6.1.2导数及其几何意义第2课时课件-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

第2课时　导数的几何意义 通过函数图象直观理解导数的几何意义． 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 新知初探·自主学习 知识点　导数的几何意义 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)的几何意义？ 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率 基 础 自 测 1.已知曲线y＝x2上一点A(2，4)，则在点A处的切线斜率为(　　) A．4 B．16 C．8 D．2 解析：k＝＝4. 答案：A 2．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A.f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 解析：由导数的几何意义，知f′(xA)，f′(xB)分别是曲线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB)． 答案：B 3．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则f′(2)＝(　　) A．1 B．－1 C．－3 D．3 解析：由题意知切线的斜率为3，即f′(2)＝3. 答案：D 4．已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2   解析：设切点坐标为(x0，y0)，∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝－x0＝＋Δx，∴＝x0＋Δx＋1，∴f′(x0)＝＝x0＋1.则f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2. 答案：D 课堂探究·素养提升 　 求曲线在某点处切线的方程 例1　已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； 【解析】将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，1)． y′＝＝ ＝＝3. ∴k＝3. ∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0. (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ 【解析】由 解得或 从而求得公共点为P(1，1)或M(－2，－8)， 即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)． 状元随笔　 (1)先求切点坐标，再求y′，最后利用导数的几何意义写出切线方程． (2)将切线方程与曲线C的方程联立求解．   方法归纳 1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 (1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)； (2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． 特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为，此时所求的切线平行于y轴，所以曲线的切线方程为x＝x0. 2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．   跟踪训练1　已知曲线y＝x3＋，求曲线在点P(2，4)处的切线方程．   解析：∵P(2，4)在曲线y＝x3＋上， ∴曲线在点P(2，4)处切线的斜率为 k＝ ＝(Δx)2]＝4. ∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. 　 求切点坐标 例2　已知抛物线y＝2x2＋1.求： (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? 【解析】　设切点的坐标为(x0，y0)，则 Δy＝－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2. ∴＝4x0＋2Δx. ∴f′(x0)＝＝4x0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1， 即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，该点为()． (2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， ∴斜率为4， 即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1，3)． 状元随笔　 跟踪训练2　已知函数f(x)＝x2.在曲线y＝f(x)上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点． (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)与x轴成135°的倾斜角．   解析：设P(x0，y0)是满足条件的点， f′(x0)＝ ＝＝2x0. (1)∵切线与直线y＝4x－5平行， ∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4， 即P(2，4)是满足条件的点． (2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直， ∴2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝， 即P(－)是满足条件的点． (3)∵切线与x轴成135°的倾斜角， ∴其斜率为－1. 即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝， 即P(－)是满足条件的点． 方法归纳 根据切线斜率求切点坐标的步骤 1．设切点坐标(x0，y0)； 2．求导函数f′(x)； 3．求切线的斜率f′(x0)； 4．由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； 5．点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标． 　 曲线过某点的切线方程 例3　求抛物线