6.2.2空间向量的坐标表示(第1课时 空间直角坐标系及其线性运算的坐标表示)分层同步练习-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

**基本信息** 本同步练通过A、B、C三层设计，以空间直角坐标系及向量坐标运算为核心，从基础概念到综合应用再到拓展探究，构建梯度化知识巩固路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|空间直角坐标系、向量坐标表示、线性运算|单一知识点直接应用，如单位向量坐标、对称点坐标，夯实概念理解| |B层|向量模长、中点坐标、共线共面判定|结合正方体模型考查坐标运算，提升空间想象与推理能力| |C层|空间几何体中向量表示、四点共面探究|以空间四边形、正四棱锥为情境，深化模型观念与综合应用能力|

6.2.2　空间向量的坐标表示 第1课时　空间直角坐标系及其线性运算的坐标表示 A层 基础达标练 1.已知i,j,k分别是空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量,且=-i+j-k,则点B的坐标是(　　) A.(-1,1,-1) B.(-i,j,-k) C.(1,-1,-1) D.不确定 2.已知点A(3,2,-3),则点A关于y轴的对称点的坐标是(　　) A.(-3,-2,3) B.(-3,2,-3) C.(-3,2,3) D.(-3,-2,-3) 3.已知a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则b等于(　　) A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2) C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3) 4.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点A的坐标为(-1,2,1),点B的坐标为(1,3,4),则(　　) A.=(-1,2,1) B.=(1,3,4) C.=(2,1,3) D.=(-2,-1,-3) 5.(多选题)下列各组向量中,共面的有(　　) A.a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5) B.a=(1,2,-1),b=(0,2,-4),c=(0,-1,2) C.a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1) D.a=(1,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1) 6.已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=-2,求实数x的值. 7.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线,求m+n的值. B层 能力提升练 8.若向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),则|a+b|=(　　) A. B.2 C.3 D. 9.设A(3,2,1),B(1,0,5),则AB的中点M的坐标为(　　) A.(-2,-2,4) B.(-1,-1,2) C.(2,1,3) D.(4,2,6) 10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是(　　) A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直 C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行 11.已知空间向量=(x,y,8),=(z,3,4),,且||=5,则实数z的值为(　　) A.5 B.-5 C.5或-5 D.-10或10 12.已知空间四点A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),D(x,-1,3)共面,则x的值为(　　) A.4 B.1 C.10 D.11 13.已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,1,-1),则p在基底{2a,b,-c}下的坐标为　　　　,在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为　　　　.  14.如图,在正四棱锥 P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,O是AC与BD的交点,PO=1,M是PC的中点.设=a,=b,=c. (1)用向量a,b,c表示; (2)在如图所示的空间直角坐标系中,求的坐标. C层 拓展探究练 15.如图,在空间四边形ABCD中,若向量=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为(　　) A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3) C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1) 16.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2). (1)若,求点D的坐标; (2)请问是否存在实数α,β,使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由. 参考答案 1.A 2.C　由对称定义知选项C正确. 3.B　b=(a+b)-a=(-1,2,-1)-(1,-2,1)=(-2,4,-2). 4.C　=(1+1,3-2,4-1)=(2,1,3). 5.ABC　A中,设a=xb+yc, 则解得 故存在实数x=-1,y=1使得a=-b+c,因此a,b,c共面. B中,b=-2c.C中,c=a-b.故B,C中三个向量也共面. 6.解 由已知,得c+a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8. 7.解 因为=(m-1,1,m-2n-3),=(2,-2,6),A,B,C三点共线,所以, 解得m=0,n=0,故m+n=0. 8.D　∵a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),∴a+b=(3,0,-1),∴|a+b|=.故选D. 9.C 10.D　 设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1),∴M,1,,N0,,∴=-,-,0,=(0,0,1),=(-1,1,0),=(-1,-1,0),=(0,1,0). ∵=0,∴MN⊥CC1,故A正确.∵=0,∴MN⊥AC,故B正确.易知=2,且点M,N∉BD,∴MN∥BD,故C正确.假设MN平行于A1B1,则存在实数λ使=λ,得 此方程组无解, ∴MN与A1B1不平行,故D错误.故选D. 11.C　因为,所以存在λ∈R,使得=λ. 又||=5=(z-x,3-y,-4), 所以 解得故选C. 12.D　=(-2,2,-2),=(-1,6,-8),=(x-4,-2,0). 因为A,B,C,D四点共面,所以共面. 所以存在实数λ,μ,使=λ+μ, 即(x-4,-2,0)=(-2λ-μ,2λ+6μ,-2λ-8μ), 所以解得故选D. 13.(1,1,1)　　由题意知,p=2a+b-c, 则向量p在基底{2a,b,-c}下的坐标为(1,1,1). 设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则 p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc, 又∵p=2a+b-c, ∴解得x=,y=,z=-1, ∴p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为. 14.解 (1))=)==-a+b+c. (2)a==(1,0,0),b==(0,1,0). ∵A(0,0,0),O,P, ∴c=, ∴=-a+b+c=-(1,0,0)+(0,1,0)+. 15.B　如图,取AC的中点M,连接ME,MF, 则, , 从而=(-2,-3,-3). 16.解 (1)设D(x,y,z), 则=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2), =(-x,-y,2-z),=(-1,1,0). 因为, 所以存在实数m,n,有 解得 即D(-1,1,2). (2)存在.依题意得=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2).假设存在实数α,β,使得=α+β成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β), 所以 故存在α=β=1,使得=α+β成立. 学科网（北京）股份有限公司 $