小题精练23 数列的递推问题（突破练）-【百强名校168优化组合卷】2026年高考数学高三二轮复习卷

小题精练23　数列的递推问题(突破练) (分值：73分) 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[2025·华南师大附中检测]在正项数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn满足Sn·－Sn－1·＝2(n≥2)，则a10＝(　　) A.90 B.82 C.80 D.72 2.[2025·合肥模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，首项a1＝－1，且满足Sn－＋2＝an(n≥2)，则S6＝(　　) A. B. C. D. 3.[2025·抚州模拟]在数列{an}(n∈N*)中，若a1＝1，an＋1＝，则a2 026＝(　　) A.－2 B.4 C.1 D.－ 4.[2025·上海浦东新区模拟]数列{an}满足a1a2…an＝n2，Sn为其前n项和，n∈N*.给出如下两个结论：①a5＝；②S5＝，则下面判断正确的为(　　) A.①对②错 B.①错②对 C.①②都对 D.①②都错 5.[2025·武汉模拟]任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.比如取正整数m＝8，根据上述运算法则得出8→4→2→1→4→2→1.递推关系如下：数列{an}满足a1＝m，an＋1＝若a7＝1，则m所有可能的取值集合是(　　) A.{3，8，12，64} B.{1，10，12，20} C.{4，5，20，32} D.{1，8，10，64} 6.[2025·黄冈模拟]已知数列{an}的首项a1＝，且满足an＋1＝，n∈N*，若＋＋＋…＋<1 000，则满足条件的最大整数n＝(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 7.[2025·杭州模拟]大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则(　　) A.数列第16项为144 B.数列第16项为128 C.200是数列第18项 D.200不是数列中的项 8.[2025·青岛模拟]已知数列{an}满足a1＝2，a2＝－1，数列{3an＋an＋1}(n∈N*)是公比为2的等比数列，则an＝(　　) A.3n－1＋(－2)n－1 B.3n＋(－2)n C.2n－1＋(－3)n－1 D.2n＋(－3)n 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.[2025·合肥模拟]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，n∈N*，则(　　) A.数列{an＋1}是等比数列 B.an＝2n－1 C.数列{an}的前n项和Sn＝2n－n D.数列的前n项和Tn＝ 10.[2025·泉州模拟]数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn，若a1＝1, an＋1＝则下列结论正确的是(　　) A.a3＝2 B.S10＝12 C.{Sn}为递增数列 D.{a2n－1}为周期数列 11.[2025·马鞍山模拟]若数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋an＋1(n∈N*)，则称数列{an}为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是(　　) A.a7＝13 B.a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝a2 026 C.S7＝54 D.a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a2 025 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.[2025·辽宁朝阳模拟]已知数列{an}的各项都为正数，定义：Gn＝为数列{an}的“匀称值”.已知数列{an}的“匀称值”为Gn＝n＋2，则该数列中的a10＝________. 13.[2025·长沙模拟]著名的“汉洛塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着n个中心带孔的圆盘，将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作.设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为an，则a3＝________，an＝________. 14.[2025·淄博模拟]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a＋an，则下列结论正确的序号为________. ①{an}是递增数列；②an>n；③a2 022≤22 021；④＋＋…＋<1. 学科网（北京）股份有限公司 $色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 小题精练23 数列的递推问题（突破练） 1.D[由am>0得Sm>0.Sn:Sn-1-Snm-1Sn=2SnSn-1(n≥2)， 两边同时除以SnSn一1，得Sn一Sn一1=2 而S=a=1,∴.Sn=1+2(n-1)=2n-1, ∴.Sm=4n2-4n+1. 根据4，=Sn一Sm-1(n≥2)，得an=8n-8(n≥2)， ∴.a10=8×10-8=72. 故选D.] 2.D[由Sm-1Sn+2=a(n≥2)可得Sm-lSn+2=Sm-Sm-1→Sm=12+Sn-1,由 a1=-1则S2=12+S1=1,S3=12十S2=13,S4=12+S3=37,S5=12十S4=717 ,S6=12+S5=1741.] 3.C[因为数列{an}中，a1=1,am+1=42-an,所以a2=42-al=42-1=4,a =42-a2=42-4=-2,a4=42-a3=42-(-2)=1=a41,a5=42-a4=42-1 =4=a2, 所以数列{an}是以3为周期的周期数列，所以a2o26=a3×65+1=a1=1.故选C] 4.C[由a1a2…am=n2,可得a5=ala2.a5ala2.…a4=5242=2516,故①正确； a,=ala2.anala.2.an-1=n2(n-1)2(n≥2)，当n=1时，a1=1,不适合上式， 所以S5=a41十a2十…+a5=1+4十94十169+2516=1525144，故②正确.故选C.] 5.D[因为an+1=f(an23an十1，an为奇数，且a=1,则a6=2,则a5=4,则a4 =8或a4=1;当a4=8时，则43=16，a2=32或a2=5,a1=64或41=10： 当a4=1时，则a3=2或a3=0(舍去)，当a43=2时，则a2=4,41=8或41=1， 所以m所有可能的取值集合是{1,8,10,64}，故选D.] 6.B[lan+1=2an-1,令bm=1an,则bm+1-1=2(bm-1),又b1-1=1al-1=1, 所以{b一1}是以1为首项，2为公比的等比数列，得b一1=2”-1，所以b,=2”-1 +1, .b1+b2+…+bn=1+2+22+…+2m-1+n=2m+n-1,由2m+n-1<1000,n∈ N*,解得n≤9 故选B] 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 7.B「由此数项的前10项的规律可知，当n为偶数时，am=n22,当n为奇数时， a,=n2-12,对于AB,a16=1622=128,所以A错误，B正确， 对于C,a418=1822=162≠200，所以C错误，对于D,若200是偶数项，则n22 =200,得n=20,所以200是此数列的第20项，所以D错误，故选B.] 8.C[因为a1=2,a2=一1，则3a十a2=6-1=5,且数列3a,十an+1}是公比为2 的等比数列，则3a,十am+1=52”-1,两边同除2n+1可得3an2n+1+an+12n十1 =52n-12n+1, 令bm=am2n,则32bm十bm+1=54,即32(bm-12)+(bm+1一12)=0，即1212=-32， 且b1一12=a12-12=12,所以数列{bm一12}是以12为首项，以-32为公比的等 比数列， 则bm-12=12(-32)”-1,则bm=2-1.21-m(-3)”-1+2-1=2-(-3)”-1+2-1, 即an2n=2-(-3)y”-1+2-1,所以a,=(-3)”-1十2”-1故选C] 9.ABD[对于AB,由a1=1,a+1=2a,十1可得an+1+1=2(an+1),又a1+1=2, 故{an十1}为等比数列，且首项为2，公比为2，则am十1=2×2m-1,故an=2m一1， AB正确， 对于C,数列{an}的前n项和S,=2(1一2n)1一2-n=2n+1-n一2，故C错误， 对于D,an+1anan+1=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1, 故Tm=(121-1-122-1)+(122-1-123-1)+…+(12n-1-12n+1-1)=1 12n+1-1=2n+1-22n+1-1,D正确.故选ABD.] 10.BCD[由题意，数列{an}满足a1=1,an+1=2an,n为奇数，1an),n为偶数， 当n=1时，a2=2a1=2,当n=2时，a3=1a2=12,A错误； 当n=3时，a4=2a3=1;若n为奇数，则n+1,n十3为偶数，n十2，n十4为奇 数， an+1=2an:an+2=lan+1=12an,an+3=2an+2=lan,an+4=lan+3=an: 若n为偶数，则n十1，n十3为奇数，n十2，n十4为偶数， 则an+1=1an,an+2=2an+1=2an,an+3=1an+2=an2,au+4=2an+3=an,所以数 列{an}是以4为周期的周期数列. S10-a+az+a3+...+a1o=2(a1+az+a3+a)+ao+ao=2alvs4lallcol(1+2+1 f12)十1)+1+2=12，B正确；又由am>0,故{Sm}递增，C正确；由上述讨论可 ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 知，{a2,-1}的项为1,12,1,12…，故是周期数列，D正确.故选BCD.] 11.AB[对于A,因为a1=1,a2=1,an=an-1十am-2(n≥3，n∈N+), 所以a=a十a2=1+1=2,a4=a2十a=1+2=3,a5=a十a4=2+3=5, a6=a4十a5=3十5=8，a=a5十a6=5+8=13,故A正确； 对于B,设数列{am}的前n项和为S, a1+a十a5+…+a2025=a1+(a1+a2)十(a3+a4)+…+(a2023十a2024)=a41+S2024=1 十S2024, a2026=a2025十a2024=(a2024十a2023)十a2024=a2024十(a2023十a2022）+(a2022十a2021) =a2024十a2023+a2022十a2021+a2020+(a2020+a2019) =a2024十a2023+a42022+a2021+a2020+…+a2十(a2十a1)=S2024十a2=S2024+1, 故a1十a4十a5十…十a225=a226,故B正确； 对于C,由A可知，S7=a1十a2十a3+a4+a5+a6十a7=1+1+2+3+5+8+13=33, C错误； 对于D,a2十a4十a6+…+a2024=a2十(a3十a2)十(a5十a4)十…+(a2023十a222) =a1十a2十a3十a4十a5+…+a2022十a2023=S2023, a2025=a2024十a2023=(a2023十42022)十a2023=a2023十(a2022十a2021)+(a2021十a2020) =a2023+a202十a2021十a2020十a2019+(a2019十a2018) =a2023+a2022+a2021+a2020十a2019+…+a2十(a2+a1)=S2023十a2=S2023+1, 故a2十a4十a6十…十a2o24≠a2o25,故D错误.故选AB.] 12.2110[因为各项均为正数的数列{am}的“匀称值”为Gm=a1十2a2十3a3+ +nann=n十2， 所以a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+2)①， 所以n≥2时，a1+2a2+3a+…+(n-1)am-1=(n-1)n+1)②， ①-②得nam=2n+1,所以am=2n+1n(n≥2)，所以a41o=2110.] 13.72"一1[根据题意假设木桩1上原有n+1个圆盘，要将这n十1个圆盘全部 按要求套到木桩3上，所需的最少次数为am+1,则有如下操作：先将n个圆盘从 木桩1套到木桩2上，所需最少次数为4，再将最大的圆盘从木桩1套到木桩3 上，需要1次，最后将木桩2上的n个圆盘全部套到木桩3上，所需的最少次数 为a,则a+1=2an十1，a1=1, ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 即an+1十1=2(a,十1)，所以{4m十1}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以am=2n-1,a3=23-1=7.] 14.①④[对于①，由于an+1-an=a2n≥0，因为a1=1,所以an≠0，所以a+1-an =a2n>0,故{am}是递增数列，所以①正确； 对于②，由于a1=1为整数，且{am}是递增数列，所以a≥n,所以②错误； 对于③，由a+1=a2n+a,可得an+1an=an+1≥2，所以a,=aman-1an一 1an-2…a2a1≥2n-1, 而a1=1,☑2=2，a3=6,…,只有当n=1或2时，取得等号，故a2022>22021, 所以③错误： 对于④，由an+1=a2n+a,得1an+1=2nla+an=lan-lan+1,即1am+1= 1an-1an+1, 所以1al+1+1a2+1+…+1an+1=(lal-1a2)+(1a2-1a3)+…+(lan-1an+ 1)=1al-1an+1=1-1an+1, 由于a+1>0,故1an十I>0,所以1al十1+1a2+1+…+1an十1<1，所以④正确.] ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 ·独家授权侵权必究