5.3.1 第2课时 等比数列的性质-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教B版）

等比数列的性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.理解等比中项的概念，能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.等比中项 如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的__________. 等比中项 |微|点|助|解| （1）在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项. （2）当a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.所以“a，G，b成等比数列”与“G=”是不等价的. 2.等比数列的性质 一般地，如果{an}是等比数列，而且正整数s，t，p，q满足s+t=p+q，则__________.特别地，如果2s=p+q，则=__________. asat=apaq apaq 3.等比数列的常用结论 （1）若{an}是公比为q的等比数列，则： ①{can}（c为任一常数）是公比为q的等比数列； ②{|an|}是公比为|q|的等比数列； ③{}（m为常数，n∈N+）是公比为qm的等比数列. （2）若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列. 1.若{an}，{bn}都是等比数列，则下列数列仍是等比数列的是 （　　） A.{an+bn} B.{an-bn} C.{anbn} D.{an+5} √ 基础落实训练 解析：两个等比数列的积构成的数列仍是等比数列.故选C. 2.在等比数列{an}中，若a1，a10是方程3x2-2x-6=0的两根，则a4·a7= （　　） A.-6 B.-2 C.2 D. √ 解析：a4a7=a1a10==-2. √ 3.在等比数列{an}中，an>0，且a1a10=27，则log3a2+log3a9等于 （　　） A.9　　　　　　　 B.6 C.3 D.2 解析：因为a2a9=a1a10=27，所以log3a2+log3a9=log327=3. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型（一）　等比中项及应用 [例1]　等比数列{an}中，a4=48，a8=3，则a4与a8的等比中项为 （　　） A.12 B.-12 C.±12 D.30 √ 解析：记a4与a8的等比中项为G，则G2=a4a8=48×3=144， 所以G=±12.故选C. [例2]　已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），a5是a4与a8的等比中项，则=（　　） A.- B.- C. D. √ 解析：因为a5是a4与a8的等比中项，所以=a4a8.又因为数列{an}为等差数列，公差为d（d≠0），所以（a1+4d）2=（a1+3d）（a1+7d），化简得2a1d=-5d2，即2a1=-5d，所以=-. 　　|思|维|建|模| 　　在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项. 针对训练 1.在等差数列{an}中，公差d≠0，且a3是a1和a9的等比中项，则=__________.  解析：由题意知，a3是a1和a9的等比中项，∴=a1a9. ∴（a1+2d）2=a1（a1+8d），解得a1=d，∴==. 2.已知b是a，c的等比中项，求证：ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项. 证明：因为b是a，c的等比中项，所以b2=ac，且a，b，c均不为零， 又（a2+b2）（b2+c2）=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2， （ab+bc）2=a2b2+2ab2c+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2，所以（ab+bc）2=（a2+b2）·（b2+c2），由a，b，c均不为零，可得a2+b2≠0， b2+c2≠0，故ab+bc≠0，即ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项. 题型（二）　等比数列的性质 [例3]　已知{an}为等比数列， （1）若a2a4=，求a1a5； 解：等比数列{an}中，∵a2a4=，∴=a1a5=a2a4=，∴a1a5=. （2）若an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，求a3+a5； 解：由等比中项，化简条件得+2a3a5+=25，即（a3+a5）2=25，∵an>0，∴a3+a5=5. （3）若an>0，a5a6=9，求log3a1+log3a2+…+log3a10的值. 解：由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9， ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1a2·…·a10）= log3[（a1a10）（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）]=log395=10. 　　[变式拓展] 1.本例（3）改为“a5+a6=3，a15+a16=6”，求a25+a26的值. 解：∵数列{an}为等比数列， ∴a5+a6，a15+a16，a25+a26也成等比数列， ∴a25+a26===12. 2.本例（1）条件变为“若a5a6a7=-27”，求a2a6+a2a10+a6a10的最大值. 解：法一　因为数列{an}是等比数列，所以a5a6a7==-27，所以a6=-3，所以a2=<0，所以a2a6+a2a10+a6a10=a2a6++=-3a2+9-≥ 2+9=27，当且仅当-3a2=-，即a2=-3时取等号. 法二　因为数列{an}是等比数列，所以a5a6a7==-27，所以a6=-3， 所以a2a6+a2a10+a6a10=++≥2a4a8+9=2+9=2×9+9=27， 当且仅当a4=a8=-3时取等号. 　　|思|维|建|模| 等比数列的运算常用的两种思路 （1）根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1，q，然后求其他； （2）利用性质巧解，其中m+n=k+l=2s（m，n，k，l，s∈N+）⇔am·an=ak·al=. 针对训练 √ 3.在等比数列{an}中，若a5a7a9a11=36，则a2a14= （　　） A.6 B.9 C.±6 D.±9 解析：因为a5a7a9a11= =36，所以=6（负值舍去）， 所以a2a14==6.故选A. 4.已知等比数列{an}满足a2+a4+a6+a8=20，a2a8=2，则+++的值为（　　） A.20 B.10 C.5 D. √ 解析：在等比数列{an}中，由等比数列的性质可得a4a6=a2a8=2. 所以+++=+===10.故选B. 题型（三）　等比数列项的设法与求解 [例4]　有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间的两个数的和为18，求这四个数. 解：法一　设前三个数分别为，a，aq（q≠0）， 则第四个数为2aq-a.由题意得 解得q=2或q=.当q=2时，a=6，这四个数为3，6，12，18； 当q=时，a=，这四个数为. 法二　设后三个数分别为a-d，a，a+d，则第一个数为， 所以这四个数为，a-d，a，a+d. 由题意得解得或 故这四个数为3，6，12，18或. 　　|思|维|建|模| 等比数列中的设项方法与技巧 （1）若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq. （2）若四个数成等比数列，可设为a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正（负）数，可设为，aq，aq3；若四个数成公比为负数的等比数列，可设为，-，aq，-aq3. 针对训练 5.已知四个数前三个成等差数列，后三个成等比数列，中间两数之积为16，首尾两数之积为-128，求这四个数. 解：设四个数为-a，，a，aq，则由题意得 解得或 因此所求的四个数为-4，2，8，32或4，-2，-8，-32. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.等比数列{an}中，若a2a6+=π，则a3a5等于（　　） A. B. C. D. √ 解析：∵a2a6==a3a5，∴a3a5=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.在等比数列a，2a+2，3a+3中，a等于 （　　） A.4 B.-4 C.-1 D.2 √ 解析：由题意可得（2a+2）2=a（3a+3），解得a=-4或a=-1.当a=-1时，2a+2=0，3a+3=0，不满足条件；当a=-4时，等比数列为-4，-6，-9，满足条件，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a7=3，a2a8=27，则a4a5= （　　） A.7 B.8 C.9 D.10 √ 解析：由等比数列{an}，得a1a7=，a2a8=，有=a1a7a2a8=3×27=81，又因为各项均为正数，所以a4a5=9.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.等比数列{an}中，若a12=4，a18=8，则a36为 （　　） A.32 B.64 C.128 D.256 √ 解析：设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质可知，a12，a18，a24，a30，a36成等比数列，且=2=q6，故a36=a18q18=8×23=64. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.[多选]设公比为q的等比数列{an}，若a1a5a9=64，则 （　　） A.a5=4 B.当a1=1时，q=± C.a1和a9的等比中项为4 D.+≥32 √ √ √ 解析：由题意，a1a5a9==64，即a5=4，故A正确；当a1=1时，a5=a1q4=4，所以q=±，故B正确；因为a1a9==16，所以a1和a9的等比中项为4或-4，故C错误；由+≥2a1a9=32，当且仅当a1=a9=4时，等号成立，故D正确.故选ABD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.若数列{an}是公比为4的等比数列，且a1=2，则数列{log2an}是 （　　） A.公差为2的等差数列 B.公差为lg 2的等差数列 C.公比为2的等比数列 D.公比为lg 2的等比数列 √ 解析：因为数列{an}是公比为4的等比数列，且a1=2， 所以an=2×4n-1=22n-1，log2an=log222n-1=2n-1， 所以数列{log2an}是公差为2的等差数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.[多选]已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，{an}的前n项和为Sn，若a1+a6+a11=3π，b1b5b9=8，则下列结论正确的是 （　　） A.S11=11π B.sin= C.a3+a7+a8=3π D.b3+b7≥4 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1+a6+a11=3π，b1b5b9=8，所以a1+a6+a11=3a6=3π，即a6=π，b1b5b9==8，即b5=2. 对于A，S11==11a6=11π，故A正确；对于B，a2+a10=2a6=2π，b4b6==4，所以sin=sin=1，故B错误；对于C，设等差数列{an}的公差为d，则a3+a7+a8=a6-3d+a6+d+a6+2d=3a6=3π，故C正确； 对于D，由b5=2，得b3>0，b7>0，故b3+b7≥2=2=4，当且仅当b3=b7=2时等号成立，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.（5分）在等比数列{an}中，存在正整数m，若am=3，=24，则=__________.  1 536 解析：由题意知q5==8，am+15=amq15=3×83=1 536. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.（5分）在等比数列{an}中，若a2a3a6a9a10=32，则的值为________.  2 解析：因为==a6，又a2a3a6a9a10=（a2a10）a6（a3a9）==32，所以a6=2，故=a6=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.（5分）在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有 粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为_______.  解析：设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得石，28石，28q石，∴+28+28q=98，解得q=2或q=.又0<q<1，∴q=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）若数列{an}满足-=0，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1+b2+b3=1，则b6+b7+b8=______.  32 解析：由题意可知，若数列{an}为“梦想数列”，则-=0，可得=，所以“梦想数列”{an}是公比为的等比数列，若正项数列为“梦想数列”，则=，所以=2，即正项数列{bn}是公比为2的等比数列，因为b1+b2+b3=1，因此，b6+b7+b8=25（b1+b2+b3）=32. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）已知在等差数列{an}中，a2+a4=16，a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为__________.   a1 a2　a3　a4 a5　a6　a7　a8　a9 a10　a11　a12　a13　a14　a15　a16 a17　a18　a19　a20　a21　a22　a23　a24　a25 275或8 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设数列{an}的公差为d，由a2+a4=16，得a1+2d=8，① 由a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，得（a2+1）2=（a1+1）（a4+1）， 整理得d2-a1d-d=0，② 由①②解得d=3或d=0.当d=3时，a1=2，an=3n-1.由图可知每行之间个数成等差数列，设为bn，且bn=2n-1，则前9行共有S9=9×1+×2=81，则第10行第11个数为81+11=92， 即a92=3×92-1=275.当d=0时，an=8，a92=8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（10分）在正项等比数列{an}中，a1a5-2a3a5+a3a7=36，a2a4+2a2a6+a4a6=100，求数列{an}的通项公式. 解：∵a1a5=，a3a7=，∴由题意，得-2a3a5+=36， 同理得+2a3a5+=100，∴ ∵an>0，∴解得或 分别解得或∴an=a1qn-1=2n-2或an=a1qn-1=26-n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（10分）在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数. 解：法一　依题意，a1=4，a5=，由等比数列的通项公式，得=4q4，解得q=±.当q=时，插入的3个数分别为4×=2，2×=1，1×=； 当q=-时，插入的3个数分别为4×=-2，（-2）×=1，1×=-.因此，插入的3个数分别为2，1，或-2，1，-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二　因为等比数列共有5项，即a1，a2，a3，a4，a5.又因为2×3=1+5， 所以=a1a5=4×=1，即a3=±1.又因为a3要与a1同号，因此a3=1. 类似地，有=a1a3，=a3a5，而且a2与a4同号.因此，当a2= ==2时，a4===；当a2=-=-=-2时，a4=-=-=-.因此，插入的3个数分别为2，1，或-2，1，-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（15分）已知数列{an}和{bn}满足a1=λ，an+1=an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中λ为实数，n为正整数. （1）求证：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列；（6分） 解：证明：∵an+1=an+n-4且a1=λ，∴a2=λ-3，a3=λ-4. 假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则=a1a3， 即=λ，即λ2-4λ+9=λ2-4λ，该方程无解， ∴对任意实数λ，数列{an}不是等比数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）试判断{bn}是否为等比数列.（9分） 解：∵bn=（-1）n（an-3n+21），∴bn+1=（-1）n+1[an+1-3（n+1）+21]=（-1）n+1=-（-1）n（an-3n+21）=-bn. ∵b1=-（λ+18），∴当λ=-18时，b1=0，此时数列{bn}不是等比数列；当λ≠-18时，b1≠0，此时=-（n∈N+），数列{bn}是等比数列. 综上，当λ=-18时，{bn}不是等比数列；当λ≠-18时，{bn}是等比数列. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $