1.5.1 矩形的性质课件 2025--2026学年湘教版八年级数学下册

1.5 矩形 1.5.1 矩形的性质 观察下面图形,长方形在生活中无处不在. 思考：长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？ 利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察. 矩形 矩形的概念 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也称为长方形. 平行四边形不一定是矩形. 因为矩形是一种特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 可以从边、角、对角线等方面来考虑. 矩形的性质 思考 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等. （1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度,并记录测量结果. AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB 橡皮擦 课本 桌子 A B C D O 物体 测量 （实物） （形象图） （2）根据测量的结果,你有什么猜想？ 猜想1：矩形的四个角都是直角. 猜想2：矩形的对角线相等. 你能证明吗？ 证明：根据矩形的定义可知，四边形 ABCD 是平行四边形， 于是 AD∥BC，且 AB∥DC. 因此∠B = ∠D = 180°－∠A = 90°， ∠C =∠A = 90°. 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠A = 90°. 求证：∠A = ∠B =∠C = ∠D = 90°. A B C D 矩形的性质定理1： 矩形的四个角都是直角. 证明：如图，四边形 ABCD 是矩形，于是 AB = DC， 根据矩形性质定理1得， ∠ABC = ∠DCB = 90°. 又 BC = CB， 所以△ABC≌△DCB. 从而 AC = DB. A B C D O 如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB. 矩形的性质定理2： 矩形的对角线相等. 矩形除了具有平行四边形所有性质外，还具有的性质有： 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角线相等. 几何语言描述： 在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. ∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°，AC = DB. A B C D O 例1 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AC = 4 cm，∠AOB = 60°，求 BC 的长. 解：因为四边形 ABCD 是矩形. 所以 OA = OB = AC. 又∠AOB = 60°， 所以△OAB 是等边三角形. 于是 AB = OA = 2 cm. 因为∠ABC = 90°， 所以在Rt △ABC 中， A B C D O 可以考虑找特殊的三角形 例2 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE = AD，DF⊥AE ，垂足为 F. 求证：DF = DC. A B C D E F 证明：连接 DE. ∵AD = AE，∴∠AED = ∠ADE. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，∠C = 90°. ∴∠ADE = ∠DEC. ∴∠DEC = ∠AED. 又∵DF⊥AE， ∴DF = DC. 思考：矩形是不是中心对称图形? 如果是,那么对称中心是什么？ O 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考.  矩形是不是轴对称图形? 如果是，那么对称轴有几条? 对称性：______________. 对称轴：______________. 轴对称图形 2条 做一做 矩形的对角线 是对称轴吗？ 矩形的性质 四个内角都是直角，对边相等 两条对角线互相平分且相等. 轴对称图形 有两条对称轴 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 概念 性质 1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A. 对角线相等 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相平分 2. 若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°，则两条对角线相交的锐角是( ) A. 20° B. 40° C. 80° D. 10° A C 3. 如图，四边形 ABCD 为矩形，试利用矩形的性质定理证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 证明：如图，∵ BD，AC 是矩形 ABCD 的对角线， ∴ BD = AC. ∴ BO = BD = AC， 即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE // AC，交DC的延长线于点E. 求证：BD=BE. 解：∵ AC，BD 是矩形 ABCD 的对角线， ∴AC = BD，AB // DE. ∴AC=BE. 又∵ BE // AC ∴四边形 ABEC是平行四边形. ∴BD=BE. 5. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6，AD = 8，P 是 AD 上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD 于 F，求 PE + PF 的值. ∴ PE + PF = . ∴ AO·PE + DO·PF = 12， ∴S△AOD = S△DOC = S△AOB = S△BOC = S矩形ABCD= ×6×8 = 12. 解：连接 OP. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠DAB = 90°，OA = OD = OC = OB. 在Rt△BAD 中，由勾股定理得 BD = 10， ∴AO = OD = 5， ∵S△APO + S△DPO = S△AOD， 即 5PE + 5PF = 24, D A B C O E P F $