6.1.3 基本初等函数的导数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦基本初等函数的导数，课前通过自主学习落实导函数定义及公式表，课堂采用梯度进阶式教学，从定义推导到公式应用，再延伸至切线方程、实际应用，构建连贯知识支架。 其亮点在于结合“思维建模”提炼方法，如总结求导两种路径、切线问题两类情况，培养数学思维与应用意识。通过质点运动速度计算、降雨强度分析等实例，引导学生用数学眼光观察现实，助力教师高效教学，提升学生问题解决能力。

6.1.3 基本初等函数的导数 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.能根据导数的定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的导数. 2.能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.导函数 一般地，如果函数y=f（x）在其定义域内的每一点x都可导，则称______可导.此时，对定义域内的____________，都对应一个确定的导数f'（x）.于是，在f（x）的定义域内，f'（x）是一个函数，这个函数通常称为函数y=f（x）的导函数，记作f'（x）（或y'，y'x），即f'（x）=y'=y'x= __________________.导函数通常也简称为导数. f（x） 每一个值x 2.常数函数与幂函数的导数 原函数 导函数 f（x）=C（C为常数） f'（x）=_____ f（x）=x f'（x）=_____ f（x）= f'（x）=_____ f（x）=（x>0） f'（x）=_____ 0 1 - 3.导数公式表 原函数 导函数 f（x）=C（C为常数） f'（x）=_____ f（x）=xα f'（x）=_____ f（x）=ax（a>0且a≠1） f'（x）=_____ f（x）=logax（a>0且a≠1） f'（x）=_____ f（x）=sin x f'（x）=_____ f（x）=cos x f'（x）=_____ f（x）=ex f'（x）=_____ f（x）=ln x f'（x）=_____ 0 αxα-1 axln a |微|点|助|解| 关于几个基本初等函数导数公式的特点 （1）正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，（符号）正同余反”. （2）指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数. （3）对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数. 1.已知f（x）=cos 30°，则f'（x）的值为 （　　） A.- B. C.- D.0 √ 基础落实训练 解析：∵f（x）=cos 30°=，因此，f'（x）=0. 2.若f（x）=，则f'（1）等于（　　） A.0 B.- C.3 D. √ 解析：因为f（x）=，则f'（x）=，所以f'（1）=. 3.已知函数f（x）=x3，f'（x）是f（x）的导函数，若f'（x0）=12，则x0= （　　） A.2 B.-2 C.±2 D.± √ 解析：依题意f'（x）=3x2，故3=12，解得x0=±2. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型（一）　求基本初等函数的导数 [例1]　 求下列函数的导数： （1）y=x-3； 解：y'=-3x-4. （2）y=3x； 解：y'=3xln 3. （4）y=lox； 解：y'==-. （5）y=cos； 解：y=sin x，y'=cos x. （3）y= ； 解：y= = =，∴y'== . （6）y=sin； 解：y'=0. （7）y=ln x； 解：y'=. （8）y=ex. 解：y'=ex. 　　|思|维|建|模| 求简单函数的导函数有两种基本方法 （1）用导数的定义求导，但运算比较繁杂. （2）用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 针对训练 1.求下列函数的导数： （1）y=6x； 解：y'=（6x）'=6xln 6. （2）y=x2； 解：y'=（x2）'=（）'==. （3）y=cos2-sin2. 解：∵y=cos2-sin2=cos x，∴y'=（cos x）'=-sin x. 2.已知函数f（x）=logax（a>0且a≠1）在x=2处的导数为，求底数a的值. 解：f'（x）=（logax）'=，由题得f'（2）==， 所以ln a=ln 2，得a=2. 题型（二）　利用导数公式求曲线的切线方程 [例2]　已知曲线y=ln x，点P（e，1）是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程. 解：因为y'=，所以当x=e时，y'=，即切线斜率为，所以切线方程为y-1=（x-e），即x-ey=0. 　　[变式拓展] 1.若y=kx+1是曲线y=ln x的一条切线，求k的值. 解：设切点坐标为（x0，y0），由题意得当x=x0时，y'==k， 又解得∴k=. 2.求曲线y=ln x过点O（0，0）的切线方程. 解：因为点O（0，0）不在曲线上，所以设切点为Q（a，b），则切线斜率k=，又因为k=，且b=ln a，所以a=e，b=1，所以切线方程为x-ey=0. 3.若方程ln x=mx恰有一个根，求m的取值范围. 解：问题可以转化为函数y=ln x与y=mx的图象有且仅有一个公共点.由图象（图略）易知m≤0满足条件.另外就是y=mx是y=ln x的切线时满足条件.因为y=mx的图象过（0，0），设切点为Q（a，b），则切线斜率m=，又因为m=，且b=ln a，所以a=e，b=1，m=， 即m的取值范围为（-∞，0]∪. 　　|思|维|建|模| 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 （1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； （2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. 针对训练 √ 3.曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积 为 （　　） A.e2 B.2e2 C.e2 D. 解析：y'=ex，在点（2，e2）处的切线为y-e2=e2（x-2），截距分别为 -e2，1，故切线与坐标轴所围成的三角形的面积为×e2×1=. 4.在曲线y=f（x）=上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°. 解：设切点坐标为P（x0，y0），f'（x0）=-2=tan 135°=-1， 即-2=-1，∴x0= . 代入曲线方程得y0=，∴点P的坐标为. 题型（三）　导数公式的实际应用 [例3]　质点的运动方程是s=sin t，则质点在t=时的速度为_________，质点运动的加速度为_________.  - 解析：v（t）=s'（t）=cos t，∴v=cos =， 即质点在t=时的速度为.∵v（t）=cos t， ∴加速度a（t）=v'（t）=（cos t）'=-sin t.a=-sin=-. 　　|思|维|建|模| 　　由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数. 针对训练 5.已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可近似表示为y=，则在t=4 min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为_______mm/min.  解析：因为y=f（t）==，所以f'（t）=（）'=，所以f'（4）=×=，故在t=4 min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为 mm/min. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.[多选]下列运算错误的是 （　　） A.（2x）'=2xlog2e B.（）'= C.（sin 1）'=cos 1 D.（log3x）'= √ √ 解析：对于A，（2x）'=2xln 2，A错误； 对于B，（）'=（）'==，B正确； 对于C，（sin 1）'=0，C错误；对于D，（log3x）'=，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知函数f（x）=，则f' （-2） =（　　） A.4 B. C.-4 D.- √ 解析：∵f'（x）=-，∴f'（-2）=-=-.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.函数f（x）=x2在区间[0，2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率，则m= （　　） A. B.1 C.2 D. √ 解析：函数f（x）=x2在区间[0，2]上的平均变化率等于==2.由f（x）=x2，得f'（x）=2x，所以f'（m）=2m. 因为函数f（x）=x2在区间[0，2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率，所以2=2m，解得m=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.设M，m分别是函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值，若M=m，则f'（x） （　　） A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不确定 √ 解析：因为M=m且M，m分别是函数f（x）的最大值和最小值， 所以f（x）为常函数，故f'（x）=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.函数f（x）=x3的斜率等于1的切线有 （　　） A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定 √ 解析：∵f'（x）=3x2，设切点为（x0，），∴3=1，解得x0=±，∴在点和点处有斜率等于1的切线，∴满足题意的切线有2条.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知函数f（x）及其导数f'（x），若存在x0使得f（x0）=f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是 （　　） A.f（x）=x2 B.f（x）=ln x C.f（x）=sin x D.f（x）=2x √ 解析：对于A，f'（x）=2x，由x2=2x解得x=0或x=2，所以f（x）存在“巧值点”； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 对于B，f'（x）=（x>0），作函数f（x）与 f'（x）的图象，由图可知f（x）存在“巧值点”； 对于C，f'（x）=cos x，由sin x=cos x得tan x=1， 解得x=+kπ，k∈Z，所以f（x）存在“巧值点”； 对于D，f'（x）=2xln 2，因为2x>0，所以2x=2xln 2无实数解， 所以f（x）不存在“巧值点”. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.若点A（a，a），B（b，eb）（a，b∈R），则A，B两点间距离|AB|的最小值为 （　　） A.1 B. C. D.2 √ 解析：点A（a，a）在直线y=x上，点B（b，eb）在y=ex上.由y=ex， 得y'=ex.设y=ex的切线的切点为（x0，y0），令y'=1⇒=1⇒x0=0， 所以y=ex在点（0，1）处的切线为y=x+1，此时切线y=x+1与直线y=x平行，直线y=x与y=x+1之间的距离=为|AB|的最小值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.（5分）已知函数f（x）=ln x，则=__________.  解析：∵f（x）=ln x，∴f'（x）=， ∴=f'（2）=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.（5分）已知曲线y=x2的一条切线倾斜角为，则切点坐标为________.  解析：设切点为（x0，），由y=x2，求导得y'=2x，可得切线的斜率为k=f'（x0）=2x0，由切线倾斜角为，则斜率是1，即2x0=1，解得x0=，故切点的坐标为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.（5分）已知曲线y=ln x的一条切线方程为x-y+c=0，则c=________.  -1 解析：设切点为（x0，ln x0），由y=ln x得y'=.因为曲线y=ln x在x=x0处的切线为x-y+c=0，其斜率为1.所以当x=x0时，y'==1， 即x0=1，所以切点为（1，0）.所以1-0+c=0，解得c=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间（a，b）内的导数为f'（x），那么在区间（a，b）内至少存在一点c，使得f（b）-f（a）= f'（c）（b-a）成立，其中c叫作f（x）在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f（x）=ln x在[1，e]上的“拉格朗日中值点”为________.  e-1 解析：由f（x）=ln x可得f'（x）=，令x0为函数f（x）=ln x在[1，e]上的“拉格朗日中值点”，则==，解得x0=e-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）抛物线y=x2上的一动点M到直线l：x-y-1=0距离的最小值为________.  解析：因为y=x2，所以y'=2x，令y'=2x=1，得x=，所以与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x2相切的直线的切点为， 切线方程为y-=x-，即x-y-=0，由两平行线间 的距离公式可得所求的最小距离d==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（10分）若质点P的运动方程是s（t）=（s的单位为m，t的单位为s），求质点P在t=8 s时的瞬时速度. 解：s（t）=，故s'（t）=，s'（8）=×=，故质点P在t=8 s时的瞬时速度为 m/s. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（10分）直线y=-x+b是下列函数的切线吗?如果是，请求出b的值；如果不是，请说明理由. （1）y=ln x；（4分） 解：函数y=ln x的定义域为（0，+∞），则对任意的x>0，y'=>0， 所以直线y=-x+b不是曲线y=ln x的切线. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）y=.（6分） 解：函数y=的定义域为{x|x≠0}，令y'=-=-1，解得x=±1， 将x=1代入函数y=的解析式可得切点坐标为（1，1），则-1+b=1， 解得b=2.将x=-1代入函数y=的解析式可得切点坐标为（-1，-1）， 则1+b=-1，解得b=-2.综上所述，y=-x+b是函数y=的切线方程， 且b=±2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（15分）设l是曲线y=的一条切线，证明l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关. 证明：由题意，设点P（x0，y0）为y=图象上 的任意一点， 且点P处的切线即为l，很明显y0=，y'=-， 则当x=x0时，y'=-.故曲线在点P（x0，y0）处的切线斜率为-， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以切线l方程为y-y0=-（x-x0），即y-=-（x-x0）. 当x=0时，y=；当y=0时，x=2x0， 所以l与坐标轴所围成的三角形的面积S=··2|x0|=2.很明显l与坐标轴所围成的三角形的面积是一个定值，与切点选取无关.所以l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $