5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教B版）

5.2.2 等差数列的前n项和 等差数列的前n项和公式 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列前n项和公式. 3.理解并应用等差数列前n项和的性质. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 ________________________________ _____________________________________________ Sn= Sn=na1+d |微|点|助|解| （1）公式Sn=反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和. （2）由公式Sn=na1+d知d=0时，Sn=na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”. （3）公式里的n表示的是所求等差数列的项数. 2.等差数列前n项和的常见性质 （1）若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为_______. （2）若Sn，S2n，S3n，…分别为等差数列{an}的前n项，前2n项，前3n项，…和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…也成等差数列，公差为________. （3）设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则=. n2d （4）若等差数列的项数为2n，则S2n=n（an+an+1），S偶-S奇=________，=（S奇≠0）. （5）若等差数列的项数为2n+1，则=（2n+1）an+1（an+1是数列的中间项），S偶-S奇=-an+1，=______（S奇≠0）. （6）在等差数列中，若Sn=m，Sm=n，则=-（m+n）. nd |微|点|助|解| 　　上述性质可用于小题，大题中要先证再用.性质（2）不要误解为Sn，S2n，S3n，…成等差数列. 1.已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=-2，则前10项和S10= （　　） A.-20 B.-40 C.-60 D.-80 √ 基础落实训练 解析：由公式Sn=na1+d得S10=10×1+×（-2）=-80. 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等于 （　　） A.72 B.54 C.36 D.18 √ 解析：由a4=18-a5，可得a4+a5=18，所以S8==4（a4+a5）=4×18=72，故选A. √ 3.已知等差数列{an}，若a2=10，a5=1，则{an}的前7项的和是 （　　） A.112 B.51 C.28 D.18 解析：由题意知，解得 则S7=7a1+d=28，故选C. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型（一）　等差数列前n项和的基本运算 [例1]　（1）已知{an}为等差数列，公差d=2，前n项和为Sn，an=11，Sn=35，求a1，n； 解：由题设可得 解得或 （2）在等差数列{an}中，已知a2+a5=19，S5=40，求a10. 解：由题设可得 即解得故a10=2+3×（10-1）=29. 　　[变式拓展] 　本例（1）中，将“d=2”改为“a1=3”，其他条件不变，求n和公差d. 解：法一　由 得解得 法二　∵a1=3，an=11，Sn=35，∴35==7n，即n=5. 又11=3+（5-1）d，∴d=2. 　　|思|维|建|模| （1）利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. （2）结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m+n=p+q（m，n，p，q∈N+），则am+an=ap+aq，特别地，m+n=2r，则2ar=am+an，常与求和公式Sn=结合使用. 针对训练 1.（2024·全国甲卷）等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=1，a3+a7= （　　） A.-2 B. C.1 D. √ 解析：法一：利用等差数列的基本量　由S9=1，根据等差数列的求和公式，S9=9a1+d=1⇔9a1+36d=1. 又a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=（9a1+36d）=. 法二：利用等差数列的性质　根据等差数列的性质，得a1+a9=a3+a7，由S9=1，根据等差数列的求和公式，S9===1，故a3+a7=. 法三：特殊值法　不妨取等差数列公差d=0，则S9=1=9a1⇒a1=， 则a3+a7=2a1=. 2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2，a2+a6=2，则S10=________.  解析：法一　设等差数列{an}的公差为d，则由a2+a6=2， 得a1+d+a1+5d=2，即-4+6d=2，解得d=1， 所以S10=10×（-2）+×1=25. 法二　设等差数列{an}的公差为d，因为a2+a6=2a4=2，所以a4=1， 所以d===1，所以S10=10×（-2）+×1=25. 25 题型（二）　等差数列前n项和公式的应用 [例2]　已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+4n（n∈N+）. （1）求数列{an}的通项公式an； 解：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2+4n-3（n-1）2-4（n-1）=6n+1，当n=1时，a1=S1=3+4=7，满足an=6n+1，即数列{an}的通项公式an=6n+1. （2）求证：数列{an}是等差数列. 解：证明：∵an=6n+1，∴当n≥2时，an-an-1=6n+1-6（n-1）-1=6为常数，则数列{an}是等差数列. 　　[变式拓展] 　若本例中数列{an}的前n项和为Sn=3n2+4n+1（n∈N+）.求数列{an}的通项公式并判断数列是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由. 解：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2+4n+1-3（n-1）2-4（n-1）-1=6n+1， 当n=1时，a1=S1=3+4+1=8，不满足an=6n+1， 所以an=显然{an}不是等差数列. 　　|思|维|建|模| 　　由Sn求得通项公式an的特点：若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列； 否则an=数列{an}不是等差数列. 针对训练 3.已知一个数列{an}的前n项和Sn=25n-2n2+r. （1）当r=0时，求证：该数列{an}是等差数列； 解：证明：当r=0时，Sn=25n-2n2，令n=1，S1=25-2=23，所以n≥2时， Sn-1=25（n-1）-2（n-1）2，所以an=Sn-Sn-1=25n-2n2-25（n-1）+2（n-1）2 =27-4n，此时a1=27-4=23，所以an=27-4n，所以an-an-1=（27-4n）-27+ 4（n-1）=-4，可得数列{an}是公差为-4的等差数列. （2）若数列{an}是等差数列，求r满足的条件. 解：Sn=25n-2n2+r，令n=1，得S1=25-2+r=23+r，所以n≥2时， Sn-1=25（n-1）-2（n-1）2+r，所以an=Sn-Sn-1=25n-2n2-25（n-1）+ 2（n-1）2=27-4n，所以an-an-1=（27-4n）-27+4（n-1）=-4， 可得n≥2时，数列{an}是公差为-4的等差数列， 若数列{an}是等差数列，则a1=27-4=23=23+r，所以r=0. 题型（三）　等差数列前n项和的性质及应用 [例3]　已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10，求S110. 解：法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，∵S10=100，S100=10，∴解得 ∴S110=110a1+d=110×+×=-110. 法二　设等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn.由题设条件可知解得 故S110=-×1102+×110=-110. 法三　∵S10，S20-S10，S30-S20，…，S100-S90，S110-S100，…成等差数列，设公差为d，∴该数列的前10项和为10×100+d=S100=10， 解得d=-22，∴前11项和S110=11×100+×（-22）=-110. 法四　由也是等差数列，构造新的等差数列b1==10，b10==， 则d=（b10-b1）=×=-，所以b11==b10+d=+=-1， ∴S110=-110. 法五　直接利用性质Sn=m，Sm=n，Sm+n=-（m+n），可得S110=-110. 　　|思|维|建|模| 等差数列前n项和运算的几种思维方法 （1）整体思路：利用公式Sn=，设法求出整体a1+an，再代入求解. （2）待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn=An2+Bn（A≠0），列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设=an+b（a≠0）进行计算. （3）利用Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列进行求解. 针对训练 4.在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n= （　　） A.9 B.10 C.11 D.12 √ 解析：根据等差数列前n项和的性质可得==，解得n=10. 5.已知Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1=-2 023，-=6， 则S2 025=__________.  2 025 解析：由等差数列的性质可得数列也为等差数列.设其公差为d，则-=6d=6，所以d=1.故=+2 024d=-2 023+2 024=1， 所以S2 025=1×2 025=2 025. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn=（n+1）2+λ，则λ的值是 （　　） A.-2 B.-1 C.0 D.1 √ 解析：等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn，所以λ=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8=17，S17=340，则数列{an}的公差是 （　　） A.-4 B.-3 C. D.3 √ 解析：因为S17===17a9=340，所以a9=20，又a8=17， 所以d=a9-a8=20-17=3.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知等差数列{an}中，a1=1，Sn为{an}的前n项和，S5=5S3-5，则S4= （　　） A.4 B.-2 C.3 D.-1 √ 解析：记等差数列{an}的公差为d，则S5=5a1+10d=5（3a1+3d）-5， 整理得2a1+d-1=0，又a1=1，所以d=-1，所以S4=4×1+×（-1）=-2.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9= （　　） A.27 B.45 C.81 D.18 √ 解析：由等差数列{an}，得S3，S6-S3，S9-S6成等差数列， 可得2（S6-S3）= S3+S9-S6，即2×（36-9）=9+ S9-S6，解得S9-S6=45，即a7+a8+a9=45.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5=5，a1+S11=67，则a3·a12是{an}中的 （　　） A.第30项 B.第36项 C.第48项 D.第60项 √ 解析：设公差为d，则 解得所以an=n，则a3·a12=3×12=36，令an=36，则n=36， 所以a3·a12是{an}中的第36项.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且=，则=（　　） A. B. C. D. √ 解析：由已知得=，可设Sn=kn（3n+5），Tn=kn（4n+6），则a7= S7-S6=182k-138k=44k，b8=T8-T7=304k-238k=66k，即==，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.[多选]已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，a2=2，an+1+an=3n，则 （　　） A.a4=5 B.S20=300 C.S31=720 D.n为奇数时，Sn= √ √ √ 解析：由an+1+an=3n，则an+2+an+1=3（n+1），两式作差，得an+2-an=3，a1=1，当n为奇数时，{an}是首项为1，公差为3的等差数列，即an=n-；a2=2，当n为偶数时，{an}是首项为2，公差为3的等差数列， 即an=n-1.所以a4=a2+3=5，A正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）= +=300，B正确；S31=（a1+a3+…+a31）+（a2+a4+…+a30）=+=721，C错误； n为奇数时，Sn=+= +=，D正确.故选ABD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.（5分）（2024·新课标Ⅱ卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4=7，3a2+a5=5，则S10=__________.  95 解析：因为数列an为等差数列，所以由题意得解得 则S10=10a1+d=10×（-4）+45×3=95. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.（5分）等差数列{an}，{bn}前n项和分别为Sn，Tn，且=3，则=_________.  解析：由等差数列性质可得==3，解得=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，点（n∈N+）均在函数y=2x-3的图象上，则数列{an}的通项公式an=__________.  4n-5 解析：依题意得=2n-3，即Sn=2n2-3n，所以数列{an}为等差数列，且a1=S1=-1，a2=S2-S1=3，设其公差为d，则d=4， 所以an=4n-5（n∈N+）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.（5分）已知数列{an}的通项公式为an=2n-1，在ak和ak+1之间插入 k个2（k∈N+）形成一个新数列{bn}，则{bn}的前2 025项的和为_________.  7 893 解析：在数列{bn}中，在ak+1的前面的所有项的项数为k+（1+2+…+k）=≤2 025，当k=62时，=2 015，即在a63的前面的所有项的项数为2 015，又在a63与a64之间共有63个2，所以数列{bn}的前 2 025项中包含数列{an}的项有63项，中间插入2的数量为1+2+…+62+9=1 962，所以数列{bn}的前2 025项和为+1 962×2=7 893. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.（10分）在等差数列{an}中，a1=1，a3=-3. （1）求数列{an}的通项公式；（4分） 解：设等差数列{an}的公差为d，由a1=1，a3=-3，可得1+2d=-3，解得d=-2.从而an=1+（n-1）×（-2）=3-2n. （2）若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.（6分） 解：由（1）可知an=3-2n，所以Sn==2n-n2. 由Sk=-35，可得2k-k2=-35，即k2-2k-35=0，解得k=7或k=-5. 又k∈N+，故k=7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+c，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列. 解：当n=1时，a1=S1=2+c， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+n+c）-[（n-1）2+（n-1）+c]=2n. ∴数列{an}的通项公式是an= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ①当c=0时，an=2n为等差数列； ②当c≠0时，a1=2+c≠2×1， ∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数， ∴{an}不是等差数列.故当c=0时，{an}是等差数列， 当c≠0时，{an}不是等差数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.（10分）已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4=117，a2+a5=22. （1）求数列{an}的通项公式an；（4分） 解：设等差数列{an}的公差为d，且d>0.∵a3+a4=a2+a5=22， 又a3a4=117，∴a3，a4是方程x2-22x+117=0的两个根. 又公差d>0，∴a3<a4，∴a3=9，a4=13. ∴∴∴an=4n-3，n∈N+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）若数列{bn}是等差数列，且bn=，求非零常数c.（6分） 解：由（1）知，Sn=n×1+×4=2n2-n，∴bn==， ∴b1=，b2=，b3=.∵{bn}是等差数列，∴2b2=b1+b3， ∴2c2+c=0，∴c=- （c=0舍去）.经检验，c=-符合题意，∴c=-. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $