7_4_1 二项式定理（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（苏教版2019）

7.4 二项式定理 知识点 二项式定理及相关概念 7.4.1 二项式定理 必备知识 清单破 1.二项式定理:(a+b)n= an+  b+…+  br+…+ bn(n∈N*). 2.二项展开式的通项:Tr+1= an-rbr(r=0,1,…,n). 3.二项式系数: (r=0,1,…,n). 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b的值是否有关? 2.(a+b)n的展开式中的第r项是什么? 3.(a-2b)6的展开式中的第四项的二项式系数与第四项的系数是否相同? 4.在 的二项展开式中,是否存在常数项? 5.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则a7+a6+…+a1的值是多少? 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.无关. 2.Tr=   ,r=1,2,3,…,n+1. 3.不相同.因为(a-2b)6的展开式的通项为 a6-r(-2b)r,r=0,1,2,3,4,5,6,所以第四项的二项式系数 为 =20,第四项的系数为 (-2)3=-160. 4.存在.二项展开式的第(r+1)项为Tr+1= x6-r·(-2)r· =(-2)r x6-2r,r=0,1,2,3,4,5,6,要得到常数 项,需6-2r=0,得r=3,所以二项展开式中存在常数项,为第4项,即T4=(-2)3 =-160. 5.129.令x=1,得a7+a6+…+a1+a0=27,令x=0,得a0=-1,∴a7+a6+…+a1=27+1=129. 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 1.二项展开式的通项的注意点 (1)Tr+1是展开式中的第(r+1)项,而不是第r项,且Tr+1 an-rbr,r=0,1,2,…,n. (2)公式中a,b的指数和为n,且a,b不能随便调换位置. (3)通常将通项中的系数和字母分离开,以便于解决问题. (4)对于二项式(a-b)n的展开式的通项要特别注意符号问题. 关键能力 定点破 定点 1 由二项展开式的通项求特定项(项的系数) 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 2.求二项展开式中特定项的常用方法 (1)对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次幂). (2)对于有理项,一般先写出展开式的通项,然后令其所有的字母的指数都等于整数.解这类问 题必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据数的整除性来求解. (3)对于二项展开式中的整式项,其通项中同一字母的指数合并后应是非负整数,求解方式与 求有理项一致. 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1) 的展开式中的有理项共有 (　    ) A.4项　　B.5项　　C.6项　　D.7项 (2)(多选) 的展开式中 (　    ) A.有常数项 B.有一次项 C.含x3项的二项式系数为-5 D.含x3项的系数为-5 (3)在(x- )n(n∈N*)的展开式中,第二项与第四项的系数之比为1∶2,则含x2的项为　　　    . C BD 12x2 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为 的二项展开式的通项为Tr+1= ·2r (r=0,1,2,…,10),令20- 为整 数,得r=0,2,4,6,8,10,所以有理项共有6项. 故选C. (2) 的二项展开式的通项为Tr+1= x5-rx-r(-1)r=(-1)r x5-2r, 令5-2r=0,无整数解,所以展开式中没有常数项,令5-2r=1,得r=2,所以展开式中有一次项,故A错 误,B正确; 令5-2r=3,得r=1,所以含x3的项是T2=- x3,含x3项的二项式系数是 =5,该项的系数为-5,故C错 误,D正确. 故选BD. (3)(x- )n(n∈N*)的展开式的第二项与第四项分别为T2= xn-1·(- )=- ·nxn-1,T4= xn-3·(- )3 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 =-2  xn-3. 依题意得 = , 即n2-3n-4=0且n≥3,所以n=4. 故(x- )n=(x- )4,其展开式的通项为Tr+1= x4-r(- )r(r=0,1,2,3,4),令4-r=2,得r=2,即(x- )4的 展开式中含x2的项为T3= x2(- )2=12x2. 知识拓展    二项式系数基本定理:(axα+bxβ)n(a,b∈R,ab≠0,α≠β,n∈N*)的展开式中,xt的系数 为 an-rbr,其中r= . 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念   三项式求特定项的方法 (1)因式分解法:先通过因式分解将三项式变成两个二项式,然后用二项式定理分别展开. (2)逐层展开法:先将三项式分成两组(一项组和两项组),用二项式定理展开,再把其中的两项 组展开. (3)利用组合知识:把三项式(a+b+c)n看成n个式子(a+b+c)的积,利用组合知识分析项的构成,注 意最后把各个同类项合并. 定点 2 三项展开式问题 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 典例1  的展开式中x2的系数为　　　    . 800 解析    解法一:(x2+3x+2)5=[(1+x)(2+x)]5=(1+x)5(2+x)5, (1+x)5的展开式的通项为Tr+1= xr,(2+x)5的展开式的通项为Tk+1= 25-kxk, 所以 的展开式的通项为Tr+1,k+1=  25-kxr+k,其中0≤r≤5,0≤k≤5,且r,k∈N, 令r+k=2,可得 或 或  因此, 的展开式中x2的系数为  23+  24+  25=800. 解法二: = ,且它的展开式的通项为Tk+1= (x2+3x)5-k2k(k=0,1,2,…,5),  的展开式的通项为Tr+1= (x2)5-k-r(3x)r= 3rx10-2k-r(0≤r≤5-k,r∈N), 所以Tk+1=  2k3rx10-2k-r(k=0,1,2,…,5,且0≤r≤5-k,r∈N), 令10-2k-r=2,可得k=3,r=2或k=4,r=0. 当k=3,r=2时,x2的系数为  2332=720; 当k=4,r=0时,x2的系数为  2430=80. 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 综上, 的展开式中x2的系数为720+80=800. 解法三:(x2+3x+2)5表示5个因式(x2+3x+2)的乘积,要得到含x2的项,分以下两种情况:①从1个因 式中取x2,其余4个因式中都取2,②从2个因式中取3x,其余3个因式中都取2,故x2的系数为 ×24 + ×32×23=80+720=800. 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 典例2  的展开式中常数项是　　　    . -252 解析    解法一: = , 的展开式的通项为Tr+1= x10-r· =(-1)r x10- 2r, 令10-2r=0,得r=5, ∴展开式中常数项为(-1)5 =-252. 解法二:∵ = , ∴其展开式的通项为Tr+1=  ·(-2)r(r=0,1,2,…,5), 而 的展开式的通项为T'k+1= ·  = x10-2r-4k(k=0,1,2,…,5-r), ∴Tr+1=  x10-2r-4k·(-2)r(r=0,1,2,…,5,k=0,1,…,5-r), 令10-2r-4k=0,得r+2k=5, 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 ∴ 或 或  ∴常数项为  ·(-2)1+  ·(-2)3+ ·(-2)5=-252. 解法三: 可以看成5个 相乘,常数项可由下列几种可能得到: 5个因式中,1个取x2,1个取 ,3个取-2,得 ·x2· · · ·(-2)3=-160; 5个因式中,2个取x2,2个取 ,1个取-2,得 · · · · ·(-2)=-60; 5个因式中,均取-2,得 (-2)5=-32. ∴常数项为-160-60-32=-252. 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念   　　解决展开式中系数或展开式中系数的和、差问题的常用方法是赋值法,根据所求,灵活 对字母赋值,一般赋的值为0,1或-1. 　　一般地,若f(x)=(ax+b)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则(ax+b)n的展开式中各项系数之和为f(1),奇 数项系数之和为a0+a2+a4+…=  ,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=  . 定点 3 赋值法求展开式中的系数和 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)(多选)若(1-2x)2 022=a0+a1x+a2x2+…+a2 022x2 022(x∈R),则下列说法正确的是     (　    ) A.a0,a1,a2,…,a2 022为展开式的二项式系数 B.a0+a2+a4+…+a2 022=  C. + + +…+ =1 D.|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 022|=32 022 (2)若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=　　　    ; (3)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=　　　    . BD 364 3 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)a0,a1,a2,…,a2 022是(1-2x)2 022的展开式的相应项的系数,不是二项式系数,第(r+1)(r∈N,r ≤2 022)项的二项式系数是组合数 ,故A错误;令f(x)=(1-2x)2 022, 则a0+a2+a4+…+a2 022= = ,故B正确;a0=f(0)=1,a0+ + + +…+ =f  = 0,所以 + + +…+ =-a0=-1,故C错误;|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 022|=f(-1)=32 022,故D正确. 故选BD. (2)令x=1,得a0+a1+a2+…+a12=36, 令x=-1,得a0-a1+a2-…+a12=1, 则a0+a2+a4+…+a12= . 令x=0,得a0=1, ∴a2+a4+…+a12= -1=364. 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 (3)设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5. 令x=1,得(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.① 令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.② ①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32, ∴a=3. 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 $$