5.2.1 第2课时 等差数列的性质-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教B版）

等差数列的性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 了解数列的等差中项，能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质；并能运用等差数列的性质简化计算，能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.等差数列的增减性 对于an=dn+（a1-d）， （1）当d>0时，数列{an}为_____数列. （2）当d<0时，数列{an}为_____数列. （3）当d=0时，数列{an}为_____数列. 递增 递减 常 2.等差中项 （1）如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的__________. （2）在一个等差数列中，中间的每一项（既不是首项也不是末项的项）都是它的前一项与后一项的__________. 等差中项 等差中项 3.等差数列的性质 一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s+t=p+q，则as+at=__________. （1）特别地，如果2s=p+q，则2as=__________. （2）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=…. ap+aq ap+aq （3）若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c+an}（c为任一常数）是公差为_________的等差数列； ②{can}（c为任一常数）是公差为_________的等差数列； ③{an+an+k}（k为常数，k∈N+）是公差为_________的等差数列. （4）若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan+qbn}（p，q是常数）是公差为_________的等差数列. d cd 2d pd1+qd2 1.如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a4等于 （　　） A.2 B.3 C.4 D.5 √ 基础落实训练 解析： a3+a4+a5=3a4=12，a4=4. 2.等差数列{an}中，a3=7，a7=-5，则公差d= （　　） A.3 B.-3 C.2 D.-2 √ 解析：由题意得4d=a7-a3=-5-7=-12，所以d=-3. 3.已知等差数列{an}：1，0，-1，-2，…；等差数列{bn}：0，20，40，60，…，则数列{an+bn}是 （　　） A.公差为-1的等差数列 B.公差为20的等差数列 C.公差为-20的等差数列 D.公差为19的等差数列 解析：（a2+b2）-（a1+b1）=（a2-a1）+（b2-b1）=-1+20=19，即数列{an+bn}是公差为19的等差数列. √ 4.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an+2an+2}是公差为_______的等差数列.  解析：（an+1+2an+3）-（an+2an+2）=（an+1-an）+2（an+3-an+2）=d+2d=3d. 3d 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型（一）　 等差中项及应用 [例1]　已知2a=3b=m，ab≠0，且a，ab，b成等差数列，则m等于 （　　） A. B. C. D.6 √ 解析：∵2a=3b=m，∴a=log2m，b=log3m， ∵a，ab，b成等差数列，∴2ab=a+b. ∵ab≠0，∴+=2，∴=logm2，=logm3， ∴logm2+logm3=logm6=2（m>0），解得m=. [例2]　在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 解：∵-1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是-1与7的等差中项，∴b==3. 又a是-1与3的等差中项，∴a==1. 又c是3与7的等差中项，∴c==5. ∴此数列为-1，1，3，5，7. 　　|思|维|建|模|　等差中项的计算 条件 若A是a与b的等差中项 计算公式 A= 针对训练 1.已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则2m-n和2n-m的等差中项是 （　　） A.8 B.6 C.4.5 D.3 √ 解析：∵m+2n=8，2m+n=10，∴3m+3n=18，∴m+n=6，∴2m-n和2n-m的等差中项是==3. 2.已知成等差数列，求证：也成等差数列. 证明：∵成等差数列，∴=+，即2ac=b（a+c）. ∵+==== =，∴成等差数列. 题型（二）　等差数列的性质及应用 [例3]　（1）已知{an}是等差数列，且a1-a3+a9-a15+a17=117，求a3+a15的值； 解：∵{an}是等差数列，∴a1+a17=a3+a15=2a9，∴a9=117，∴a3+a15=2a9=234. （2）在等差数列{an}中，a2，a8是方程x2+mx-8=0的两根，若a4+a6= +1，求m的值. 解：因为a2，a8是方程x2+mx-8=0的两根，所以a2+a8=-m，a2a8=-8，Δ=m2+32>0.在等差数列{an}中，a2+a8=a4+a6=2a5，又a4+a6=+1， 所以2a5=+1，所以a5=1，所以-m=a2+a8=2a5=2，所以m=-2. 　　[变式拓展] 若本例（2）变为“a3与a9是方程2x2-x+m=0的两根”，求. 解：因为a3与a9是方程2x2-x+m=0的两根，由根与系数的关系得a3+a9=. 因为数列{an}为等差数列，所以a1+a11=a2+a10=a3+a9=2a6=，a6=， 所以== ===. 　　|思|维|建|模| 等差数列运算常用的两种思路 （1）根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1，d，然后求其他； （2）利用性质巧解，其中m+n=k+l=2s（m，n，k，l，s∈N+）⇔am +an=ak+al=2as. 针对训练 3.已知等差数列{an}的前5项和S5=120，且a1+a2+a3=4（a4+a5），则公差d= （　　） A.-6 B.-7 C.-8 D.-9 √ 解析：由a1+a2+a3=4（a4+a5）可得S5=a1+a2+a3+a4+a5=5（a4+a5）=120⇒a4+a5=24，a1+a2+a3=3a2=96⇒a2=32， 故a2+a7=a4+a5⇒a7=-8，所以a7=a2+5d=-8，解得d=-8. 4.已知数列{an}满足3+an=且a2+a4+a6=9，则log6（a5+a7+a9）的值是（　　） A.-2 B.- C.2 D. 解析：由3+an=，得-an=3.所以{an}是公差为3的等差数列. 又a2+a4+a6=9，且a2+a6=2a4，所以3a4=9，则a4=3， 所以a7=a4+3d=3+3×3=12，故log6（a5+a7+a9）=log6（3a7）=log636=2. √ 题型（三）　等差数列的实际应用 [例4]　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的 4 km（不含4 km）计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费? 解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加 1 km，乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1=11.2，表示4 km处的车费，公差d=1.2，那么当出租车行至 14 km处时，n=11，此时需要支付车费a11=11.2+（11-1）×1.2= 23.2（元）.即需要支付车费23.2元. 　　[变式拓展] 　在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km（不足1 km，按1 km计费）处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需支付多少车费? 解：由题意知，当出租车行至18.5 km处时，n=16，此时需支付车费a16=11.2+（16-1）×1.2=29.2（元）.即需要支付车费29.2元. 　　|思|维|建|模| （1）解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列. （2）合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题. 针对训练 5.世界上最古老的数学著作《莱因德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的一份为（　　） A.磅 B.磅 C.磅 D.磅 √ 解析：设五个人从小到大所得面包为a1，a2，a3，a4，a5，设其公差为d.则由题意可得（a4+a5）=a1+a2+a3，即（2a1+7d）=3a1+3d，整理可得d=4a1.又a1+a2+a3+a4+a5=60，即5a1+10d=60，即有a1+8a1=12，即a1=，即最小的一份为磅.故选D. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.在递增的等差数列{an}中，a3+a6=-6，a4a5=8，公差d等于 （　　） A.4 B.2 C.-2 D.2或-2 √ 解析：因为在递增的等差数列{an}中，a3+a6=a4+a5=-6，a4a5=8， 所以a4=-4，a5=-2，则公差d=a5-a4=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.在等差数列{an}中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则a7-a8的值为（　　） A.4 B.6 C.8 D.10 √ 解析：∵a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80，∴a6=16， ∴a7-a8=（2a7-a8）=（a6+a8-a8）=a6=8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，那么数列{an+bn}的第37项为 （　　） A.0 B.37 C.100 D.-37 √ 解析：设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2， 则（+）-（an+bn）=（-an）+（-bn）=d1+d2， 所以数列{an+bn}仍然是等差数列.又d1+d2=（a2+b2）-（a1+b1）= 100-（25+75）=0，所以a37+b37=a1+b1=100. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 （　　） A.1升 B.升 C.升 D.升 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an}，其首项为a1，公差为d，由条件得即 解得所以a5=a1+4d=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.[多选]已知各项均为正数的等差数列{an}单调递增，且a5=2，则下列结论正确的是 （　　） A.公差d的取值范围是 B.2a7=a9+2 C.a8+a4>a6+a5 D.a1+a9=4 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意得d>0，a1>0，a5=2，所以a1=2-4d>0，解得d<， 所以d∈，故A错误；由2a7-a9=（a5+a9）-a9=a5=2，故B正确；由a8+a4-（a6+a5）=a8-a6-（a5-a4）=2d-d=d>0，故a8+a4>a6+a5，故C正确；由等差数列性质，得a1+a9=2a5=4，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为 （　　） A.4尺 B.8.5尺 C.12.5尺 D.15.5尺 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：记十二节气日影长构成的等差数列为{an}，设其公差为d， 因为冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺，芒种的日影长为4.5尺， 所以即即 则8d=a12-a4=-8，所以d=-1，因此a1=a12-11d=4.5+11=15.5尺. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知公差不为0的等差数列{an}满足am+ap=2a4（n，m，p∈N+），则+的最小值为（　　） A. B.1 C. D.2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题可知，m+p=8，则m+1+p=9，所以+=1， 所以·=++≥+ 2=1，当且仅当=， 即m=2，p=6时等号成立，所以+的最小值为1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.若方程（x2-2x+m）（x2-2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m-n|=（　　） A.1 B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设方程（x2-2x+m）（x2-2x+n）=0的四个根为x1，x2，x3，x4，则x1+x2=x3+x4=2，x1·x2=m，x3·x4=n，又因为方程（x2-2x+m） （x2-2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，设x1=， 所以x2=，设等差数列的公差为d，则3d=x2-x1=-=，解得d=， 则等差数列为，所以m=，n=，则|m-n|==，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.（5分）已知等差数列{an}满足a5+a2n-5=n（n∈N，n≥3），则a1+a3+a5+a7+…+a2n-3+a2n-1=______.  解析：因为数列{an}是等差数列，故a5+a2n-5=n=2an，解得an=； 令Tn=a1+a3+a5+a7+…+a2n-3+a2n-1，则Tn=a2n-1+a2n-3+a2n-5+…+a3+a1， 故2Tn=（a1+a2n-1）+（a3+a2n-3）+…+（a2n-1+a1）=n×2an=n2， 解得Tn=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.（5分）一个正实数的小数部分的2倍、整数部分和自身成等差数列，则这个正实数是_________.  或 解析：设这个正实数的小数部分是x（0≤x<1），整数部分是y（y∈N+），自身是x+y，则2y=2x+x+y，所以y=3x， 由于0≤x<1，y∈N+，当y=1时，x=，x+y=； 当y=2时，x=，x+y=；当y≥3时，x=≥1，不符合题意. 综上所述，这个正实数是或. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.（5分）在下表所示的5×5正方形的25个空格中填入正整数，使得每一行，每一列都成等差数列，问标有*号的空格应填的数是_______.  142       *     74       2y       186 y   103     0 x 2x     1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：记aij为第i行第j列的格中所填的数，则a52=x，a41=y. 由第3行得a33=，由第3列得a33=2×103-2x，所以2x+y=113.　① 由第1列得a21=3y，则由第2行得a23=2×74-3y，由第3列得a33+103=a23+2x，则a23=3×103-4x，所以2×74-3y=3×103-4x，即4x-3y=161，　② 由①②，得x=50，y=13，所以a15=2×186-a55=2×186-4x=172， a13=2a33-a53=112，a14==142. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.（10分）若数列是等差数列，则称数列{an}为调和数列.若实数a，b，c依次成调和数列，则称b是a和c的调和中项. （1）求和1的调和中项；（5分） 解：设和1的调和中项为b，依题意得3，，1成等差数列， 所以==2，解得b=，故和1的调和中项为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）已知调和数列{an}，a1=6，a4=2，求{an}的通项公式.（5分） 解：依题意，是等差数列，设其公差为d， 则3d=-⇒d=，所以=+（n-1）d=+（n-1）=， 故an=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.（10分）已知{an}为等差数列，且a1+a3+a5=18，a2+a4+a6=24. （1）求a20的值；（4分） 解：因为a1+a3+a5=18，a2+a4+a6=24，所以a3=6，a4=8，则公差d=2， 所以a20=a3+17d=40. （2）若bn=an-，试判断数列{bn}从哪一项开始大于0.（6分） 解：由（1）得an=a3+（n-3）d=6+（n-3）×2=2n， 所以bn=×2n-=3n-.由bn>0，即3n->0，得n>， 所以数列{bn}从第7项开始大于0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.（15分）有一批小家电原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类小家电，则去哪一家商场购买花费较少? 解：设某单位需购买小家电n台.在甲商场购买时，所买小家电的售价构成等差数列{an}，an=780+（n-1）×（-20）=-20n+800， 由an=-20n+800≥440，得n≤18， 即购买台数不超过18台时，每台售价（800-20n）元； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 购买台数超过18台时，每台售价440元.到乙商场购买时， 每台售价为800×75%=600（元）. 比较在甲、乙两家家电商场的费用（800-20n）n-600n=20n（10-n）. 当n<10时，（800-20n）n>600n，到乙商场购买花费较少； 当n=10时，（800-20n）n=600n，到甲、乙商场购买花费相同； 当10<n≤18时，（800-20n）n<600n，到甲商场购买花费较少； 当n>18时，440n<600n，到甲商场购买花费较少.因此，当购买小家电台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买小家电10台时，到两家商场购买花费相同；当购买小家电台数多于10台时，到甲商场购买花费较少. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $