6.1.2 第2课时 导数的几何意义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦导数的几何意义及应用，通过复习导数定义衔接切线斜率概念，构建从代数极限到几何意义的学习支架，帮助学生理解导函数与曲线切线的关系。 其亮点在于采用习题讲评式教学，结合题型分类与思维建模，通过实例（如求曲线在某点切线方程）培养学生用数学思维分析问题、用数学语言表达推理过程的能力。学生能深化对导数几何意义的理解，教师可借助系统训练提升教学效率。

导数的几何意义 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.会求简单函数的导函数. 2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 1.导数的几何意义 如果将函数y=f（x）的图象看成曲线（称为曲线y=f（x）），而且曲线在点A（x0，f（x0））处的切线为l，则|Δx|很小时，B（x0+Δx， f（x0+Δx））是A附近的一点，割线AB的斜率是=，则当Δx无限接近于0时，割线的斜率将无限趋近于切线l的_______. 这就是说， __________就是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处（也称在x=x0处）的切线的斜率，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是__________________________. 斜率 f'（x0） y-f（x0）=f'（x0）（x-x0） 2.曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系 导数符号 曲线f（x）在x=x0 附近的升降情况 切线的 斜率k 切线的 倾斜角 f'（x0）>0 上升 k>0 锐角 f'（x0）<0 下降 k<0 钝角 f'（x0）=0 平坦 k=0 零角（切线 与x轴平行） 说明：切线斜率的绝对值的大小反映了曲线在相应点附近上升或下降的快慢. CONTENTS 目录 1 2 3 题型（一）　用导数的几何意义判断 函数的变化 题型（二）　利用导数的几何意义 求解切线问题 课时跟踪检测 题型（一） 用导数的几何意义 判断函数的变化 01 [例1]　若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]内单调递增，则函数y=f（x）在区间[a，b]内的图象可能是 （　　） √ 解析：函数y=f（x）的导函数y=f'（x）在[a，b]内单调递增，由导数的几何意义可知，曲线y=f（x）在区间[a，b]内各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合. 　　|思|维|建|模| （1）曲线f（x）在x=x0附近的变化情况可通过在x=x0处的切线刻画. f'（x0）>0说明曲线在x=x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x=x0附近曲线是上升的；f'（x0）<0说明在x=x0附近曲线是下降的. （2）曲线在某点处的切线斜率反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢. 针对训练 1.已知函数f（x）的图象如图所示，则下列不等关系正确的是 （　　） A.0<f'（2）<f'（3）<f（3）-f（2） B.0<f'（2）<f（3）-f（2）<f'（3） C.0<f'（3）<f（3）-f（2）<f'（2） D.0<f（3）-f（2）<f'（2）<f'（3） √ 解析：kAB==f（3）-f（2），f'（2）为函数f（x）的图象在点B（2，f（2））处的切线的斜率，f'（3）为函数f（x）的图象在点A（3，f（3））处的切线的斜率，根据图象可知0<f'（3）<f（3）-f（2）<f'（2）. 题型（二）利用导数的几何意义 求解切线问题 02 题点1　求切线方程 [例2]　已知曲线y=x3+，求曲线在点P（2，4）处的切线方程. 解：∵P（2，4）在曲线y=x3+上，∴曲线在点P（2，4）处切线的斜率为k= = =4. ∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4（x-2），即4x-y-4=0. 　　[变式拓展] 1.本例条件不变，求曲线过点P（2，4）的切线方程. 解：设曲线y=x3+与过点P（2，4）的切线相切于点A， 则切线的斜率为k= =， ∴切线方程为y-=（x-x0），即y=x-+. ∵点P（2，4）在切线上， ∴4=2-+，即-3+4=0. ∴+-4+4=0， ∴（x0+1）-4（x0+1）（x0-1）=0， ∴（x0+1）（x0-2）2=0，解得x0=-1或x0=2. 故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0. 2.本例条件不变，求满足斜率为1的曲线的切线方程. 解：设切点为（x0，y0），由变式拓展1可知切线的斜率为k=， 即=1，x0=±1，∴切点为或（-1，1）， ∴切线方程为y-=x-1或y-1=x+1，即3x-3y+2=0或x-y+2=0. 　　|思|维|建|模| 求曲线切线方程的两种情形 （1）如果所给点P（x0，y0）是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数f（x）在点x0处的导数f'（x0），即得切线的斜率k=f'（x0），再根据点斜式得出切线方程. （2）如果所给点P不是切点，应先设出切点M（x0，y0），再求切线方程.要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P不一定是切点，也不一定在曲线上. 题点2　求切点坐标或参数 [例3]　已知曲线f（x）=x3+ax在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则实数a=（　　） A.2 B.1 C.-1 D.-2 √ 解析：f'（1）== =[（Δx）2+3Δx+3+a]=3+a.又曲线f（x）在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，∴f'（1）·=（3+a）·=-1，解得a=1. [例4]　已知f（x）=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的 坐标为__________.  解析：设切点坐标为（x0，y0），则Δy=[2（x0+Δx）2+1]-（2+1）=4x0·Δx+2（Δx）2，∴=4x0+2Δx，∴f'（x0）==4x0. 又∵切线的斜率为k=tan 45°=1，∴4x0=1，即x0=. ∴y0=2×+1=，∴切点坐标为. 　　|思|维|建|模| 求切点坐标的步骤 （1）设出切点坐标； （2）利用导数或斜率公式求出斜率； （3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； （4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标. 针对训练 2.直线l：y=x+a（a≠0）和曲线C：y=x3-x2+1相切，则a的值为__________， 切点坐标为__________.  解析：设直线l与曲线C的切点为（x0，y0）， 因为y'==3x2-2x， 则当x=x0时，y'=3-2x0=1，解得x0=1或x0=-. 当x0=1时，y0=-+1=1. 又因为（x0，y0）在直线y=x+a上， 将x0=1，y0=1代入得a=0，与已知条件矛盾，舍去. 当x0=-时，y0=-+1=， 则切点坐标为， 将代入直线y=x+a中得a=. 3.求函数f（x）=x2+1过点P（1，0）的切线方程. 解：设切点为Q（a，a2+1），= =2a+Δx，=（2a+Δx）=2a.所以所求切线的斜率为2a.因此，=2a，解得a=1±，所求的切线方程为 （2+2）x-y-（2+2）=0或（2-2）x-y-（2-2）=0. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.函数f（x）在x=x0处导数f'（x0）的几何意义是 （　　） A.在点x=x0处的斜率 B.在点（x0，f（x0））处的切线与x轴所夹的锐角正切值 C.点（x0，f（x0））与点（0，0）连线的斜率 D.曲线y=f（x）在点（x0，f（x0）） 处的切线的斜率 √ 解析：f'（x0）的几何意义是在切点（x0，f（x0））处的切线斜率.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知函数f（x）满足f'（x1）>0，f'（x2）<0，则在x=x1和x=x2附近符合条件的f（x）的图象大致是 （　　） √ 解析：由f'（x1）>0，f'（x2）<0可知，f（x）的图象在x=x1处切线的斜率为正，在x=x2处切线的斜率为负. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.曲线y=f（x）=-在点M（1，-2）处的切线方程为（　　） A.y=-2x+4 B.y=-2x-4 C.y=2x-4 D.y=2x+4 √ 解析：因为==，所以当Δx→0时，f'（1）=2，即切线的斜率k=2.所以切线方程为y+2=2（x-1），即y=2x-4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.曲线y=x3-2在点处的切线的倾斜角为（　　） A.30° B.45° C.135° D.60° √ 解析：∵==1，∴切线的斜率为1， ∴倾斜角为45°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f'（4）= （　　） A. B.3 C.4 D.5 √ 解析：由于kl==，∴f'（4）=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示， 设=a，则下列不等式正确的是（　　） A.a<f'（2）<f'（4） B.f'（2）<a<f'（4） C.f'（4）<f'（2）<a D.f'（2）<f'（4）<a √ 解析：由题图可知，在[2，4]上，函数增长的越来越快，故函数图象的切线斜率越来越大，而（2，f（2）），（4，f（4））两点连线的斜率为，其大小在点（2，f（2））处的切线斜率f'（2）与点（4，f（4））处的切线斜率f'（4）之间，所以f'（2）<a<f'（4）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.若曲线y=x+上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是（　　） A.（-∞，-1） B.（-1，1） C.（-∞，1） D.（1，+∞） √ 解析：y=x+上任意一点P（x0，y0）处的切线斜率k===1-<1.即k<1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.（5分）已知函数y=f（x）在点（2，1）处的切线与直线3x-y-2=0平行，则f'（2）=__________.  3 解析：因为直线3x-y-2=0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知 f'（2）=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.（5分）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则= ________.  解析：由导数的概念和几何意义知，=f'（1）=kAB==-2. -2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.（5分）已知函数y=ax2+b在点（1，3）处的切线斜率为2，则=_______.  2 解析：∵f'（1）=2，又 ==（aΔx+2a）=2a， ∴2a=2，∴a=1.又f（1）=a+b=3，∴b=2，∴=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）若点P是抛物线y=2x2+1上任意一点，则点P到直线y=x-2的 最小距离为_______.  解析：由题意知，当点P到直线y=x-2的距离最小时，点P为抛物线y=2x2+1的一条切线的切点，且该切线平行于直线y=x-2.设y=f（x）=2x2+1.由导数的几何意义知y'=f'（x）==4x=1，解得x=，∴P，故点P到直线y=x-2的最小距离d==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）设P为曲线C：y=f（x）=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P的横坐标的取值范围是__________.  解析：∵= ==Δx+2x+2，当Δx→0时，Δx+2x+2→2x+2， ∴可设点P的横坐标为x0，则曲线C在点P处的切线斜率为2x0+2. 由已知得0≤2x0+2≤1，∴-1≤x0≤-，即点P的横坐标的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（10分）已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P（1，1），Q（2，-1），且在点Q处与直线y=x-3相切，求实数a，b，c的值. 解：∵曲线y=ax2+bx+c过点P（1，1），∴a+b+c=1.① ∵y'== = 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 =（2ax+b+aΔx）=2ax+b， ∴当x=2时，y'=4a+b，∴4a+b=1.② 又曲线过Q（2，-1）点， ∴4a+2b+c=-1，③ 联立①②③解得a=3，b=-11，c=9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（10分）试求过点P（3，5）且与曲线y=x2相切的直线方程. 解：设所求切线的切点为A（x0，y0）， 则f'（x0）===2x0. ∵点A在曲线y=x2上，∴y0=， 又∵A是切点，∴过点A的切线的斜率k=2x0， ∵所求切线过P（3，5）和A（x0，y0）两点， ∴其斜率为=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴2x0=，解得x0=1或x0=5. 从而切点A的坐标为（1，1）或（5，25）. 当切点为（1，1）时，切线的斜率为k1=2x0=2. 当切点为（5，25）时，切线的斜率为k2=2x0=10. ∴所求的切线有两条，方程分别为y-1=2（x-1）和y-25=10（x-5），即y=2x-1和y=10x-25. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（10分）已知曲线y=f（x）=x2+1，是否存在实数a，使得经过点（1，a）能够作出该曲线的两条切线?若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：∵==2x+Δx， ∴当Δx→0时，2x+Δx→2x.设切点为P（x0，y0），则切线的斜率为k=y'=2x0，由点斜式可得所求切线方程为y-y0=2x0（x-x0）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 又∵切线过点（1，a），且y0=+1， ∴a-（+1）=2x0（1-x0）， 即-2x0+a-1=0.∵切线有两条， ∴Δ=（-2）2-4（a-1）>0，解得a<2. 故存在实数a，使得经过点（1，a）能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是（-∞，2）. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $