7.2.2单位圆与三角函数线 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

第七章 三角函数 7.2.2单位圆与三角函数线 《人教B版2019高中数学必修第三册》 知识点 1. 单位圆定义：在平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径 r=1 的圆叫单位圆。 2.单位圆下三角函数：设角α终边与单位圆交于点 P (x,y)，则：sinα=y,cosα=x,tanα=​ (x≠0) 3. 三角函数线（有向线段）： 设单位圆与 x 轴正半轴交于 A (1,0)，过 P 作 PM⊥x 轴于 M，过 A 作切线交终边 于 T，则： ·正弦线：MP； ·余弦线：OM； ·正切线：AT； 4.典型例题：利用单位圆判断符号； 利用三角函数线比较大小； 解三角不等式； A T 1.正弦线与余弦线 我们已经知道，如果P(x,y)是a终边上异于原点的任意一点，r=，则sinα= ，cosα=. 如果选取的P点坐标满足x2+y2=1，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？ 不难看出，如果x2+y2=1，则sinα=y ，cosα=x.因为x2+y2=1可以化为因此P(x,y)到原点（0,0）的距离为1．一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2+y2=1的点组成的集合称为单位圆.因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为 (cosα,sinα) 这就是说，角a的余弦和正弦分别等于角a终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标. 探究新知 如图7-2-5所示，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，则可以直观地表示cosa:的方向与x轴的正方向相同时，表示cosα是正数，且cosα=||；OM的方向与x轴的正方向相反时，表示cosa 是负数，=-||.习惯上，称OM 为角α的余弦线．类似地，图7-2-5中的可以直观地表示sinα，因此称为角α的正弦线. 利用角的正弦线和余弦线，可以直观地看出角的正弦和余弦的信息.例如图7-2-5中，角β的余弦线是，正弦线是，由此可看出cosβ<0,sinβ<0，而且还可以看出 |cosβ|>|cosα| 类似地，可知|sinα|     |sinβ| > 微提醒：数形结合思想在三角函数中的典型应用.如：比较大小、判断正负、解简单三角不等式（如|sinx|< ​​等） 正切线 我们已经知道，如果α 的终边不在 y 轴上，且 P(x,y) 是 α 终边上异于原点的任意一点，则 tanα= ​.你能仿照前面的方法给出正切的一个直观表示吗？ 可以看出，如果取坐标满足x=1的点P，则tanα=y..因为x=1在平面直角坐标系中表示的是垂直于x轴且过A(1,0）的直线l，所以如果角a的终边与直线l的交点为P(1,y)，则tanα=   . y 如图7-2-6所示，设角a的终边与直线x=1交于点T，则可以直观地表示tanα，因此称为角α的正切线. 探究新知 不难看出，当角的终边在第二、三象限或x 轴的负半轴上时，终边与直线x=1没有交点，图7-2-6但终边的反向延长线与x=1有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值．因此图7-2-6中角β的正切线为，而且从图中可以看出 tanβ<0,  |tanβ| |tanα. 这就是说，角a的正切等于角α终边或其反向延长线与直线x=1的交点的纵坐标. 正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线. < 探究新知 例1 作出的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切. 解 如图7-2-7所示，在平面直角坐标系中作出单位圆以及直线x=1，单位圆与x轴交于点A(1,0)． 图7-2-7 作的终边与单位圆的交点P，过P作x轴的垂线，垂足为M；延长线段PO，交直线x=1于T，则的正弦线为余弦线为，正切线为. 在图7-2-7中，根据直角三角形的知识可知，MP=,OM=,AT=,ON=NR=,AS=1 类似可得到的正弦线为，余弦线为，正切线为 所以sin=, cos=-, tan=- sin=cos=, tan=1 探究新知 例2 将图7-2-8(1）所示的摩天轮抽象成图7-2-8(2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系.设O到地面的高OT为lm，点P为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP 为rm.记以OP为终边的角为αrad，点P离地面的高度为hm，试用l,r与α表示h. 过点P作x轴的垂线，垂足为M，则：当α的终边在第一、二象限或y轴正半轴上时， MP=rsinα，此时h=OT+MP=l+rsinα.当α的终边在第三、四象限或y轴负半轴上时，因为sinα<0，所以MP=-rsinα，此时h=OT-MP=l+rsinα;当α的终边在x轴上时，sinα=0，此时h=OT=l+rsinα. 所以，不管α的终边在何处，都有h=l+rsinα. 微提醒：根据三角函数的定义可知P点纵坐标y=rsinα，再根据象限判断y的正负，即可根据MP=|y|求得MP的长. 探索与研究 如果一个角大小为xrad且0<x<,，那么x,sinx,tanx都是实数.请你给出x的一个具体值，比较这3个实数的大小． 然后想一想，你得到的大小关系是否对区间(0,)上的任意x都成立. 步骤 1：取具体值验证 我们取x=​（约 0.785）： x=4π​≈0.785 sinx=sin​=​​≈0.707 tanx=tan​=1 比较这三个数的大小： sin​<​<tan​ 即：sinx<x<tanx 如上图在单位圆中，设∠AOT=x 则AT=tanx,MP=sinx ∵S△OAT＞S扇OAP＞S△OAP 即OA·AT＞OA·x＞OA·MP 整理，即AT＞x＞MP 因此tanx＞x＞sinx 练习A 1 分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线. (1); (2)-. 正弦线：MP 余弦线: OM 正切线: AT 练习A 2 利用三角函数线写出sinπ，cosπ和tan π的值. 角（即 180°）的终边在x轴的负半轴上，与单位圆交点P(−1,0)，此时： 横坐标x=−1 纵坐标y=0 根据三角函数线定义计算 正弦线：sinπ=y​=0 余弦线：cosπ=x​=−1 正切线：tanπ=​ =0(y1的长度也是0） 练习A 3 已知0<α<β<，利用正弦线比较sinα和sinβ的大小. 当角在(0,2π​)范围内时，随着角的增大，对应的正弦线长度逐渐变长。 因为0<α<β<​，所以角β的正弦线长度比角α的正弦线长度更长。 根据正弦线的几何意义，正弦线的长度对应sin值的大小，因此： sinα<sinβ 练习A 4 已知0<α<,，利用正弦线和余弦线比较sina和cosa的大小.​ 在单位圆中，角α的终边与单位圆交于点P，过P作x轴的垂线，垂足为M。 正弦线：MP=sinα（有向线段，向上为正） 余弦线：OM=cosα（有向线段，向右为正） 当0<α<​时的线段长度 当α=​时，sin​=cos​=​​，此时MP=OM。 当0<α<​时，角α的终边在​的终边左侧，此时： 正弦线MP的长度小于余弦线OM的长度。 且两者均为正，所以sinα<cosα 练习B 2 利用正弦线指出sina的最大值，并指出a为何值时sina取得最大值. 在单位圆中，角α的正弦线是从角的终边与单位圆的交点向x轴作垂线，得到的有向线段，其长度等于sinα的绝对值，方向与y轴方向一致。 单位圆的半径为1，所以正弦线的长度最大为1（当角的终边与y轴正半轴重合时），最小为−1（当角的终边与y轴负半轴重合时）。 因此，sinα的最大值为1。 当角α的终边与y轴正半轴重合时，对应的角度为： α=​​+2kπ(k∈Z)时sina取得最大值. 练习B 3 设a是第一象限角，作a的正弦线、余弦线和正切线，由图证明下列各等式. (1) sin2α+cos2α=1 （2）tanα= 如果a是第二、三、四象限角，以上等式仍然成立吗？ O M P α的终边 （1）在Rt△OMP中，由勾股定理： OM2+MP2=OP2 因为OP=r=1，且OM=cosα，MP=sinα，所以： cos2α+sin2α=1 练习B 3 设a是第一象限角，作a的正弦线、余弦线和正切线，由图证明下列各等式. (1) sin2α+cos2α=1 （2）tanα= 如果a是第二、三、四象限角，以上等式仍然成立吗？ O M P α的终边 A T (2) 证明tanα= △OMP∼△OAT（两角对应相等，∠MOP=∠AOT，∠OMP=∠OAT=90∘），所以： ​=​ 因为OA=1，AT=tanα，MP=sinα，OM=cosα，所以： tanα=cosαsinα​ 练习B 3 设a是第一象限角，作a的正弦线、余弦线和正切线，由图证明下列各等式. (1) sin2α+cos2α=1 （2）tanα= 如果a是第二、三、四象限角，以上等式仍然成立吗？ 当α是第二、三、四象限角时： 对于sin2α+cos2α=1： 无论α在哪个象限，终边与单位圆交点P(x,y)始终满足x2+y2=1，而sinα=y，cosα=x，因此等式仍然成立。 ·对于tanα=​： 只要cosα≠0（即α≠​+kπ,k∈Z），利用相似三角形或三角函数定义，都能 到tanα=​，因此等式仍然成立。 巩固练习 1.利用三角函数线求、、的三角函数值 sin= cos=- tan==- sin=- cos= tan==- sin=- cos=- tan==1 巩固练习 2.已知角α的终边过点A（4，-3），则sinα·tanα= . sinα=- cosα= tanα==- ∴sinα·tanα= 微提醒：利用几何关系找单位圆与角的终边的交点坐标. 巩固练习 3.若 0≤α<2π，且 2sinα≤1，则 α 的取值范围是 . [0, ]∪[​, 2π) 由 2sinα≤1 得 sinα≤​。 在 0≤α<2π 范围内： sinα= 时，α=​ 或 α= 结合正弦函数图像，满足 sinα≤ 的区间为： [0, ]∪[​, 2π) 提升练习 1.在 (0,2π) 内，使 sinx>cosx 成立的 x 的取值范围是 . sinx=y cosx=x 在y=x这条直线上边的区域，y>x ∴满足条件的解为： <x< （） 提升练习 2.已知角x的终边在第一象限，利用正弦线、余弦线证明：1<sinx+cosx≤。 sinx=MP，cosx=OM，在△OPM中，OM+MP>OP， ∴sinx+cosx>1， 又1=OP2=OM2+MP2≥2OM·MP，当且仅当OM=MP时等号成立， ∴(OM+MP)2=OM2+MP2+2·OM·MP=1+2OM·MP≤1+1=2， ∴OM+MP≤，∴sinx+cosx≤​， 即1<sinx+cosx≤。 提升练习 3.利用三角函数线证明：若0<α<β<​，则β−α>sinβ−sinα。 证明： 如图所示，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角β,α的终边分别交于点P,Q， 过P,Q分别作OA的垂线，垂足分别是M,N，则sinα=NQ，sinβ=MP。 过点Q作QH⊥MP于H，则HP=MP−NQ=sinβ−sinα。 连接PQ，由图可知HP<PQ=AP−AQ​=β−α， 即β−α>sinβ−sinα。 ⌢ ⌢ ⌢ 总结 1. 单位圆定义：在平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径 r=1 的圆叫单位圆。 2.单位圆下三角函数：设角α终边与单位圆交于点 P (x,y)，则：sinα=y,cosα=x,tanα=​ (x≠0) 3. 三角函数线（有向线段）： 设单位圆与 x 轴正半轴交于 A (1,0)，过 P 作 PM⊥x 轴于 M，过 A 作切线交终边 于 T，则： ·正弦线：MP； ·余弦线：OM； ·正切线：AT； 4.典型例题：利用单位圆判断符号； 利用三角函数线比较大小； 利用三角函数定义解三角不等式； $