6.2.1 第2课时 导数与函数单调性的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦导数与函数单调性的综合应用，涵盖含参函数单调性讨论、由单调性求参数范围及比较大小解不等式等核心知识点，通过习题讲评式教学，以基础导数知识为起点，逐步引入含参问题，搭建从单一到综合的学习支架。 其亮点在于题型分类清晰，每个题型配套思维建模总结方法，如含参单调性讨论的分类标准，体现数学思维的逻辑性。例题与变式拓展结合，帮助学生形成解决问题的思维框架，提升数学语言表达能力，便于教师教学和学生巩固应用。

导数与函数单调性的综合问题 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系；能求简单的含参的函数的单调区间. 2.能根据函数的单调性求参数的取值范围，比较大小解不等式等. CONTENTS 目录 1 2 3 题型（一）　讨论含参函数的单调性 题型（二）　根据函数的单调性求参数 题型（三）根据函数的单调性比较 大小或解不等式 4 课时跟踪检测 题型（一）　讨论含参函数的 单调性 01 [例1]　讨论函数f（x）=x2-aln x（a≥0）的单调性. 解：函数f（x）的定义域是（0，+∞），f'（x）=2x-=（x>0）， 设g（x）=2x2-a，由g（x）=0，得2x2=a. 当a=0时，f'（x）=2x>0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增. 当a>0时，由g（x）=0，得x=或x=-（舍去）. 当x∈时，g（x）<0，即f'（x）<0； 当x∈时，g（x）>0，即f'（x）>0. ∴当a>0时，函数f（x）在区间内单调递减， 在区间上单调递增. 综上，当a=0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当a>0时，函数f（x）在上单调递增，在内单调递减. 　　[变式拓展] 　已知函数f（x）=x2-2x+aln x（a>0），求函数f（x）的单调递增区间. 解：f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=2x-2+=，x>0， 令h（x）=2x2-2x+a，注意到Δ=4（1-2a）. ①当a≥时，Δ≤0，f'（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增； ②当0<a<时，Δ>0，令f'（x）=0，得x1=>0，x2=>0， 令f'（x）>0，解得x∈∪， 所以f（x）的单调递增区间为. 综上，当a≥时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）； 当0<a<时，f（x）的单调递增区间为. 　　|思|维|建|模| 　　在讨论含有参数的函数单调性时，若f'（x）中的参数不容易判断其正负时，需要对参数进行分类，分类的标准： （1）按导函数是否有零点分大类； （2）在大类中再按导数零点的大小分小类； （3）在小类中再按零点是否在定义域中分类. 针对训练 1.已知函数f（x）=ax-（a+2）ln x--ln a（a>0），讨论函数f（x）的单调性. 解：由题意知f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）= =，x>0，令f'（x）=0，解得x1=1，x2=. ①当<1，即a>2时，若x∈∪（1，+∞），则f'（x）>0； 若x∈，则f'（x）<0.∴f（x）在，（1，+∞）上单调递增，在内单调递减. ②当=1，即a=2时，f'（x）=≥0且f'（x）不恒等于0， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递增. ③当>1，即0<a<2时，若x∈（0，1）∪，则f'（x）>0；若x∈，则f'（x）<0.∴f（x）在（0，1），上单调递增，在内单调递减.综上所述，当a>2时，f（x）在，（1，+∞）上单调递增，在内单调递减；当a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当0<a<2时，f（x）在（0，1），上单调递增，在内单调递减. 题型（二）根据函数的单调性 求参数 02 [例2]　已知函数f（x）=ln x-ax2-2x（a≠0）. （1）函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围； 解：因为f（x）=ln x-ax2-2x，x∈（0，+∞），所以f'（x）=-ax-2.由于f（x）在（0，+∞）上存在单调递减区间，所以当x∈（0，+∞）时，-ax-2<0有解，即a>-有解.设G（x）=-，所以只要a>G（x）min即可.又G（x）=-1，所以G（x）min=-1.所以a>-1.又因为a≠0，所以a的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）. （2）若函数f（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围. 解：因为f（x）在[1，4]上单调递减，所以当x∈[1，4]时， f'（x）=-ax-2≤0恒成立，即a≥-恒成立.由（1）知G（x）=-， 所以a≥G（x）max，又G（x）=-1，x∈[1，4]， 所以∈，所以G（x）max=-（此时x=4），所以a≥-. 又因为a≠0，所以a的取值范围是∪（0，+∞）. 　　[变式拓展] 1.本例条件不变，若f（x）在[1，4]上存在单调递增区间，求a的取值范围. 解：f（x）在[1，4]上存在单调递增区间， 则f'（x）>0在[1，4]上有解，所以当x∈[1，4]时，a<-有解. 又当x∈[1，4]时，=-， 所以a<-，所以a的取值范围是. 2.若本例条件不变，f（x）在[1，4]上单调递增，求a的取值范围. 解：因为f（x）在[1，4]上单调递增， 所以当x∈[1，4]时，f'（x）≥0恒成立. 所以当x∈[1，4]时，a≤-恒成立. 又当x∈[1，4]时，=-1（此时x=1）， 所以a≤-1，即a的取值范围是（-∞，-1]. 　　|思|维|建|模| 1.已知f（x）在区间（a，b）内的单调性，求参数范围的方法 （1）利用集合的包含关系处理f（x）在（a，b）内单调递增（减）的问题，则区间（a，b）是相应单调区间的子集； （2）利用不等式的恒成立处理f（x）在（a，b）内单调递增（减）的问题，则f'（x）≥0（f'（x）≤0）在（a，b）内恒成立，注意验证等号是否成立. 2.恒成立问题的重要思路 （1）m≥f（x）恒成立⇒m≥f（x）max； （2）m≤f（x）恒成立⇒m≤f（x）min. 针对训练 2.若函数f（x）=2x2+ln x-ax在定义域上单调递增，求实数a的取值范围. 解：函数f（x）=2x2+ln x-ax在定义域上单调递增，则f'（x）=4x+-a≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≤4x+（x>0）恒成立. 令g（x）=4x+（x>0），则a≤g（x）min.g（x）=4x+≥2=4， 当且仅当4x=，即x=时取等号，故a≤4；当a=4时，f'（x）=4x+-4 ==≥0恒成立，满足题意， 所以a≤4.故实数a的取值范围是（-∞，4]. 题型（三）根据函数的单调性 比较大小或解不等式 03 [例3]　已知函数f（x）=+ln x，则有（　　） A.f（e）<f（3）<f（2） 　B.f（3）<f（e）<f（2） C.f（e）<f（2）<f（3） 　D.f（2）<f（e）<f（3） √ 解析：f'（x）=+，所以x∈（0，+∞）时，f'（x）>0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，又2<e<3，所以f（2）<f（e）<f（3）. [例4]　已知函数f（x）=1-x+-，若不等式f（a2+a）≤f（2a+2）成立，则实数a的取值范围为___________________.  解析：由f（x）=1-x+-，得f'（x）=-1+x-x2=--<0， 所以f（x）在R上为减函数.由f（a2+a）≤f（2a+2），得a2+a≥2a+2，解得a≤-1或a≥2. （-∞，-1]∪[2，+∞） 　　|思|维|建|模| （1）在比较两数（式）的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小. （2）在解一些不等式时，先判断函数的单调性，再利用单调性脱去f，即可得到变量的大小关系. 针对训练 3.若f（x）=，e<a<b，则（　　） A.f（a）>f（b） B.f（a）=f（b） C.f（a）<f（b） D.f（a）f（b）>1 √ 解析：因为f'（x）==，当x∈（e，+∞）时，1-ln x<0， 所以f'（x）<0，所以f（x）在（e，+∞）上单调递减.故f（a）>f（b）. 4.已知函数f（x）=x-sin x，则不等式f（x+1）+f（2-2x）>0的解集是________.  （-∞，3） 解析：因为f（x）=x-sin x，所以f（-x）=-x+sin x=-f（x），即函数 f（x）为奇函数，函数的导数f'（x）=1-cos x≥0，则函数f（x）是增函数，则不等式f（x+1）+f（2-2x）>0等价于f（x+1）>-f（2-2x）= f（2x-2），即x+1>2x-2，解得x<3，故不等式的解集为（-∞，3）. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.函数f（x）=ax3-x在R上为减函数，则a的取值范围为 （　　） A.（-∞，0] B.（-∞，1） C.（-∞，2） D. √ 解析：f'（x）=3ax2-1≤0恒成立，∴a≤0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知函数f（x）=ln x+x2+ax的单调递减区间为，则a的值为（　　） A.（-∞，-3） B.-3 C.3 D.（-∞，3） √ 解析：由题意得函数f（x）的定义域为（0，+∞）， f'（x）=+2x+a=<0的解集为， 所以不等式2x2+ax+1<0的解集为，所以+1=-，解得a=-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知函数f（x）=ax+cos x在内单调递增，则a的取值范围是（　　） A.[-1，+∞） B.[1，+∞） C. D. √ 解析：f'（x）=a-sin x≥0在上恒成立，即a≥（sin x）max，所以a≥1，则a的取值范围是[1，+∞）.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.[多选]若函数f（x）=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是 （　　） A.-3 B.-1 C.0 D.2 √ √ 解析：依题意知，f'（x）=3ax2+6x-1有两个不相等的零点， 故解得a>-3且a≠0.故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.若f（x）=xsin x+cos x，a=f（-3），b=f（），c=f（2），则a，b，c的大小关系为（　　） A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<b<a √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）=xsin x+cos x=f（x）， 可知函数f（x）为偶函数，所以a=f（-3）=f（3）.又因为f'（x）= sin x+xcos x-sin x=xcos x，且x∈，则x>0，cos x<0，即f'（x）=xcos x<0，所以f（x）在区间内单调递减，且<<2<3<π，所以f（-3）=f（3）<f（2）<f（），即a<c<b.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知函数的定义域为R，f（1）=5，对任意x∈R，f'（x）<2，则 f（x）>3+2x的解集为 （　　） A.（-1，1） B.（2，+∞） C.（1，2） D.（-∞，1） √ 解析：设g（x）=f（x）-2x-3，则g'（x）= f'（x）-2.∵对任意x∈R，f'（x）<2，∴对任意x∈R，g'（x）<0，∴g（x）在R上单调递减. ∵f（1）=5，∴g（1）=f（1）-2-3=0，由g（x）> g（1）=0，得x<1，∴f（x）>3+2x的解集为（-∞，1）.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.（5分）若函数y=x2-2bx+6在（2，8）内单调递增，则实数b的取值范围是__________.  （-∞，2] 解析：由题意得y'=2x-2b≥0在（2，8）内恒成立，即b≤x在（2，8）内恒成立，所以b≤2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.（5分）若函数f（x）=x2-4ln x在其定义域的一个子区间（k-2，k+2）内不具有单调性，则实数k的取值范围是__________.  [2，4） 解析：由题意f'（x）=x-（x>0）单调递增，且f'（2）=2-=0，所以若函数f（x）=x2-4ln x在其定义域的一个子区间（k-2，k+2）内不具有单调性，则0≤k-2<2<k+2，解得2≤k<4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.（5分）已知函数f（x）=x3-x的值域为，则f（x）的定义域可以是_______________________.（写出一个符合条件的即可）  解析：f'（x）=x2-1，令f'（x）=0可得x=-1或x=1， 所以当x<-1或x>1时，f'（x）>0，当-1<x<1时，f'（x）<0， 故f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递增，在（-1，1）内单调递减，且f（-1）=，f（1）=-，由此可知定义域可以是[-1，1]. [-1，1]（答案不唯一） 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.（5分）已知函数f（x）=ex-+sin x，其中e是自然对数的底数，若f（2a）+f（a2）≤0，则实数a的取值范围是___________.  [-2，0] 解析：易知f（-x）=e-x-+sin（-x）=-ex+-sin x=-f（x），且x∈R，即f（x）为奇函数.又f'（x）=ex++cos x≥2+cos x=2+cos x>0，当且仅当x=0时取等号，故f（x）为增函数.由于f（2a）+f（a2）≤0 ⇒f（2a）≤-f（a2）=f（-a2） ，所以2a≤-a2⇒a∈[-2，0]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.（5分）已知函数f（x）=-x2+x+6在（a，a+1）内不具有单调性， 则实数a的取值范围是___________.  解析：根据题意，函数f（x）=-x2+x+6，其导数f'（x）=-2x+1， 令f'（x）=0，可得x=，当x<时，f'（x）>0；当x>时，f'（x）<0. 则在区间上，f（x）单调递增；在区间上， f（x）单调递减，若函数f（x）=-x2+x+6在（a，a+1）内不具有单调性，则a<<a+1，解得-<a<，即a的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.（10分）已知函数f（x）=x-aln x. （1）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（5分） 解：f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=1-=， 当a≤0时，f'（x）>0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，满足题意； 当a>0时，令f'（x）=≥0，解得x<0 （舍去）或x≥a， 要使f（x）在[1，+∞）上单调递增，则a≤1，所以0<a≤1. 综上，a的取值范围为（-∞，1]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）求f（x）的单调区间.（5分） 解：由（1）可知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增， 当a>0时，f（x）在（a，+∞）上单调递增， 令f'（x）=<0，解得0<x<a，f（x）在（0，a）内单调递减. 综上，当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）； 当a>0时，f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.（10分）已知f（x）=x2+x+aln x（a∈R）.讨论f（x）的单调性. 解：由已知，f（x）=x2+x+aln x（a∈R）的定义域为（0，+∞）， f'（x）=2x+1+=，①当a≥0时，f'（x）>0在区间（0，+∞）上恒成立，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增. ②当a<0时，令f'（x）=0，则2x2+x+a=0，Δ=1-8a>0，解得x1=<0（舍去），x2=>0，∴当x∈时，2x2+x+a<0，∴f'（x）<0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ∴f（x）在区间内单调递减； 当x∈时，2x2+x+a>0，∴f'（x）>0，∴f（x）在区间上单调递增.综上所述，当a≥0时，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；当a<0时，f（x）在区间内单调递减，在区间上单调递增. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.（15分）已知函数f（x）=xln x. （1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（5分） 解：f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=ln x+1. 曲线f（x）在x=1处的切线的斜率为k= f'（1）=1. 把x=1代入f（x）=xln x中得f（1）=0，即切点坐标为（1，0）. 所以曲线f（x）在x=1处的切线方程为y=x-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）讨论函数f（x）在区间（0，t]（t>0）内的单调性.（10分） 解：令f'（x）=ln x+1=0，得x=. ①当0<t≤时，在区间（0，t]内，f'（x）≤0，f（x）单调递减. ②当t>时，在区间内，f'（x）<0，f（x）单调递减； 在区间内，f'（x）>0，f（x）单调递增.综上，当0<t≤时， f（x）单调递减；当t>时，在区间内，f（x）单调递减， 在区间内，f（x）单调递增. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $