6.2.2 第1课时 空间向量的坐标表示及线性运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（苏教版）

空间向量的坐标表示 6.2.2 空间向量的坐标表示及线性运算 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.在平面直角坐标系的基础上了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用直角坐标系刻画点的位置. 2.能借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)得到顶点的坐标.　 3.掌握空间向量线性运算的坐标表示. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　空间向量的坐标表示 逐点清(二)　空间向量的坐标运算 逐点清(三)　空间向量平行的坐标表示 4 课时检测 逐点清(一)　空间向量的坐标表示 01 1.空间直角坐标系 如图，在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}， 以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条 数轴：______________，它们都叫作坐标轴.这时我们说 建立了一个____________________，点O叫作坐标原点， 三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别称为_____平面、_____平面和_____平面. 多维理解 x轴、y轴、z轴 空间直角坐标系O⁃xyz xOy yOz zOx 2.空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系O⁃xyz中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(a1，a2，a3)，使a=a1i+a2j+a3k，有序实数组____________叫作向量a在空间直角坐标系O⁃xyz中的坐标，记作a=_____________. (a1，a2，a3) (a1，a2，a3) |微|点|助|解| 点P(a，b，c)关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 对称轴、对称平面或对称中心 对称点坐标 x轴 (a，-b，-c) y轴 (-a，b，-c) z轴 (-a，-b，c) xOy平面 (a，b，-c) yOz平面 (-a，b，c) zOx平面 (a，-b，c) 坐标原点 (-a，-b，-c) 记忆口诀：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反. 1.如图，在长方体OABC⁃O1A1B1C1中，OA=3，OC=5，OO1=4，点P是棱B1C1的中点，则点P的坐标为 (　　) A.(3，5，4) B. C. D. √ 微点练明 解析：由题图可知，B1(3，5，4)，C1(0，5，4)，因为点P是棱B1C1的中点，所以由中点坐标公式可得P. 2.在直三棱柱ABO⁃A1B1O1中，∠AOB=，AO=4，BO=2， AA1=4，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系 中，的坐标分别为_________________________.  (-2，-1，-4)，(-4，2，-4) 解析：设同向的单位方向向量分别为i，j， k.因为=-=-(+)=-=---= -2i-j-4k，所以=(-2，-1，-4).因为=-=-(+)= --=-4i+2j-4k，所以=(-4，2，-4). 3.在空间直角坐标系中，已知点P(-2，1，4). (1)求点P关于x轴对称的点的坐标； 解：由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(-2，-1，-4). (2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标； 解：由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(-2，1，-4). (3)求点P关于点M(2，-1，-4)对称的点的坐标. 解：设对称点为P3(x，y，z)， 则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x=2×2-(-2)=6， y=2×(-1)-1=-3，z=2×(-4)-4=-12， 所以P3的坐标为(6，-3，-12). 逐点清(二)　空间向量的 坐标运算 02 (1)设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则 ①a+b=_____________________； ②a-b=______________________； ③λa=_______________ (λ∈R). (2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则=-=___________________.即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的___________________ __________. 多维理解 (x1+x2，y1+y2，z1+z2) (x1-x2，y1-y2，z1-z2) (λx1，λy1，λz1) (x2-x1，y2-y1，z2-z1) 终点坐标减去它的 起点坐标 1.已知a=(1，0，1)，b=(-2，-1，1)，c=(3，1，0)，则a-b+2c= (　　) A.(-9，-3，0) B.(0，2，-1) C.(9，3，0) D.(9，0，0) √ 微点练明 解析：a-b+2c=(1，0，1)-(-2，-1，1)+(6，2，0)=(3，1，0)+(6，2，0)=(9，3，0). 2.已知向量a=(2，3，-4)，b=(-4，-3，-2)，b=c-2a，则c=(　　) A.(0，3，-6) B.(0，6，-20) C.(0，6，-6) D.(6，6，-6) √ 解析：∵向量a=(2，3，-4)，b=(-4，-3，-2)，b=c-2a，∴c=4a+2b=(8，12，-16)+(-8，-6，-4)=(0，6，-20). 3.已知i，j，k是空间直角坐标系O⁃xyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且=3k，=-i+j-k，则点B的坐标为(　　) A.(1，-1，1) B.(-1，1，1) C.(1，-1，2) D.(-1，1，2) √ 解析：由题设知=(0，0，3)，=(-1，1，-1)，∴=-，设B(x，y，z)，则(-1，1，-1)=(x，y，z-3)，易得x=-1，y=1，z=2，∴B(-1，1，2). 4.在空间四边形ABCD中，若向量=(-3，5，2)，=(-7，-1，-4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　) A.(2，3，3) B.(-2，-3，-3) C.(5，-2，1) D.(-5，2，-1) √ 解析：如图，取AC中点M，连接ME，MF， 则= ===， 所以=-=(-2，-3，-3). 逐点清(三)　空间向量平行的 坐标表示 03 已知空间向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，且a≠0，则a∥b⇔b=λa⇔________________________________ (λ∈R). 多维理解 x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1 1.已知向量a=(t，12，-3)，b=(2，t+2，1)，若a∥b，则实数t的值为 (　　) A.-5 B.-6 C.-4 D.-3 √ 微点练明 解析：因为a=(t，12，-3)，b=(2，t+2，1)且a∥b，所以存在实数m，使得a=mb，即(t，12，-3)=m(2，t+2，1)，所以解得 2.已知a=(1，2，-y)，b=(x，1，2)，且(a+2b)∥(2a-b)，则 (　　) A.x=，y=1 B.x=，y=-4 C.x=2，y=- D.x=1，y=-1 √ 解析：因为a=(1，2，-y)，b=(x，1，2)，所以a+2b=(1+2x，4，4-y)，2a-b=(2-x，3，-2y-2).因为(a+2b)∥(2a-b)，所以==，解得x=，y=-4. 3.已知空间两点A(1，2，-1)，B(2，0，1)，点P(-1，a，b)在直线AB上运动，则ab=______.  -30 解析：依题意得，=(-2，a-2，b+1)，=(1，-2，2).因为点P在直线AB上运动，所以存在非零实数λ，使得=λ，即(-2，a-2，b+1)=λ(1，-2，2)，则解得所以ab=-30. 4.已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3，-1，2)，B(1，2，-1)，C(-1，1，-3)，D(3，-5，3)，求证：四边形ABCD是一个梯形.   证明：∵=(1，2，-1)-(3，-1，2)=(-2，3，-3)，=(3，-5，3)-(-1，1，-3)=(4，-6，6)，∴==，∴与共线，即AB∥CD. 又∵=(3，-5，3)-(3，-1，2)=(0，-4，1)， =(-1，1，-3)-(1，2，-1)=(-2，-1，-2)， ∴≠≠，∴与不平行.∴四边形ABCD为梯形. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.点(2，0，3)在空间直角坐标系中的 (　　) A.y轴上 B.xOy平面上 C.zOx平面上 D.第一象限内 √ 解析：因为点(2，0，3)的纵坐标为0，所以该点在zOx平面上. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.在空间直角坐标系中，已知点M(-1，2，3)，过该点作x轴的垂线，垂足为H，则H点的坐标为 (　　) A.(-1，2，0) B.(-1，0，3) C.(-1，0，0) D.(0，2，3) √ 解析：因为垂足H在 x轴上，故点H与点M的横坐标相同，其余两个坐标分量均为0，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知向量a=(3，5，-1)，b=(2，2，3)，c=(1，-1，2)，则向量a-b+4c的坐标为 (　　) A.(5，-1，4) B.(5，1，-4) C.(-5，1，4) D.(-5，-1，4) √ 解析：向量a=(3，5，-1)，b=(2，2，3)，c=(1，-1，2)，则向量a-b+4c=(3，5，-1)-(2，2，3)+4(1，-1，2)=(5，-1，4)，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知点A在基底{a，b，c}下的坐标是(8，6，4)，其中a=i+j，b=j+k，c=k+i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是 (　　) A.(12，14，10) B.(10，12，14) C.(14，12，10) D.(4，3，2) √ 解析：设O为坐标原点，则=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+ 14j+10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标是(12，14，10). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.[多选]下列各组向量中共面的组为 (　　) A.a=(1，2，3)，b=(3，0，2)，c=(4，2，5) B.a=(1，2，-1)，b=(0，2，-4)，c=(0，-1，2) C.a=(1，1，0)，b=(1，0，1)，c=(0，1，-1) D.a=(1，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1) √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：A中，设a=x b+y c，则解得 故存在实数x=-1，y=1使得a=-b+c，∴a，b，c共面；B中，b=-2c，C中，c=a-b，故B、C中三个向量共面；D中，设a=xb+yc，则显然无解，故a，b，c不共面. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知空间向量a=(2m-3，n+2，3)，b=(2m+1，3n-2，6)，若a∥b，则2m+n= (　　) A.11 B.12 C.13 D.14 √ 解析：因为a=(2m-3，n+2，3)，b=(2m+1，3n-2，6)，且a∥b，所以存在实数λ，使得a=λb，所以(2m-3，n+2，3)=λ(2m+1，3n-2，6)， 即解得所以2m+n=13. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.设e1，e2，e3为空间的三个不同向量，如果λ1e1+λ2e2+λ3e3=0成立的等价条件为λ1=λ2=λ3=0，则称e1，e2，e3线性无关，否则称它们线性相关.若a=(2，1，-3)，b=(1，0，2)，c=(1，-1，m)线性相关，则m等于 (　　) A.9 B.7 C.5 D.3 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：依题意知，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数x，y，z，使得xa+yb+zc=0成立；即由 得x=z，y=-3z，代入-3x+2y+mz=0，得(m-9)z=0. 由于x，y，z不全为0， 所以z≠0，所以m=9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵ABC⁃A1B1C1中，M是A1C1的中点，AB=2AA1=2AC，==3，若=x+y+z，则x+y+z=(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图，以A1为坐标原点， 分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系. 不妨令AB=4，则A(2，0，0)，B(2，4，0)，A1(0， 0，0)，C(2，0，2)，M(0，0，1)，N.因为=3，所以 G，则==(-2，0，0)，=(0，4，0)， =(0，0，2)，则解得故x+y+z=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)如图，在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中建立 空间直角坐标系.已知AB=AD=2，BB1=1，则 的坐标为_________，的坐标为_________.  (0，2，1)　 (2，2，1) 解析：因为A(0，0，0)，D1(0，2，1)，C1(2，2，1)， 所以=(0，2，1)，=(2，2，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)点P(2，3，4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是 ___________， ___________ ， ___________.  (2，0，0)　 (0，3，0)　 (0，0，4) 解析：P(2，3，4)在x轴上的射影为(2，0，0)，在y轴上的射影为(0，3，0)，在z轴上的射影为(0，0，4). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)若A(m+1，n-1，3)，B(2m，n，m-2n)，C(m+3，n-3，9)三点共线，则m+n=______.  0 解析：因为=(m-1，1，m-2n-3)，=(2，-2，6)，A，B，C三点共线，所以==，解得m=0，n=0，故m+n=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)已知单位向量i，j，k两两的夹角均为θ，若空间向量a满足a=xi+yj+zk，则有序实数组(x，y，z)称为向量a在“仿射”坐标系O⁃xyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a=(x，y，z)θ.若=(1，0，0)=(0，1，0)=(0，0，1)，则三棱锥O⁃ABC的表面积为_______.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意可知，=(1，0，0)=i，则||=1.同理可得||=||=1.∵=-=(-1，1，0)=-i+j，∴||====1.同理可得||=||=1，即三棱锥O⁃ABC为正四面体，棱长为1，其表面积为S=4××=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD⁃ A'B'C'D'，AB=1，BC=2，AA'=3.求： (1)向量的坐标；(6分) 解：易知A(0，0，0)，C'(1，2，3)，B(1，0，0)， D'(0，2，3)，则=(1，2，3)，=(-1，2，3)， =(0，2，3). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)+2+-2的坐标.(4分) 解：+2=(1，2，3)+2(-1，2，3)=(-1，6，9)， +-2=(1，2，3)+(-1，2，3)-2(0，2，3)= (0，0，0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图，在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中， DA=DC=4，DD1=3，点P是线段BD1上一动点， E是BC的中点，当点P在什么位置时，PE∥A1B? 解：以D为原点，建立空间直角坐标系D⁃xyz， 如图所示，则A1(4，0，3)，B(4，4，0)， C(0，4，0)，D1(0，0，3). ∵E为BC的中点，∴E(2，4，0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ∴=(4，4，0)-(4，0，3)=(0，4，-3)，=(0，0，3)-(4，4，0) =(-4，-4，3)，=(4，4，0)-(2，4，0)=(2，0，0). 设=λ，则=+=+λ. ∵=(2，0，0)，λ=(-4λ，-4λ，3λ)，∴=(2-4λ，-4λ，3λ). 由PE∥A1B，得∥，∴∴λ=. 此时点P为BD1的中点.故当点P为BD1的中点时，PE∥A1B. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $