6_2 空间向量的坐标表示（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（苏教版2019）

6.2 空间向量的坐标表示 知识点 1 空间向量基本定理 必备知识 清单破 1.空间向量基本定理 如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 p=xe1+ye 2+ze3. 2.基底 如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么空间的每一个向量都可由向量e1,e2,e3线性表示.我们把{e1,e2, e3}称为空间的一个基底,e1,e2,e3叫作基向量. 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直,那么这个基底叫作正交基底.特别地,当一个 正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用{i,j,k}表示. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 3.推论 设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 =x +y +z . 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.空间直角坐标系 如图(1),在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正 方向建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫作坐标轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标 系O-xyz,点O叫作坐标原点,三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面,分别称为xOy平面、 yOz平面和zOx平面.   知识点 2 空间向量的坐标表示 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 如图(2),在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,若中指指 向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 2.空间向量的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任意一个向量a,根据空间向量基本定理,存在唯一的有 序实数组(a1,a2,a3),使a=a1i+a2j+a3k({i,j,k}为空间的一个单位正交基底). 有序实数组(a1,a2,a3)叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作a=(a1,a2,a3). 3.点的坐标 如图,在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任意一点P,我们称向量 为点P的位置向量.于是, 存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 =xi+yj+zk.因此,向量 的坐标为 =(x,y,z).此时,我们 把与向量 对应的有序实数组(x,y,z)叫作点P的坐标,记作P(x,y,z). 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展    空间直角坐标系中位于坐标轴、坐标平面上的点的坐标如表所示: 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) 点的位置 xOy平面 yOz平面 zOx平面 坐标形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z) 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 4.空间向量的坐标运算 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 (1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2); (2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2); (3)λa=(λx1,λy1,λz1),λ∈R; (4)a·b=x1x2+y1y2+z1z2. 若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 (1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1); (2)A,B间的距离为AB=  ; (3)线段AB的中点坐标为 . 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 5.空间向量的平行、垂直、模及夹角的坐标表示 设两个非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b b=λa(λ∈R) x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1 (λ∈R)　　　　　     a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0 模 |a|=  |a|=  夹角 cos<a,b>=  cos<a,b>=   第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.点P(1,0,0)在哪一条坐标轴上? 2.点P(1,1,0)在哪一个坐标平面内? 3.如何求解空间直角坐标系中任一点的坐标? 4.若O为坐标原点, =(x,y,z),则P(x,y,z)是否正确? 5.设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),若a∥b,则 = = 是否成立? 6.设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),若x1x2+y1y2+z1z2>0,则<a,b>一定是锐角吗? 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.点P(1,0,0)在x轴上,点P(0,1,0)在y轴上,点P(0,0,1)在z轴上. 2.点P(1,1,0)在xOy平面内,点P(0,1,1)在yOz平面内,点P(1,0,1)在xOz平面内. 3.点在空间直角坐标系中的位置有3种可能:点在坐标轴上、点在坐标平面内和点不是特殊 点.对于前两种,熟悉点的坐标特征即可轻松写出其坐标;对于第三种,一般是先确定点在xOy 平面内的射影的位置,再由竖坐标确定点在空间直角坐标系中的具体位置,进而得到其坐标. 4.不正确.若O为坐标原点, =(x,y,z),则 =- =(-x,-y,-z),∴P(-x,-y,-z). 5.不一定成立.当a∥b且x2y2z2=0时, = = 无意义. 6.不一定.若x1x2+y1y2+z1z2>0,则<a,b>为零角或锐角. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.用基底表示空间向量 　　若未给定基底,则先选择基底,选择时,要尽量选择共起点的三个向量,再看基向量的模及 其夹角是否已知或易求.基底确定后,利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则和共线 向量的特点,把目标向量逐步分解,向基底靠近,最后化简整理求出结果. 2.用基底法解决立体几何问题 　　利用基底法可解决立体几何中线面关系问题及与夹角、距离(长度)有关的问题,解题时, 首先要确定基底,将所需向量用基底表示出来,然后通过向量运算解决问题.基底法是向量法 中的一种. 关键能力 定点破 定点 1 空间向量基本定理的应用 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图,在棱长为1的正四面体ABCD中,E是棱CD的中点,O在线段BE上,且 =2 .设  =a, =b, =c,以{a,b,c}为基底,用向量法解决下列问题:   (1)用基底表示向量 ; (2)证明: ⊥ , ⊥ . 思路点拨    (1)利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则运算即可. (2)先用基底表示 , ,再计算 · , · 即可. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)连接AE. = + = +  = + ( - )=  +  =  + × ( +  )=  +  +  = a+ b+ c. (2)证明:由题意知,a2=b2=c2=1,a·b=b·c=c·a= , = - =b-a, = - =c-a. ∵ · = (a+b+c)·(b-a)= (a·b-a2+b2-b·a+c·b-c·a)=0,∴ ⊥ . ∵ · = (a+b+c)·(c-a)= (a·c-a2+b·c-b·a+c2-c·a)=0,∴ ⊥ . 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.确定空间任意一点P的坐标的常用方法 (1)垂面法:确定点P在三条坐标轴上的投影.方法是过点P作三个平面分别垂直于x轴,y轴,z轴 于A,B,C三点(A,B,C即为点P在三条坐标轴上的投影),点A,B,C在x轴,y轴,z轴上分别对应实数a, b,c,则(a,b,c)就是点P的坐标. (2)垂线段法:先将P投射(沿与z轴平行的方向)到xOy平面上的一点P1,由 的长度及方向确定 竖坐标z,然后在xOy平面上同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的横坐标x、纵坐标y,最后 得出点P的坐标(x,y,z). 定点 2 空间向量的坐标表示及其运算 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 3.空间向量的坐标运算 空间向量的坐标运算实质是平面向量坐标运算的推广,其运算法则仅是在平面向量运算法则 的基础上增加了竖坐标的运算. 2.用坐标表示空间向量的步骤 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 如图,在长方体OABC-O1A1B1C1中,建立空间直角坐标系O-xyz,OA=2,OC=3,OO1=4,P是B1 C1的中点,则点P的坐标为　　　    ,| |=　　　　    .   (1,3,4) 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    因为OA=2,OC=3,OO1=4,P是B1C1的中点, 所以点P的坐标是(1,3,4). 易知A(2,0,0), 所以 =(-1,3,4), 所以 =26, 所以| |= . 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 已知向量a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求: (1)向量a,b,c的坐标; (2)a+c与b+c夹角的余弦值. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为a∥b,所以 = = , 解得x=2,y=-4. 故a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1). 又因为b⊥c, 所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2, 所以c=(3,-2,2). (2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1). 设a+c与b+c的夹角为θ, 则cos θ= = =- . 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 　　通过建立空间直角坐标系,利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的方法称为“坐 标法”,是向量法中的一种. 定点 3 立体几何中的向量运算 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1= ,E,F分别是棱B1C1,A1C1的 中点,求: (1)| |; (2) 与 的夹角.   第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AA1⊥AB,AA1⊥AC, 以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,   ∵AB=AC=2,AA1= ,E,F分别是棱B1C1,A1C1的中点, ∴B(2,0,0),C(0,2,0),E(1,1, ),F(0,1, ). (1)∵ =(0,1, )-(2,0,0)=(-2,1, ),∴| |= =2 . (2)∵ =(1,1, )-(2,0,0)=(-1,1, ), =(0,1, )-(0,2,0)=(0,-1, ), 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 ∴cos< , >= = = , ∵< , >∈[0,π], ∴< , >= . 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,G,H分别是CC1,CD,A1C1的中点.   (1)求证: ∥ , ⊥ ; (2)若P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3 = ,是否存在实数λ,使 =λ ,且 ⊥ ?若 存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    设正方体的棱长为1,以A为坐标原点,{ , , }为单位正交基底,建立如图所示的 空间直角坐标系A-xyz.   则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),A1(0,0,1),D(0,1,0),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1). 由中点坐标公式,得E ,G ,H . (1)证明: =(1,0,1), = , = , 所以 =2 , · =1× +0× +1× =0, 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 所以 ∥ , ⊥ . (2)不存在.理由如下: 假设存在满足条件的实数λ. 设点P(x1,y1,1), 则 =(x1-1,y1,0), =(-x1,1-y1,0), 由3 = ,得  解得 所以点P的坐标为 . 设点Q(x2,y2,0),则 = , =(x2,y2-1,0),且 = , =(-1,1,0). 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 由 ⊥ ,得x2- +y2- - =0,① 由 =λ ,得 ② 联立①②,无解,故不存在满足条件的实数λ. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 $$