6.2.1 空间向量基本定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（苏教版）

6.2 空间向量的坐标表示 6.2.1 空间向量基本定理 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.类比平面向量基本定理理解空间向量基本定理.掌握判断空间三个向量是否构成基的方法. 2.能通过空间向量的线性运算用基表示向量.会用基证明空间位置关系及直线所成的角. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.空间向量基本定理 空间向量 基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p=____________ 基底和基 向量 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3_______表示，我们把_____________称为空间的一个基底，____________叫作基向量 xe1+ye2+ze3 线性 {e1，e2，e3} e1，e2，e3 2.正交基底和单位正交基底 正交 基底 如果空间一个基底的三个基向量_______________，那么这个基底叫作正交基底 单位正 交基底 当一个正交基底的三个基向量都是__________时，称这个基底为单位正交基底，通常用_________表示 两两互相垂直 单位向量 {i，j，k} 3.推论 设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得____________________. =x+y+z 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一个基底. (　　) (2)若对向量p可找到三个向量a，b，c，使p=xa+yb+zc，则{a，b，c}可构成空间向量的一个基底. (　　) (3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(λ1，λ2，λ3)，使0=λ1a1+λ2a2+λ3a3. (　　) (4)若{a，b，c}为空间向量的一个基底，则a，b，c全不是零向量. (　　) 基础落实训练 × × × √ 2.正方体ABCD⁃A'B'C'D'中，O1，O2，O3分别是AC，AB'，AD'的中点，以{}为基底，=x+y+z，则x，y，z的值是(　　) A.1，1，1 B. C. D.2，2，2 √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　基底的判断 [例1]　[多选]若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组能构成空间的一个基底的是 (　　) A.{a+b，a-b，c} B.{a+b，b+c，c+a} C.{3a-4b，2b-3c，3a-6c} D.{a+b，a+b+c，2c} √ √ 解析：因为a+b，a-b，c是不共面的向量，所以能构成空间的一个基底，故A正确；a+b，b+c，c+a是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确；因为3a-6c=3a-4b+2(2b-3c)，所以3a-4b，2b-3c，3a-6c是共面向量，不能构成空间的一个基底，故C错误；因为a+b=a+b+c-(2c)，所以a+b，a+b+c，2c是共面向量，不能构成空间的一个基底，故D错误. |思|维|建|模| 判断给出的三个向量能否构成基底的方法 判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面. 针对训练 1.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间向量的一个基底的一组向量是 (　　) A.3a，a-b，a+2b B.2b，b-2a，b+2a C.a，2b，b-c D.c，a+c，a-c √ 解析：因为a，b，c不共面，故a，2b，b-c也不共面，能构成空间向量的一个基底.其他选项皆共面. 题型(二)　用基底表示向量 [例2]　如图，M，N分别是四面体OABC的棱OA， BC的中点，P，Q是MN的三等分点.用向量 表示和. 解：=+=+=+(-)= +=+×(+)=++.=+=+++=++. |思|维|建|模|　用基底表示向量的一般步骤 定基底 根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底 找目标 用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果 下结论 利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间内所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量 针对训练 2.在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，E，F分别是AD1，BD的中点. (1)用向量a，b，c表示； 解：如图，连接AC，EF，D1F，BD1，则=+ =-+-=a-b-c，=+=+ =-(+)+(+)=-=a-c. (2)若=xa+yb+zc，求实数x，y，z的值. 解：∵=(+)=(-+)=(-c+a-b-c) =a-b-c，又=xa+yb+zc， ∴x=，y=-，z=-1. 题型(三)　利用空间向量基本定理解决几何问题 [例3]　如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD⁃ A1B1C1D1，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且 它们彼此的夹角都是60°. (1)求证：AC1⊥DB； 解：证明：∵以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们 彼此的夹角都是60°，∴·=·=·=1×1×cos 60° =，∴·=(++)·(-)=(++)·(-)=·-·+-·+·-=0，∴AC1⊥DB. (2)求异面直线BD1与AC所成角的余弦值. 解：∵=+-=+-=+=+， ∴||2==+++2·-2·-2·=1+1+1+1-1-1=2，即||=，||== ==·=(+-)· (+)=-+·+·=1-1++=1，∴cos< >===，∴异面直线BD1与AC所成角的余弦值为. |思|维|建|模| 用空间向量基本定理解决几何问题的一般思路 (1)选取恰当的基底. (2)将所求向量用基底表示. (3)将几何问题转化为向量问题： ①将距离和线段长转化为向量的模； ②将线线、线面、面面垂直问题转化为向量垂直问题； ③将空间角问题转化为向量夹角问题. 针对训练 3.如图，直四棱柱ABCD ⁃A1B1C1D1的底面是菱形，E，M， N分别是BC，BB1，A1D的中点.证明：MN∥平面C1DE. 证明：设=a，=b，=c.因为E，M，N分别是BC， BB1，A1D的中点，由题意知=++(+)= -c-a+(b+c)=-a+b，=+=+=a-b=-， 所以=-，所以∥.所以MN∥DE.又因为MN⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.[多选]在空间四点O，A，B，C中，若{}是空间向量的一个基底，则下列说法正确的是(　　) A.O，A，B，C四点不共线 B.O，A，B，C四点共面，但不共线 C.O，A，B，C四点不共面 D.O，A，B，C四点中任意三点不共线 √ 解析：A正确，若四点共线，则共面，构不成基底；B错误，C正确，若四点共面，则共面，构不成基底；D正确，若有三点共线，则这四点共面，构不成基底. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.[多选]已知A，B，C，D，E是空间五点，且任何三点不共线.若{}与{}均不能构成空间的一个基底，则下列结论正确的是(　　) A.{}不能构成空间的一个基底 B.{}不能构成空间的一个基底 C.{}不能构成空间的一个基底 D.{}能构成空间的一个基底 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：因为{}与{}均不能构成空间的一个基底，且A，B，C，D，E是空间五点，且任何三点不共线，所以空间五点A，B，C，D，E共面，所以这五点A，B，C，D，E中，任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以A、B、C正确，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD， 点O为空间内任意一点，设=a，=b， =c，则向量可用a，b，c表示为(　　) A.a-b+2c B.a-b-2c C.-a+b+c D.a-b+c √ 解析：=+=+=+(-)=a-b+c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.如图，在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB=a，则MN的长为 (　　) A.a B.a C.a D.a √ 解析：设=i，=j，=k，=++=i+j+(-j+k)=i+ j+k，故||2=a2+a2+a2=a2，所以MN=a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是边CB，OA的中点，点G在线段MN上，且使NG=2GM，用向量正确表示向量的是(　　) A.=++ B.=++ C.=++ D.=++ √ 解析：根据题意可得=+，由NG=2GM可得 =，所以=+=+(+)=+×(+) =×+(+)=++. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.如图，在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中，E，F分别在棱BB1和DD1上，且DF=DD1，记=x+y+z， 若x+y+z=，则等于(　　) A. B. C. D. √ 解析：设=λ，因为=+++=-λ-++= -λ-++=-++，所以x=-1，y=1，z=-λ. 因为x+y+z=-λ=，所以λ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.在三棱柱ABC⁃A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AB=AC=BC=1，M是B1C1的中点，则AM= (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图，=++=++(-)= ++，故||2==||2 +||2+||2+·+·+·，在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中，易知AA1⊥AC，AA1⊥AB，在△ABC中，由AB=AC= BC，则∠BAC=60°，由AA1=AB=AC=1，则=+1++×1×1× =，则AM=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.[多选]如图，已知AO⊥平面OBC，∠BOC=， OA=OB=2，OC=3，E为AB的中点，=3， 则以下正确的是(　　) A.OF= B.EF= C.AB与OC所成角的余弦值为 D.OE与OF所成角的余弦值为 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为AO⊥平面OBC，OB，OC⊂平面OBC，所以OA⊥OB，OA⊥OC，所以·=0，·=0，·=||·||cos=-3，在△OAC中，=+=+(-)=+， 所以||== ==，所以A正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 在△OEF中，=-=+-(+)=-+ ，||2==++-·+ ·-·=+1+1+1=， 故||=，所以B正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为=-·=(-)·=·-·=-3，||==2，cos<>===-，所以AB与OC所成角的余弦值为，所以C正确； 由以上知OF=，EF=，且OE=AB=，在△OEF中，由余弦定理得cos∠EOF==，所以D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)已知{a，b，c}是空间的一个基底，向量p=3a+b+c，{a+b，a-b，c}是空间的另一个基底，向量p=x(a+b)+y(a-b)+c，则x+y=______.  3 解析：∵p=x(a+b)+y(a-b)+c=(x+y)a+(x-y)b+c，且p=3a+b+c，∴x+y=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)在空间中平移△ABC到△A1B1C1(使△A1B1C1与△ABC不共面)，连接对应顶点.设=a，=b，=c，M是BC1的中点，N是B1C1的中点，用基底{a，b，c}表示向量+的结果为_________.  a+b+c 解析：如图，+=(+)+(+)=+ +=b+(a+b)+(a+c)=a+b+c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)在正四面体P⁃ABC中，M是PA上的点，且PM=2MA，N是BC 的中点，若=x+y+z，则x+y+z的值为_______.  解析：如图所示，连接PN，=+=-+ (+)=-++，∴x=-，y=，z=. ∴x+y+z=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)如图，在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中，AB=2， AA1=，AD=2，P为C1D1的中点，M为BC的中 点.则AM与PM所成的角为_____.  90° 解析：=+=-=+---=+ ---=--，故·=· =-·-·+·--·=×4-×8=0，即⊥，则AM与PM所成的角为90°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)如图，已知ABCD⁃A1B1C1D1是平行六面体. (1)化简++；(4分) 解：∵ABCD⁃A1B1C1D1是平行六面体， ∴++=++=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线 BC1上的分点，设=α+β+γ，试求α， β，γ的值.(6分) 解：∵=+=+=(-)+(+)= ++，又=α+β+γ，∴α=，β=，γ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(15分)如图，已知空间四边形ABCD各边的长都 等于a，点M，N分别是AB，CD的中点. (1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(7分) 解：证明：设=p，=q，=r.由题意可知，|p|=|q|=|r|=a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.∵=-=(+)-= (q+r-p)，∴·=(q+r-p)·p=(q·p+r·p-p2)=(a2cos 60° +a2cos 60°-a2)=0，∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求MN的长.(8分) 解：由(1)可知=(q+r-p). ∴||2=(q+r-p)2=[q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)]==×2a2=. ∴||=a，∴MN的长为a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)如图，在平行六面体ABCD⁃A'B'C'D'中， E，F，G分别是A'D'，DD'，D'C'的中点，请选择 恰当的基向量证明： (1)EG∥AC；(5分) 证明：取基底{}. 因为=+=+，=+=2，所以∥， 又EG，AC无公共点，所以EG∥AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)平面EFG∥平面AB'C.(10分) 证明：因为=+=+=+ =2，所以∥，又FG，AB'无公共点，所以 FG∥AB'.又FG⊄平面AB'C，AB'⊂平面AB'C， 所以FG∥平面AB'C.又由(1)知EG∥AC，由EG⊄平面AB'C，AC⊂平面AB'C，可得EG∥平面AB'C，又FG∩EG=G，FG，EG⊂平面EFG， 所以平面EFG∥平面AB'C. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $