6.1.1 函数的平均变化率-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦“函数的平均变化率”，系统讲解概念、几何意义、与平均速度的关系及实际应用，通过具体实例导入，衔接函数基础，为后续导数学习搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于采用“逐点理清式”教学，结合运动位移、药物浓度变化、容器倒水等实例，以数学眼光观察现实，用数学思维推理规律，用数学语言表达关系，助力学生理解，也便于教师系统教学，提升效率。

第六章 导数及其应用 导数 6.1 函数的平均变化率 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 6.1.1 课时目标 通过具体实例了解函数的平均变化率，了解“以直代曲”的含义，会求运动物体的平均速度. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清（一）　函数的平均变化率 逐点清（二）　平均速度与平均变化率 逐点清（三） 平均变化率的实际应用 4 课时跟踪检测 逐点清（一）函数的平均变化率 01 1.平均变化率的概率 一般地，若函数y=f（x）的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1=f（x1）， y2=f（x2），则 （1）自变量的改变量Δx=______； （2）因变量的改变量Δy=______（或Δf=f（x2）-f（x1））； （3）f（x）在[x1，x2]上的平均变化率为=________ . 多维理解 x2-x1 y2-y1 |微|点|助|解| （1）Δx是自变量的改变量，它可以为正、为负，但不为零；Δy是相应的因变量的改变量，它既可以为正，可以为负，也可以等于零. （2）平均变化率即=的几何意义就是函数y=f（x）图象上的两点（x0，f（x0））与（x0+Δx，f（x0+Δx））所在直线的斜率. （3）利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙、不精确”的，只有当Δx=x2-x1无限趋近于0时，这种量化才由“粗糙”趋近于“精确”. 2.平均变化率的实际意义 在以x1，x2为端点的闭区间上，自变量每增加1个单位，因变量平均将 增加______个单位.因此，如果自变量增加h个单位，那么因变量将增 加______个单位. 3.平均变化率的几何意义 =表示函数y=f（x）图象上过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的割线的______. 1.函数f（x）=x2-cos x在[0，π]上的平均变化率为 （　　） A.1 B.2 C.π+ D.π √ 微点练明 解析：平均变化率为===π+. 2.已知函数f（x）=x2+3x在[0，m]上的平均变化率是函数g（x）=2x+1在[1，4]上的平均变化率的3倍，则实数m的值为______.  3 解析：函数g（x）在[1，4]上的平均变化率为==2.函数f（x）在[0，m]上的平均变化率为==m+3.由题意知m+3=2×3，解得m=3. 3.比较函数f（x）=2x与g（x）=x-1在区间[a-1，a]（a<0）上的平均变化率的大小. 解：f（x）=2x在区间[a-1，a]（a<0）上的平均变化率为==2a-2a-1=2a-1；g（x）=x-1在区间[a-1，a]（a<0）上的平均变化率为==-=. ∵a<0，∴a-1<-1，∴2a-1<2-1=，∴f（x）=2x在区间[a-1，a]（a<0）上的平均变化率比g（x）=x-1在区间[a-1，a]（a<0）上的平均变化率小. 逐点清（二）平均速度与平均 变化率 02 如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h（t），则物体在[t1，t2]（t1<t2时）或[t2，t1]（t2<t1时）这段时间内的平均速度为______（m/s）.这就是说，物体在某段时间内的____________等于x=h（t）在该段时间内的平均变化率. 多维理解 平均速度 1.某质点沿直线运动，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为f（t）=t2+2t，则该质点在1≤t≤3这段时间内的平均速度为 （　　） A.6 m/s B.7 m/s C.8 m/s D.9 m/s √ 解析：由题意知位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为f（t）=t2+2t，则该质点在1≤t≤3这段时间内的平均速度为= ==6（m/s）. 微点练明 2.一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为s（t）=6t2+mt，且这一物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s，则实数m的值为 （　　） A.2 B.1 C.-1 D.-2 √ 解析：Δs=s（2）-s（1）=6×22+2m-（6×12+m）=18+m，Δt=2-1=1，因为物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s， 所以v===18+m=20（m/s），解得m=2，故选A. 3.[多选]一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为h（t）=2t2+2t，则下列说法正确的是 （　　） A.前3 s内球滚下的垂直距离的增量Δh=20 m B.在时间[2，3]内球滚下的垂直距离的增量Δh=12 m C.前3 s内球在垂直方向上的平均速度为8 m/s D.在时间[2，3]内球在垂直方向上的平均速度为12 m/s √ √ √ 解析：前3 s内，Δt=3 s，Δh=h（3）-h（0）=24 m，此时球在垂直方向上的平均速度为==8 m/s，A错误，C正确；在时间[2，3]内，Δt=1 s，Δh=h（3）-h（2）=12 m，此时球在垂直方向上的平均速度为==12 m/s，B正确，D正确.故选BCD. 4.某人服药后，吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度c（单位：μg/mL）来表示，它是时间t（单位：min）的函数，表示为c=c（t）.下表给出了c（t）的一些函数值： t/min 0 10 20 30 40 50 c（t）/（μg/mL） 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00   t/min 60 70 80 90 100 — c（t）/（μg/mL） 0.97 0.90 0.79 0.63 0.41 — （1）求服药后30 min内，30 min到40 min，80 min到90 min这3段时间内，血液中药物质量浓度的平均变化率； 解：服药后30 min内血液中药物质量浓度的平均变化率为 ≈0.004 67（μg/mL·min），服药后30 min到40 min内血液中药物质量浓度的平均变化率为≈0.002（μg/mL·min）， 服药后80 min到90 min内血液中药物质量浓度的平均变化率为≈-0.016（μg/mL·min）. （2）讨论刻画血液中的药物质量浓度变化快慢的方法，并说明上述3段时间中，药物质量浓度变化最快的时间段. 解：用平均变化率的绝对值的大小刻画药物质量浓度变化的快慢， 当>0时，血液中的药物质量浓度增加；当<0时，血液中的药物质量浓度减小，因为|-0.016|>0.004 67>0.002， 所以80 min到90 min这段时间内血液中的药物质量浓度变化最快. 逐点清（三）　平均变化率的 实际应用 03 [典例]　向一个圆台形的容器倒水，任意相等时间间隔内 所倒的水体积相等，记容器内水面的高度h随时间t变化的 函数为h=f（t），定义域为D，设t0∈D，k1，k2分别表示 f（t）在区间[t0-Δt，t0]，[t0，t0+Δt]（Δt>0）上的平均变 化率，则 （　　） A.k1>k2 B.k1<k2 C.k1=k2 D.无法确定 √ 解析：由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，所以f（t）在区间[t0-Δt，t0]，[t0，t0+Δt]（Δt>0）上的平均变化率越来越小，即k1>k2. 　　|思|维|建|模| 　　平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢. 1.物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化 情况如图所示，下列说法正确的是 （　　） A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 √ 针对训练 解析：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故A、B错误； 在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为， 因为s2-s0>s1-s0，t1-t0>0，所以>，则在t0到t1范围内， 甲的平均速度大于乙的平均速度，故C正确，D错误. 2.如图，函数y=f（x）在[x1，x2]，[x2，x3]， [x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一 个区间是__________.  [x3，x4] 解析：由平均变化率的定义可知，函数y=f（x）在区间[x1，x2]， [x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为 ，结合图象可以发现函数y=f（x）的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.函数y=f（x），自变量x由x0改变到x0+kΔx（k为常数）时，函数的改变量Δy为 （　　） A.f（x0+kΔx） B.f（x0）+kΔx C.f（x0）·kΔx D.f（x0+kΔx）-f（x0） √ 解析：由变化率的关系，Δy=f（x0+kΔx）-f（x0）.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.[多选]下列函数在区间[1，1.3]上的平均变化率是正数的有 （　　） A.y=x B.y=x2 C.y=x3 D.y= √ √ √ 解析：对于A，=1>0，故A正确；对于B，=2.3>0，故B正确； 对于C，=3.99>0，故C正确；对于D，≈-0.77<0，故D错误.故选ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.设函数f（t）=2t2+t，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（　　） A.5.25 B.10.5 C.5.5 D.11 √ 解析：∵f（t）=2t2+t，∴ ==10.5.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.一根金属棒的质量y（单位：kg）关于长度x（单位：m）的函数关系式为f（x）=3，则从4 m到9 m这一段金属棒的平均密度是（　　） A. kg/m B. kg/m C. kg/m D. kg/m √ 解析：从4 m到9 m这一段金属棒的平均密度是==（kg/m）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.[多选]已知函数f（x）的图象如图，则函数f（x） 在区间[1，7]上的平均变化率情况是 （　　） A.在区间[1，2]上的平均变化率最小 B.在区间[2，3]上的平均变化率大于0 C.在区间[3，4]上的平均变化率比[2，3]上的大 D.在区间[4，7]上的平均变化率最大 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：函数f（x）在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间[4，7]上，<0，即函数f（x）在区间[4，7]上的平均变化率小于0；在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]上时，>0且Δx相同，由图象可知函数在区间[3，4]上的最大. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.设函数f（x）=2x+1在区间[-3，-1]上的平均变化率为a，在区间[0，5]上的平均变化率为b，则下列结论正确的是 （　　） A.a>b B.a<b C.a=b D.不确定 √ 解析：因为f（x）=2x+1，所以f（-3）=-5，f（-1）=-1，f（0）=1， f（5）=11，所以函数f（x）=2x+1在区间[-3，-1]上的平均变化率a===2，在区间[0，5]上的平均变化率b===2，所以a=b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.已知二次函数f（x）=x2和指数函数g（x）=ax（a>0，a≠1）在区间[2，4]上的平均变化率相同，则a= （　　） A. B.2 C.2或 D.不能确定 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：二次函数f（x）=x2在区间[2，4]上的平均变化率为 ==6，指数函数g（x）=ax（a>0，a≠1）在区间[2，4]上的平均变化率==，因为两个函数在区间[2，4]上的平均变化率相同，所以=6，又a>0，且a≠1，解得a=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内 注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气 中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的 关系如图所示.则下列时间段内，空气中微生物密 度变化的平均速度最快的是 （　　） A.[5，10] B.[5，15] C.[5，20] D.[5，35] √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：如图令t=5，t=10，t=15，t=20，t=35所对应的点分别为A，B，C，D，E，由图可知0>kAB>kAC>kAE>kAD，所以[5，20]内空气中微生物密度变化的平均速度最快. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.（5分）某地某天上午9：20的气温为23.4 ℃，下午1：30的气温为 15.9 ℃，则在这段时间内气温的平均变化率为________℃/min.  -0.03 解析：从上午9：20到下午1：30，共250 min，这段时间内气温的变化量为15.9-23.4=-7.5 ℃（即气温下降7.5 ℃），所以在这段时间内气温的平均变化率为=-0.03（℃/min）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.（5分）已知曲线y=x2-1上两点A（3，2），B（3+Δx，2+Δy），当Δx=1时，割线AB的斜率是________.  7 解析：∵y=f（x）=x2-1，Δx=1，∴kAB====7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.（5分）给半径为R的热气球加热，使其体积增大，若半径从R=1到R=m时的体积膨胀率为，则m=________.  解析：因为V=R3，所以=（m2+m+1）=. 所以m2+m-=0，解得m=（负值舍去）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.（10分）已知某物体运动的位移x m是时间t s的函数，而且t=0.3时，x=0.38；t=0.6时，x=5.06. （1）求这个物体在时间段[0.3，0.6]内的平均速度；（3分） 解：所求的平均速度为=15.6（m/s）. （2）估计出t=0.5时物体的位移.（7分） 解：将x在[0.3，0.6]上的图象看成直线，又直线过点（0.3，0.38），斜率为15.6，则x与t的关系可近似表示为x-0.38=15.6（t-0.3）， 令t=0.5，得x=3.5，故可估计t=0.5时物体的位移为3.5 m. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.（10分）已知正弦函数y=sin x，求该函数在和内的平均变化率，比较平均变化率的大小，并说明含义. 解：当自变量从0变到时，函数的平均变化率为k1===. 当自变量从变到时，函数的平均变化率为k2===.易知3>6（2-），∴k1>k2，即函数y=sin x在内的平均变化率大于在内的平均变化率，说明函数y=sin x的图象在内比较陡峭，在内比较平缓. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $