)3+(1-x)3=(x-1)3-(x-1)3=0， ln+ln=ln 1=0， 所以f(x)+f(2-x)=4，所以f(x)的图象关于点(1，2)中心对称，故A正确； 因为2Sn=nan+1，所以2Sn-1=(n-1)an(n≥2)， 所以2Sn-2Sn-1=nan+1-(n-1)an(n≥2)，所以2an=nan+1-(n-1)an(n≥2)， 所以=(n≥2)，又S1=2Sn=nan+1， 所以a1=2a1=a2， 所以a1=a2=故== 所以=所以an=故C错误； 所以当n≥2时，an-an-1=-=所以数列{an}是等差数列，故B正确； 所以ai+a20-i=2a10=2，f(ai)+f(a20-i)=4，1≤i≤19，i∈N*，f(a10)=f(1)=2， 所以f(ai)=+[f(a2)+f(a18)]+…++f(a10)=4×9+2=38，故D正确. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn=3an+4，则{an}的通项公式为　　　　　　　　.  答案　an=4·(-3)n-1 解析　当n=1时，4S1=4a1=3a1+4，解得a1=4. 当n≥2时，4Sn-1=3an-1+4，所以4Sn-4Sn-1=4an=3an-3an-1，即an=-3an-1， 而a1=4≠0，故an≠0，故=-3， 所以数列{an}是以4为首项，-3为公比的等比数列， 所以an=4·(-3)n-1. 13.已知数列{an}满足a1=2,an>0且+1,则-n=　　　　　. 答案　4-　 解析 由题得,当n≥2时,=()+()+…+()++…++(n-1)+4=+(n-1)+4=n+4-,当n=1时,n+4-=1+4-1=4=符合题意.所以-n=n+4--n=4- 14.已知数列{an}满足2anan+1+an+1=3an,且a2=,则使不等式+…+<100成立的n的最大值为　　　　　. 答案　99　 解析 由2anan+1+an+1=3an,a2=可得2a1a2+a2=3a1⇒a1=, 易知an≠0,两侧同时除以anan+1,可得2+,整理得-1=3(-1),所以{-1}是以-1=为首项,为公比的等比数列, 则-1=)n-1=2()n, 故-1+-1+…+-1==1-()n=(+…+)-n, 故+…+=n+1-()n, 易知f(n)=n+1-()n(n∈N*)单调递增,则f(99)=100-<100<f(100)=101-,所以nmax=99.   学科网（北京）股份有限公司 $