5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教B版）

等差数列前n项和的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 进一步理解等差数列前n项和，能构造等差数列求和模型，解决实际问题；能够利用等差数列的前n项和的函数性质求其前n项和的最值. CONTENTS 目录 1 2 3 题型（一）　等差数列前n项和的最值问题 题型（二）等差数列前n项和的实际应用 题型（三）　求数列{|an|}的前n项和 4 课时跟踪检测 题型（一） 等差数列前n项和 的最值问题 01 1.等差数列前n项和公式的函数特征 由Sn=na1+d=dn2+n，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且不含常数项，即Sn=An2+Bn（A≠0）；当d=0时，Sn=na1，Sn是关于n的一次函数. 2.等差数列前n项和的最值 （1）若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项（或0），所以将这些项相加即得{Sn}的最小值. （2）若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项（或0），所以将这些项相加即得{Sn}的最大值. 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值. [例1]　在等差数列{an}中，a10=18，前5项的和S5=-15. （1）求数列{an}的通项公式； 解：设等差数列{an}的公差为d，由题意得 解得∴an=3n-12. （2）求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值. 解：法一　Sn==（3n2-21n）=-， ∴当n=3或4时，前n项和取得最小值，最小值为S3=S4=-18. 法二　设Sn最小，则即 解得3≤n≤4，又n∈N+， ∴当n=3或n=4时，前n项和取得最小值，最小值为S3=S4=-18. 　　[变式拓展] 1.在本例中，根据第（2）题的结果，若Sn=0，求n. 解：法一　因为S3=S4=-18为Sn的最小值，由二次函数的图象可知， 其对称轴为x=，所以当x=0和x=7时，图象与x轴的交点为（0，0），（7，0），又n∈N+，所以S7=0，所以n=7. 法二　因为S3=S4，所以a4=S4-S3=0，故S7=×7×（a1+a7）=7a4=0，所以n=7. 2.将本例变为：等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3=S11，则当n为多少时，Sn最大? 解：法一　要求数列前多少项的和最大，从函数的观点来看，即求二次函数Sn=an2+bn的最大值，故可用求二次函数最值的方法来求当n为多少时，Sn最大.由S3=S11，可得3a1+d=11a1+d，即d=-a1. 从而Sn=n2+n=-（n-7）2+a1，又a1>0，所以-<0.故当n=7时，Sn最大. 法二　由于Sn=an2+bn是关于n的二次函数，由S3=S11，可知Sn=an2+bn的图象关于n==7对称.由法一可知a=-<0，故当n=7时，Sn最大. 　　|思|维|建|模| 等差数列前n项和的最值问题的三种解法 （1）利用an：当a1>0，d<0时，前n项和有最大值，可由an≥0且an+1≤0，求得n的值；当a1<0，d>0时，前n项和有最小值，可由an≤0且an+1≥0，求得n的值. （2）利用Sn：由Sn=n2+n（d≠0），利用二次函数配方法求取得最值时n的值. （3）利用二次函数的图象的对称性. 针对训练 1.[多选]设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1>0且S6=S9，则 （　　） A.d>0 　　　B.a8=0 C.S7或S8为Sn的最大值 　　　D.S5>S6 √ √ 解析：a1>0且S6=S9，∴6a1+d=9a1+d，化为a1+7d=0，可得a8=0，d<0.S7或S8为Sn的最大值，S5<S6.故选BC. 题型（二）　等差数列前n项和 的实际应用 02 [例2]　2024年两会报告中提出“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”，所谓新质生产力，是创新起主导作用、以科技创新作为核心要素的先进生产力质态.今年全国两会，“新质生产力”已经成为C位热词.某创新公司为落实两会精神，准备年初用980万元购买新设备用来创新，第一年使用的各种创新费用120万元，以后每年还要持续增加创新费用40万元，公司每年经过创新后的收益为500万元. （1）问创新公司第几年开始获利? 解：依题意，每年的创新费用构成以120万元为首项， 40万元为公差的等差数列， 前n年的利润f（n）=500n--980=-20n2+ 400n-980.由f（n）>0，得n2-20n+49<0，解得10-<n<10+， 则n∈N+，则2<n<18，所以创新公司第3年开始获利. （2）经过多少年创新公司获得的年平均利润最大?最大年平均利润是多少? 解：由（1）知，经过n年创新公司获得的年平均利润为 =400-20≤400-20×2=120，当且仅当n=， 即n=7时取等号，所以经过7年创新公司获得的年平均利润最大，最大年平均利润是120万元. |思|维|建|模|　应用等差数列解决实际问题的一般思路 针对训练 2.老张为锻炼身体，增强体质，计划从下个月1号开始慢跑，第一天跑步3公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若老张打算用20天跑完98公里，则预计这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为 （　　） A.8 B.9 C.13 D.14 √ 解析：由已知可得这20天日跑步量成等差数列，记为{an}， 设其公差为d，前n项和为Sn，且a1=3，则S20=20a1+d， 即20×3+d=98，解得d=， 所以an=a1+（n-1）d=3+（n-1）·=+. 由an>5，得+>5，解得n>11， 所以这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为20-11=9，故选B. 题型（三）　求数列{|an|}的前 n项和 03 [例3]　已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n，求数列{|an|}的前n项和Tn. 解：a1=S1=-×12+×1=101.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=-3n+104.∵n=1也适合上式， ∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104. 由an=-3n+104≥0得n≤34， 即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0. 法一　①当n≤34时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n. ②当n≥35时，Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=（a1+a2+…+a34）-（a35+a36+…+an）=2（a1+a2+…+a34）-（a1+a2+…+an）= 2S34-Sn=2-=n2-n+3 502. 故Tn= 法二　①当n≤34时，同法一. ②当n≥35时， Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=（a1+a2+…+a34）-（a35+a36+…+an）=-=n2-n+ 3 502.故Tn= 　　|思|维|建|模| 由等差数列{an}求数列{|an|}的前n项和的技巧 　　常先由Sn的最值判断出哪些项为正，哪些项为负或先求出an，由an≥0得n的取值范围判断出哪些项为正，哪些项为负. （1）等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{|an|}就等于数列{an}，可以直接求解. （2）若前k项为负，从k+1项开始以后的项非负，则{|an|}的前n项和Tn= （3）若前k项为正，以后各项非正，则Tn= （4）也可以分别求出an≥0与an<0的和再相减求出|an|的和. 针对训练 3.已知数列{an}的前n项和Sn=14n-n2+1，若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|，则T30= （　　） A.578 B.579 C.580 D.581 √ 解析：当n=1时，a1=S1=14，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=15-2n（n≥2）， 经检验n=1时，不成立，故得到an= 令an<0，则15-2n<0，解得n>，且n≥2，n∈N+. 当n≤7时，Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+an=+1 =（14-n）n+1；当n≥8时，Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= a1+…+ a7-（a8+a9+…+an）=S7-（Sn-S7）=2S7-Sn=100-（14n-n2+1）= n2-14n+99.故Tn=T30=579.故选B. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.等差数列{an}中，d=2，S3=-24，其前n项和Sn取最小值时n的值为 （　　） A.5 B.6 C.7 D.5或6 √ 解析：由d=2，S3=3a1+3d=-24，得a1=-10.令an=-10+（n-1）×2=0， 解得n=6，所以a6=0.从而S5=S6均为最小值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知等差数列{an}是无穷数列，若a1<a2<0，则数列{an}的前n项和Sn （　　） A.无最大值，有最小值 B.有最大值，无最小值 C.有最大值，有最小值 D.无最大值，无最小值 √ 解析：由数列{an}为等差数列，且a1<a2<0，得公差d=a2-a1>0， 故数列{an}为递增数列，且a1<0，所以Sn有最小值，无最大值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.（2025·全国Ⅱ卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=6，S5=-5，则S6= （　　） A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 √ 解析：法一　由S3=3a2=6⇒a2=2，S5=5a3=-5⇒a3=-1，∴等差数列{an}的公差d=a3-a2=-3，a1=5，∴S6=6a1+15d=6×5-15×3=-15. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 法二　Sn为等差数列{an}的前n项和， 故为等差数列，设该等差数列的公差为d1， 由-=2d1，解得d1=-， ∴=+d1=-1-，解得S6=-15. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个.这些物品的数量是多少个?若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为 （　　） A.189 B.190 C.191 D.192 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：根据题意，除以3余2，除以5余3的数，构成首项为8，公差为15的等差数列，则an=8+（n-1）×15=15n-7，所以将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为=190.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=11，a5=3，则 （　　） A.S5=35 B.an=13-2n C.|an|的最小值为0 D.Sn的最大值为36 √ √ √ 解析：设等差数列{an}的公差为d，则a5=a1+4d=11+4d=3，解得d= -2.S5=5a1+d=5×11+10×（-2）=35，A正确；an=a1+（n-1）d= 11-2（n-1）=13-2n，B正确；|an|=|13-2n|=故当n=6 或7时，|an|取最小值1，C错误；Sn=na1+=11n-n（n-1）= -n2+12n=-（n-6）2+36，故当n=6时，Sn取得最大值36，D正确.故选ABD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，n>（n+1）Sn（n∈N+），且<-1，则在Sn中（　　） A.最小值是S7 B.最小值是S8 C.最大值是S8 D.最大值是S7 √ 解析：由n>（n+1）Sn，得>，即->0.而-=， 所以d>0.因为<-1，所以<0，即a7（a7+a8）<0.由于d>0， 因此数列{an}是递增数列，所以a7<0，a7+a8>0，所以a7<0，a8>0， 所以在Sn中最小值是S7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S8=-556，an+2-an=6，则 （　　） A.an=3n-83 B.{Sn}中的最小值为S28 C.使Sn<0的n的最大值为52 D.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a54|=37 √ √ 解析：依题意，等差数列{an}的公差d==3，由S8=-556， 得8a1+28×3=-556，解得a1=-80，数列{an}的通项公式an=a1+（n-1）d=3n-83，A正确；显然等差数列{an}是递增数列，且a27<0，a28>0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则{Sn}中的最小值为S27，B错误；又Sn==， 由Sn<0，得0<n<，又n∈N+，故n的最大值为54，C错误；|a1|+|a2|+|a3|+…+|a54|=S54-2S27= -2×=81×27=37，D正确.故选AD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.（5分）等差数列{an}中，已知a5>0，a4+a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为_________.  解析：∵∴∴Sn的最大值为S5. S5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.（5分）某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增加4万元，则前10年维修费总和为_________万元.  300 解析：由题意，从第二年起维修费比上一年增加4万元，即每年的维修费构成以12为首项，4为公差的等差数列， 则S10=10×12+×10×9×4=300（万元）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.（5分）在等差数列{an}中，已知公差d>0，a3+a5=-4，a2a6=-12，则数列{|an|}的前4项和S4=_______.  20 解析：由解得 或（舍去）.故an=2n-10，当n≤4时，an<0， ∴S4=-=20. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.（10分）等差数列{an}满足a4=11，a7=2，前n项和为Sn. （1）求数列{an}的通项公式；（5分） 解：设首项为a1，公差为d，因为等差数列{an}满足a4=11，a7=2， 所以解得所以an=20-3（n-1）=23-3n. （2）求Sn的最大值.（5分） 解：因为当n≤7时，an=23-3n>0，当n≥8时，an=23-3n<0， 所以Sn的最大值为S7.因为a7=23-3×7=2，所以S7=×7=77. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.（15分）（2023·全国乙卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2=11，S10=40. （1）求{an}的通项公式；（7分） 解：设{an}的公差为d，则 解得a1=13，d=-2.所以{an}的通项公式为an=13+（n-1）·（-2）=15-2n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）求数列{|an|}的前n项和Tn.（8分） 解：由（1）得|an|= 当n≤7时，Tn=13n+×（-2）=14n-n2， 当n≥8时，Tn=T7+1+3+5+…+（2n-15）=T7+1+3+5+… +[2（n-7）-1]=14×7-72+=98-14n+n2. 综上，Tn= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.（15分）某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同公顷数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同公顷数的土地沙化，具体情况如下表所示：   2022年 2023年 2024年 新植公顷数 1 000 1 400 1 800 沙地公顷数 25 200 24 000 22 400 而一旦植完，则不会被沙化. （1）每年沙化的土地公顷数为多少?（7分） 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：依题意，每年比上一年多造林400公顷， 其中2023年新植1 400公顷， 故当年沙地应为25 200-1 400=23 800公顷， 而实际沙地面积为24 000公顷， 所以2023年沙化土地面积为24 000-23 800=200公顷， 同理可得2024年沙化土地面积也为200公顷. 所以每年沙化的土地面积为200公顷. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）到哪一年可绿化完全部荒沙地?（8分） 解：设2024年及其以后各年的造林面积分别为a1，a2，a3，…，an， 则an=1 800+（n-1）×400=400n+1 400，所以n年造林的面积总和为Sn=1 800n+×400，由（1）知，每年林木的“有效面积”应比实际面积少200公顷，依题意可得Sn-200n≥24 000，化简得n2+7n-120≥0，解得n≥8.故8年，即到2031年可绿化完全部荒沙地. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.（15分）（2023·新课标Ⅱ卷）已知{an}为等差数列，bn=记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4=32，T3=16. （1）求{an}的通项公式；（6分） 解：设等差数列{an}的公差为d.因为bn= 所以b1=a1-6，b2=2a2=2a1+2d，b3=a3-6=a1+2d-6.因为S4=32，T3=16， 所以 整理得解得所以{an}的通项公式为an=2n+3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）证明：当n>5时，Tn>Sn.（9分） 解：证明：由（1）知an=2n+3，所以Sn==n2+4n. 当n为奇数时，Tn=（-1+14）+（3+22）+（7+30）+…+[（2n-7） +（4n+2）]+2n-3=[-1+3+7+…+（2n-7）+（2n-3）]+[14+22+30+… +（4n+2）]=+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 当n>5时，Tn-Sn=-（n2+4n）==>0， 所以Tn>Sn. 当n为偶数时，Tn=（-1+14）+（3+22）+（7+30）+…+[（2n-5）+（4n+6）]=[-1+3+7+…+（2n-5）]+[14+22+30+…+（4n+6）] =+=.当n>5时，Tn-Sn=-（n2+4n）==>0，所以Tn>Sn.综上可知，当n>5时，Tn>Sn. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $