6.1.3 共面向量定理（课时跟踪检测）（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

6.1.3　共面向量定理 1.C　C选项中，＝－－，∴点M，A，B，C共面. 2.A　若i与j不共线，则k与i，j共面⇔存在唯一的一对有序实数组（x，y），使k＝xi＋yj，x，y不一定非零.故选A. 3.C　如图，连接CD1，则＝，∴＝－，故，，共面，选项A、B、D均不共面. 4.D　若向量a，b平行，则向量a，b所在的直线平行或重合，则A不正确；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b是共面向量，则B不正确；空间中的任意两个向量通过平移可在一个平面内，因此，是共面的，则C不正确；利用反证法即可证明若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面，则D正确.故选D. 5.ACD　对于A，＝2＋3，一定有，，共面，且有公共顶点A，故A，B，C，D四点共面，故A正确；对于B，＝3－－＝3－＋，3－1＋1≠1，故A，B，C，D四点不共面，故B错误；对于C，∥，可得A，B，C三点共线，则A，B，C，D四点一定共面，故C正确；对于D，＝＋3－5＝－－3＋5，－1－3＋5＝1，故A，B，C，D四点一定共面，故D正确.故选A、C、D. 6.AC　因为＝＋6＋7＋4，所以－＝＋6＋6＋4，所以＝＋6＋4＝＋2＋4，所以－＝2＋4，所以＝2＋4，所以，，共面.又因为A1M与平面A1BCD1有公共点A1，因此，M∈平面A1BCD1. 7.－4　解析：因为向量m，n，p共面，所以存在实数s，t，使p＝sm＋tn，即xa＋5b＋3c＝2sa＋（t－s）b＋tc，所以t＝3，s＝－2，x＝2s＝－4. 8.－1　解析：因为A，B，C，D四点满足任意三点均不共线且四点共面，所以存在实数λ1，λ2，λ3，使得＝λ1＋λ2＋λ3且λ1＋λ2＋λ3＝1.因为＝2x＋3y＋4z＝－2x－3y－4z，所以λ1＋λ2＋λ3＝－2x－3y－4z＝1，所以2x＋3y＋4z＝－1. 9.P在平面ABC内　解析：由题意得＝＋＋，∵＋＋＝1，且A，B，C三点不共线，∴点P与点A，B，C共面. 10.解：法一　由题知＝＋， ∵A，P，B，C四点共面，根据平面向量基本定理， 不妨设＝x＋y（x，y∈R）， 则＝＋x＋y＝＋x（－）＋y（－）＝（1－x－y）＋x＋y， ∵＝m＋n＋2， ∴∴m＋n＝1－x－y＋x＝1－y＝－1. 法二　直接由共面向量定理的推论，得到m＋n＋2＝1，∴m＋n＝－1. 11.D　对于A，∵≠，∴不存在实数λ，使得＝λ成立，∴与不共线，A错误；对于B，∵＝2e1＋8e2，＝3e1－5e2，∴＝－＝e1－13e2，又≠，∴不存在实数λ，使得＝λ成立，∴与不共线，B错误；对于C、D，若A，B，C，D四点共面，则有＝x＋y＝（x＋2y）e1＋（x＋8y）e2＝3e1－5e2，∴即故＝－，故A，B，C，D四点共面，C错误，D正确. 12.ACD　因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以＝（1－n）＋n，即－＝n（－），即＝n，所以与共线.又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.因为＝m＋n，故O，A，B，P四点共面.故选A、C、D. 13.A　因为M为△ABC的重心，所以＝（＋）＝（－＋－），所以＝＋＝＋＋，又＝x＋y＋z，所以x＝y＝z＝，所以x＋y－z＝.故选A. 14.解：（1）因为＝x，＝y，＝z，且x＝1，y＝，所以＝，＝. 在正四棱锥P-ABCD中，由＝＋，可得－＝－＋－，即＝－＋. 又因为PD∥平面MNS，所以存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ，即＝λ（－）＋μ（－）＝（－λ－μ）＋＋μz. 又因为＝－＋，且，，不共面，所以解得z＝1. （2）由（1）可知＝－＋， 又因为＝x，＝y，＝z，且x＝，y＝，可得＝－2＋. 因为点D∈平面MNS，即D，M，N，S四点共面，所以－2＋＝1，解得z＝. 15.证明：（1）分别连接PE，PF，PG，PH并延长交对边于点M，N，Q，R. 因为E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R为所在边的中点，顺次连接M，N，Q，R得到的四边形为平行四边形，且有＝，＝，＝，＝， 所以＝＋＝（－）＋（－）＝（－）＋（－）＝（＋）. 又因为＝－＝－＝，所以＝（＋），即＝＋. 由共面向量定理知E，F，G，H四点共面. （2）平面EFGH∥平面ABCD. 证明如下：由（1）得＝，故MQ∥EG. 又因为MQ⊂平面ABCD，EG⊄平面ABCD，所以EG∥平面ABCD. 又因为＝－＝－＝，所以MN∥EF. 又因为MN⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，所以EF∥平面ABCD. 因为EG与EF交于点E，所以平面EFGH∥平面ABCD. 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1.3　共面向量定理 1.下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（　　） A.＝2－－ B.＝＋＋ C.＋＋＝0 D.＋＋＋＝0 2.已知i与j不共线，则存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是（　　） A.，， B.，， C.，， D.，， 4.下面关于空间向量的说法正确的是（　　） A.若向量a，b平行，则a，b所在直线平行 B.若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面 C.若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面 D.若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面 5.〔多选〕已知空间四点A，B，C，D及空间任意一点O，由下列条件一定可以得出A，B，C，D四点共面的有（　　） A.＝2＋3 B.＝3－－ C.∥ D.＝＋3－5 6.〔多选〕已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P，M为空间内任意两点，且有＝＋6＋7＋4，则下列结论正确的有（　　） A.，，共面 B.，，不共面 C.M∈平面A1BCD1 D.M∉平面A1BCD1 7.已知向量a，b，c不共面，则使向量m＝2a－b，n＝b＋c，p＝xa＋5b＋3c共面的实数x的值是　　　　. 8.已知O为空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线且四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z＝　　　　. 9.已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外任意一点，点P满足＋2＝6－3，则P与平面ABC的关系是　　　　. 10.如图，平面ABC内的小方格均为正方形，点P为平面ABC内的一点，O为平面ABC外一点，若＝m＋n＋2，求m＋n的值. 11.已知向量e1，e2不共线，＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－5e2，则（　　） A.与共线 B.与共线 C.A，B，C，D四点不共面 D.A，B，C，D四点共面 12.〔多选〕若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则结论正确的有（　　） A.P∈直线AB B.P∉直线AB C.O，A，B，P四点共面 D.P，A，B三点共线 13.如图，M是三棱锥P-ABC的底面△ABC的重心，若＝x＋y＋z，则x＋y－z＝（　　） A. B. C. D.1 14.在正四棱锥P-ABCD中，M，N，S分别是棱PA，PB，PC上的点，且＝x，＝y，＝z，其中x，y，z∈（0，1]. （1）若x＝1，y＝，且PD∥平面MNS，求z的值； （2）若x＝，y＝，且点D∈平面MNS，求z的值. 15.已知四边形ABCD是平行四边形，P是▱ABCD所在平面外一点，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心. （1）试用向量方法证明E，F，G，H四点共面； （2）试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $