5.3.1 第1课时 等比数列的定义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教B版）

等比数列 5.3 等比数列 5.3.1 等比数列的定义 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念，掌握等比数列通项公式的意义. 2.掌握等比数列的通项公式及其推导过程，能利用公式进行简单运算. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清（一）　等比数列的定义 逐点清（二）　等比数列的通项公式 逐点清（三）等比数列的判定与证明 4 课时跟踪检测 逐点清（一） 等比数列的定义 01 　　一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都 等于____________，即____________ 恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的____________. 多维理解 同一个常数q =q 公比 |微|点|助|解| （1）定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. （2）等比数列的公比q可正可负，但不能为0，等比数列中任一项不为0. （3）常数列（除0，0，0，…外）都是公比为1的等比数列. 1.以下条件中，能判定数列是等比数列的有 （　　） ①数列1，2，6，18，…； ②数列{an}中，已知=2，=2；③常数列a，a，…，a，…；④数列{an}中，=q（q≠0），其中n∈N+. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ 微点练明 解析：①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；③中，当a=0时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列.故选A. 2.下列通项公式中代表等比数列的是 （　　） A.an=c　 B.an=n+1 C.an=n2　 D.an=2n √ 解析：利用逐个检验，A中，c如果为0，显然不是等比数列； B、C不符合常数；D中，==2为常数，符合. 3.判断下列数列是否为等比数列，并写出公比. （1）1，3，32，33，…，3n-1，…； 解：记数列为{an}，显然a1=1，a2=3，…，an=3n-1，….∵== 3（n≥2，n∈N+），∴数列为等比数列，且公比为3. （2）-1，1，2，4，8，…； 解：记数列为{an}，显然a1=-1，a2=1，a3=2，…，∵=-1≠=2， ∴此数列不是等比数列. （3）a1，a2，a3，…，an，…. 解：当a=0时，数列为0，0，0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a1，a2，a3，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a. 逐点清（二）等比数列的通项 公式 02 1.等比数列的通项公式 （1）一般地，如果等比数列{an}的首项是a1，公比是q，那么等比数列的通项公式为an=________. （2）等比数列通项公式的推广和变形：an=________. 多维理解 a1qn-1 amqn-m 2.an=a1可变形为an=Aqn，其中A=；点（n，an）是曲线y=·qx上一群孤立的点. （1）当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，数列{an}是递增数列. （2）当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，数列{an}是递减数列. （3）当q=1时，{an}是常数列；当q<0时，数列{an}是摆动数列. |微|点|助|解| （1）在已知首项a1，公比q的条件下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项. （2）可以利用通项公式判断数列是否为等比数列. （3）an=a1·qn-1=a2·qn-2=a3·qn-3=…. （4）等比数列的通项公式an=a1qn-1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量. （5）等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an=·qn，而y=·qx（q≠1）是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y=·qx的图象上的孤立点. 1.在等比数列{an}中，a1=，q=，an=，则项数n为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 √ 微点练明 解析：因为an=a1qn-1，所以×=，即=，解得n=5. 2.已知等比数列{an}满足a1=3，且4a1，2a2，a3成等差数列，则此数列的公比等于 （　　） A.1 B.2 C.-2 D.-1 √ 解析：设等比数列{an}的公比为q，因为4a1，2a2，a3成等差数列， 所以4a1q=4a1+a1q2，即q2-4q+4=0，解得q=2. 3.已知等比数列{an}为递增数列，且=a10，2（an+）=5an+1，则数列{an}的通项公式为an=__________.  2n 解析：设等比数列{an}的公比为q，由2（an+an+2）=5an+1⇒2q2 -5q+2=0⇒q=2或q=，由=a10=a1q9>0⇒a1>0，又数列{an}递增， 所以q=2.=a10⇒（a1q4）2=a1q9⇒a1=q=2， 所以数列{an}的通项公式为an=2n. 4.在等比数列{an}中，已知a2+a5=18，a3+a6=9，an=1，求n. 解：设公比为q，由题意，得 由得q=，∴a1=32. 又an=1，∴32×=1，即26-n=20，∴n=6. 逐点清（三）等比数列的判定 与证明 03 [典例]　已知数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，且对任意n∈N+，有an+1=kSn+1（k为常数）. （1）当k=2时，求a2，a3的值； 解：由题意可得，a2=2S1+1=3，a3=2S2+1=2×（1+3）+1=9. （2）试判断数列{an}是否为等比数列?请说明理由. 解：当n≥2时，an=kSn-1+1.由an+1=kSn+1，an=kSn-1+1 两式相减得an+1=（k+1）an. 当k=-1时，{an}不是等比数列；当k≠-1时，可得=k+1（n≥2），当n=1时，a1=1，a2=k+1，所以=k+1，故对任意的n∈N+都有=k+1，此时数列{an}是等比数列. 综上，当k=-1时，{an}不是等比数列；当k≠-1时，{an}是等比数列. 　　|思|维|建|模|　判断数列是等比数列的常用方法 （1）定义法：若数列{an}满足=q（n∈N+，q为常数且不为零）或=q（n≥2，且n∈N+，q为常数且不为零），则数列{an}是等比数列. （2）通项公式法：若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1（a1≠0，q≠0），则数列{an}是等比数列. （3）等比中项法：若=anan+2（n∈N+且an≠0），则数列{an}为等比数列. 　已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an.设bn=. （1）求b1，b2，b3； 针对训练 解：由条件可得an+1=an. 将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以a2=4. 将n=2代入得，a3=3a2，所以a3=12. 从而b1=1，b2=2，b3=4. （2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； 解：{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下： 由条件可得=，即bn+1=2bn， 又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. （3）求{an}的通项公式. 解：由（2）可得=2n-1，所以an=n·2n-1. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.下列三个数依次成等比数列的是 （　　） A.1，4，8 B.-1，2，4 C.9，6，4 D.4，6，8 √ 解析：≠，A错误；≠，B错误；因为==，所以9，6，4依次成等比数列，C正确；≠，D错误.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知等比数列{an}中，a1=1，a4=-8，则公比q= （　　） A.2 B.-4 C.4 D.-2 √ 解析：依题意a4=a1q3=q3=-8，q=-2.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.在等比数列{an}中，a1=2，a4=.若am=2-11，则m=（　　） A.17 B.16 C.14 D.13 √ 解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a1=2，a4=，所以2q3=， 解得q=.又am=2-11，所以2×=2-11，可得m=13. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知等比数列{an}的前3项和为168，a2-a5=42，则a6= （　　） A.14 B.12 C.6 D.3 √ 解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得即 解得所以a6=a1q5=3，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.设{an}是等比数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的 （　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析：设等比数列{an}的公比为q，则由a1<a2，可得a1（q-1）>0，解得或此时数列{an}不一定是递增数列； 若数列{an}是递增数列，必得a1<a2.所以“a1<a2”是“数列是递增数列”的必要不充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]已知{an}为等差数列，满足4a3-a8=7，a2+a7=11，{bn}为等比数列，满足b1=a1，b4=a15，则下列结论正确的是 （　　） A.{an}的首项与公差相等 B.a2，a5，a11成等比数列 C.{bn}的首项与公比相等 D.b3，b5，b6成等差数列 √ √ 解析：因为{an}是等差数列，设公差为d，则4a3-a8=3a1+d=7，a2+a7=2a1+7d=11，解得a1=2，d=1，故A错误；可得an=2+n-1=n+1，所以a2=3，a5=6，a11=12，是等比数列，故B正确；数列{bn}为等比数列，且b1=a1=2，b4=a15=16，所以q=2，则bn=2n，故C正确；b3=8，b5=32，b6=64，不是等差数列，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.在数列{an}中，a1=，∀m，n∈N+，=aman，则a6等于（　　） A. B. C. D. √ 解析：由于∀m，n∈N+，有=aman，且a1=，令m=1， 则=a1an=an，即数列{an}是首项为，公比为的等比数列， 所以an=a1=×=，故a6==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.（5分）在等比数列{an}中，若a1=1，=2a6，则公比q=_________.  2 解析：∵=2a6，a1=1，∴（q3）2=2q5，得q=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.（5分）设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2-8x+3=0的两根，则a6+a7=________.  18 解析：由题意得a4=，a5=，∴q==3. ∴a6+a7=（a4+a5）q2=×32=18. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.（5分）写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列的通项公式 an=_______________________.   ×（答案不唯一） 解析：设数列{an}的公比为q，则q=3，由已知可得a3<1， ∴9a1<1，∴a1<，故a1可取， 故满足条件的等比数列的通项公式可能为an=×. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.（5分）已知等比数列{an}满足a1-a3=-，a2-a4=-，则使得a1a2·…·an取得最小值的n为__________.  3或4 解析：设公比为q，则q==3，∴a1-a3=-8a1=-， ∴a1=，a2=，a3=，a4=1，…，即{an}是递增的等比数列， ∴n=3或n=4时，a1a2·…·an取得最小值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.（10分）（1）一个等比数列{an}的第3项与第4项分别是12与18，求这个数列的通项公式；（4分） 解：法一　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q， 由题意得解得∴an=a1qn-1=×. 法二　∵{an}为等比数列，∴q===. ∴an=a3qn-3=12×=×. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）已知等比数列{an}中，a5=3，a7=27，求q及an.（6分） 解：由a7=a5q2，得q2==9，∴q=±3，则a1=， 当q=3时，an=a1qn-1=×3n-1=3n-4； 当q=-3时，an=a1qn-1=×（-3）n-1=-（-3）n-4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.（10分）数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，=Sn（n=1，2，3，…）.求证：数列是等比数列. 证明：由a1=1，=Sn，得an>0，Sn>0. 由=Sn，=-Sn，得（n+2）Sn=n（-Sn）， 整理，得n=2（n+1）Sn，所以=2·，则=2.因为==1， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.（15分）已知无穷数列1，1，…，1，…，求证： （1）这个数列是等比数列；（4分） 证明：任取数列中的相邻两项an=1，an+1=1， 则==1，且a1=1=1≠0. 由等比数列定义可知这个数列为等比数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）这个数列中的任一项是其后第5项的；（4分） 证明：任取数列中的一项am=1， 则其后第5项应为am+5=1. 则==1=10-1=，得证. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （3）数列中任两项之积仍为数列中的项.（7分） 证明：任取数列中两项=1=1， 则=1·1=1. ∵n1≥1，n2≥1，且n1，n2∈N+，n1≠n2， ∴n1+n2-2>0，且n1+n2-2∈N+， ∴符合已知数列中的项的特点，即为数列中的项. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $