5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和的性质及应用，通过典型案例导入，衔接已学的等差数列定义与前n项和公式，搭建从基础公式到性质应用的学习支架，涵盖性质应用、最值问题及绝对值数列求和等核心内容。 其亮点在于以典例研析为载体，通过配方转化、邻项变号等方法培养数学思维（推理能力、运算能力），通性通法总结助力数学语言表达规律，如依次k项和性质的公式化呈现。实例中绝对值数列求和的分类讨论，提升学生逻辑思维，为教师提供系统分层教学资源，有效提升教学效率。

第二课时　 等差数列前n项和的性质及应用 1 典例研析 01 目录 课时作业 02 2 01 PART 典例研析 目 录 题型一｜等差数列的前n项和性质的应用 【例1】　（1）已知等差数列{an}的前n项、前2n项、前3n项的和分别 为A，B，C，则（　D　） A. A＋B＝C B. A＋C＝2B C. 2A＋C＝3B D. 3（B－A）＝C 解析：∵等差数列的前n项、前2n项、前3n项的和分别为A，B，C， ∴A，B－A，C－B仍然成等差数列，∴2（B－A）＝C－B＋A， 化为3A＋C＝3B，即3（B－A）＝C，故选D. D 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）等差数列{an}的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比 为11∶9，则公差d， 的值分别是（　D　） A. 8， B. 9， C. 9， D. 8， D 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 在等差数列{an}中，设S奇＝a1＋a3＋…＋a15，S偶＝a2＋a4 ＋…＋a16， 依题意， 解得S奇＝288，S偶＝352，而S偶－S奇＝（a2 －a1）＋（a4－a3）＋…＋（a16－a15）＝8d， ＝ ＝ ， 所以d＝ ＝ ＝8， ＝ ＝ .故选D. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （3）已知Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和， ＝ ，则 ＝ 　 　. 解析： 根据等差数列前n项和的函数特征，可设Sn＝kn（n＋1）， Tn＝kn（3n－1）（k≠0）， 则 ＝ ＝ ＝ ＝ . 　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 等差数列的前n项和常用的性质 （1）等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为 k2d的等差数列； （2）数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn（a，b为常数）⇔数列 为 等差数列； （3）设等差数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn，则 ＝ ； （4）若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d： ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd， ＝ ； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an， ＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13 ＋a14＝（　　） A. 18 B. 17 C. 16 D. 15 解析： 　设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，（a5＋a6 ＋a7＋a8）－S4＝16d，解得d＝ ，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且（n＋3） Sn＝（2n＋70）Tn，则使得 为整数的正整数n的个数是 ⁠. 解析：由等差数列前n项和的性质，得 ＝ .由条件可得 ＝ ， 则 ＝ ＝ ＝ ，所以 ＝ ＝2＋ .要使 为整数，则 必为整数，即n＋1为32的约数.又n为正整数，所以n的 取值为1，3，7，15，31，共5个. 5　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 ⁠. 解析：设该等差数列为{an}，其首项为a1，前n项和为Sn，则S奇＝ ，S偶＝ ，∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴ ＝ . 　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型二｜等差数列的前n项和最值问题 【例2】　在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值. 解：设公差为d，由S17＝S9且a1＝25，得 25×17＋ d＝25×9＋ d， 解得d＝－2. 法一（公式法）　Sn＝25n＋ ×（－2）＝－（n－13）2＋169. 由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 法二（邻项变号法）　∵a1＝25＞0， 由 得 即12 ≤n≤13 . 又∵n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值，最大值为25×13＋ ×（－ 2）＝169. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【母题探究】 1. （变设问）本例条件不变，试求 的前n项和Tn. 解：由本例知Sn＝－n2＋26n， 令bn＝ ＝－n＋26， ∴{bn}是以25为首项，公差为－1的等差数列， ∴Tn＝25n＋ ×（－1）＝－ n2＋ n. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. （变条件）若本例中的条件“a1＝25，S17＝S9”换为“a1＋a4＋a7＝ 99，a2＋a5＋a8＝93”，试求Sn的最大值. 解：因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝31，故公 差d＝－2，an＝a4＋（n－4）d＝41－2n， 所以a1＝39，Sn＝39n＋ ×（－2）＝40n－n2. 当Sn取得最大值时，满足 即19 ≤n≤20 . 因为n∈N＋，所以当n＝20时，Sn有最大值S20＝400. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略 （1）将Sn＝na1＋ d＝ n2＋ n配方，转化为求二次函数 的最值问题，借助函数单调性来解决； （2）邻项变号法： 当a1＞0，d＜0时，满足 的项数n使Sn取最大值； 当a1＜0，d＞0时，满足 的项数n使Sn取最小值. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　〔多选〕等差数列{an}是递增数列，公差为d，前n项和为Sn，且a9＝ 4a6，下列选项正确的是（　　） A. a1＜0 B. d＜0 C. Sn取得最小值时，n＝5 D. Sn＞0时，n的最小值为10 √ √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　由a9＝4a6可得a1＋8d＝4（a1＋5d），故a1＋4d＝0，由于 {an}是递增数列，故d＞0，因此a1＜0，故A正确，B错误；进而可得当n ＝1，2，3，4时an＜0，a5＝0，当n＞5时an＞0，因此Sn取得最小值时， n＝5或n＝4，C错误；由于S9＝ ＝9a5＝0，故当n≥10时，Sn ＞0，因此Sn＞0时，n的最小值为10，D正确.故选A、D. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型三｜求数列{｜an｜}的前n项和 【例3】　在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且5a1a3＝（2a2＋ 2）2. （1）求d，an； 解： 因为5a1a3＝（2a2＋2）2，a1＝10， 所以d2－3d－4＝0，解得d＝－1或d＝4. 故an＝－n＋11或an＝4n＋6. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）若d＜0，求｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜. 解： 因为d＜0，所以由（1）得d＝－1，an＝－n＋11. 设数列{an}的前n项和为Sn， 当n≤11时，｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝Sn＝－ n2＋ n； 当n≥12时，｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝－Sn＋2S11＝ n2－ n＋110. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 求数列{｜an｜}前n项和的方法 　　给出数列{an}，要求数列{｜an｜}的前n项和，关键是分清n取什么 值时an＞0（an＜0）. 一般地，如果数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，Tn＝｜a1｜ ＋｜a2｜＋…＋｜an｜，那么有： （1）若a1＞0，d＜0，则存在k∈N＋，使得ak≥0，ak＋1＜0，从而有Tn ＝ （2）若a1＜0，d＞0，则存在k∈N＋，使得ak≤0，ak＋1＞0，从而有Tn ＝ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　 在等差数列{an}中，a3＝7，a9＝－5，{an}的前n项和为Sn. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 由题意知在等差数列{an}中，a3＝7，a9＝－5，设公差为d， 则a9－a3＝6d＝－12⇒d＝－2，则a1＝a3－2d＝11， 故an＝a1＋（n－1）d＝13－2n，故通项公式为an＝13－2n. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）求Sn取最大值时n的值； 解： 结合（1）可得Sn＝11n＋ ×（－2）＝12n－n2＝－ （n－6）2＋36， ∴当n＝6时，Sn取最大值. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （3）设Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜，求Tn. 解： ∵an＝13－2n， ∴由13－2n≥0，得n≤ ＝6 ， 即n≤6时有an＞0，n≥7时有an＜0. 当n≤6时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋a3＋… ＋an＝Sn＝12n－n2； 当n≥7时，Tn＝a1＋a2＋…＋a6－a7－…－an ＝2（a1＋a2＋…＋a6）－（a1＋a2＋a3＋…＋an） ＝2S6－Sn＝2（12×6－36）－（12n－n2）＝n2－12n＋72. 综上所述，Tn＝ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18＝ （　　） A. 36 B. 18 C. 72 D. 9 解析： 　由S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列知，S18＝S3＋（S6－ S3）＋（S9－S6）＋…＋（S18－S15）＝ ＝36. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为 5°，那么这个多边形的边数n等于（　　） A. 12 B. 16 C. 9 D. 16或9 解析： 设凸多边形的内角组成的等差数列为{an}，则an＝120＋5（n －1）＝5n＋115，由an＜180，得n＜13且n∈N＋.由n边形内角和定理 得，（n－2）×180＝n×120＋ ×5.解得n＝16或n＝9.因为n ＜13，所以n＝9. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a7＜0，a5＋a10＞0，则下列选项 正确的是（　　） A. 数列{an}为递减数列 B. a8＜0 C. Sn的最大值为S7 D. S14＞0 解析： 　对于A，n∈N＋，在数列{an}中，a7＜0，且a7＋a8＝a5＋a10＞ 0，所以a8＞0，所以公差d＝a8－a7＞0，数列{an}为递增数列，故A、B 错误；对于C，当1≤n≤7时，an＜0，当n≥8时，an＞0，所以Sn的最小 值为S7，故C错误；对于D，S14＝ ＝7（a7＋a8）＞0，故D 正确.故选D. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 〔多选〕已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列四 个命题正确的是（　　） A. d＜0 B. S11＞0 C. S12＜0 D. 数列{Sn}中的最大项为S11 解析： 　∵S6＞S7，∴a7＜0，∵S7＞S5，∴a6＋a7＞0，∴a6＞0，∴d ＜0，A正确；又∵S11＝ （a1＋a11）＝11a6＞0，B正确；S12＝ （a1 ＋a12）＝6（a6＋a7）＞0，C不正确；{Sn}中最大项为S6，D不正确. √ √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个 数列的中间项是 ，项数是 ⁠. 解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝ ＝（n＋1）an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝ ＝nan＋1，所以 ＝ ＝ ，解得n＝3，所以项数为2n＋1 ＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项. 11　 7　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 课时作业 02 PART 目 录 1. 在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的 和为150，则n等于（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 解析： 　∵ ＝ ，∴ ＝ .∴n＝10，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝（n＋1）2＋λ，则 λ的值是（　　） A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 解析： 　等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若 ＝a1 ＋a200 ，且A， B，C三点共线（该直线不过点O），则S200等于（　　） A. 100 B. 101 C. 200 D. 201 解析： 　由A，B，C三点共线得a1＋a200＝1， ∴S200＝ （a1＋a200）＝100. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 已知等差数列{an}的前n项的为Sn，若m＞1，且am－1＋am＋1－ ＝ 0，S2m－1＝38，则m＝（　　） A. 38 B. 20 C. 10 D. 9 解析： 　根据等差数列的性质可得am－1＋am＋1＝2am.∵am－1＋am＋1－ ＝0，∴am＝0或am＝2.若am＝0，显然S2m－1＝（2m－1）am＝38不成 立，∴am＝2.∴S2m－1＝（2m－1）am＝38，解得m＝10. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 设数列{an}的前n项和为Sn，则“{an}是等差数列”是“S5＝5a3”的 （　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析： 　 因为{an}是等差数列，所以S5＝ ＝5a3，充分性得 证；反之，S5＝5a3，只需a1＋a2＋…＋a5＝5a3， 得不到{an}是等差数 列，不满足必要性.所以“{an}是等差数列”是“S5＝5a3”的充分不必要 条件.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 6. 〔多选〕若数列{an}为等差数列，公差为d，其前n项和为Sn，S9＞ S10，S10＝S11，S11＜S12，则（　　） A. a10＜0 B. d＜0 C. S15＞S7 D. 使Sn＞0的最小正整数n的值为22 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　对于A，由S9＞S10，得a10＝S10－S9＜0，A正确；对于B， 由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，则d＝a11－a10＝－a10＞0，B错误；对 于C，由S11＜S12，得a12＝S12－S11＞0，则S15－S7＝ ai＝4（a11＋a12） ＞0，S15＞S7，C正确；对于D，由a11＝0，得S21＝ ＝21a11 ＝0，由Sn＝ ＞0，得a1＋an＞0＝a1＋a21，解得an＞a21，由d ＞0，得数列{an}是递增数列，则n＞21，因此使Sn＞0的最小正整数n的 值为22，D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 7. 已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7， 则S9－S6＝ ⁠. 解析：∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6 ＝7，∴S9－S6＝5. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 8. 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a2＋a8＝6，S5＝－5，则a6 ＝ ，Sn的最小值为 ⁠. 解析：依题意得： 解得 所以a6＝－5＋10 ＝5，Sn＝－5n＋ ×2＝n2－6n，当n＝3时，Sn的最小值为－9. 5　 －9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 9. 若数列{an}是等差数列，首项a1＜0，a203＋a204＞0，a203·a204＜0，则 使前n项和Sn＜0的最大自然数n是 ⁠. 解析：由a203＋a204＞0知a1＋a406＞0，即S406＞0，又由a1＜0且a203·a204＜ 0，知a203＜0，a204＞0，所以公差d＞0，则数列{an}的前203项都是负 数，那么2a203＝a1＋a405＜0，所以S405＜0，所以使前n项和Sn＜0的最大 自然数n＝405. 405　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 10. 已知数列{an}满足a1＋ ＋ ＋…＋ ＝n（n＋1），n∈N＋. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 已知a1＋ ＋ ＋…＋ ＝n（n＋1），n∈N＋， 当n＝1时，a1＝2； 当n≥2时，a1＋ ＋ ＋…＋ ＝n（n－1）， 则 ＝n（n＋1）－n（n－1）＝2n⇒an＝2n2（n≥2）. 显然n＝1时，a1＝2，满足上式. 综上，an＝2n2，n∈N＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）设bn＝ －17，求数列{｜bn｜}的前n项和Tn. 解： 由（1）知bn＝2n－17，故｜bn｜＝ ｜ b1｜＝15， 当n≤8，Tn＝ ＝－n2＋16n； 当n≥9，Tn＝T8＋ ＝n2－16n＋128. 综上，Tn＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 11. 在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此 数列前20项的和为（　　） A. 160 B. 180 解析： 　法一　设数列{an}的公差为d，由题意得 解得 故S20＝20a1＋ ×d＝180. √ C. 200 D. 220 法二　由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝3a19＝ 78，得a19＝26，于是S20＝10（a1＋a20）＝10（a2＋a19）＝10×（－8＋ 26）＝180. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 12. 〔多选〕已知数列{an}的前n项和为Sn＝33n－n2，则下列说法正确的 是（　　） A. an＝34－2n B. 仅有S16为Sn的最小值 C. ｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a16｜＝272 D. ｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a30｜＝450 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　A选项，Sn＝33n－n2中，当n＝1时，a1＝33－12＝32，当 n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝33n－n2－33（n－1）＋（n－1）2＝－2n＋ 34，显然a1＝32满足an＝34－2n，故an＝34－2n，A正确；B选项，因 为当1≤n≤16时，an＞0，a17＝0，当n≥18时，an＜0，故S16，S17为Sn 的最大值，B错误；C选项，a16＝34－32＝2，故｜a1｜＋｜a2｜＋… ＋｜a16｜＝a1＋a2＋…＋a16＝ ＝272，C正确；D选项，a17＝0，a30＝34－60＝－26，｜a17｜＋｜a18｜＋…＋｜a30｜＝－（a17＋a18＋…＋a30）＝－ ＝182，由C知，｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a16｜＝272，故｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a30｜＝272＋182＝454，D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 13. 在等差数列{an}中，3a5＝5a8，Sn是数列{an}的前n项和. （1）若a1＞0，当Sn取得最大值时，求n的值； 解： 法一　设{an}的公差为d， 由3a5＝5a8，得3（a1＋4d）＝5（a1＋7d），∴d＝－ a1. ∴Sn＝na1＋ × ＝－ a1n2＋ a1n＝－ a1（n－12） 2＋ a1. ∵a1＞0，∴当n＝12时，Sn取得最大值. 法二　由3a5＝5a8得9a5＝15a8，∴S9＝S15.由Sn对应的二次函数图象的对 称性可知，当n＝ ＝12时，Sn取得最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解：由（1）及a1＝－46，得d＝－ ×（－46）＝4， ∴an＝－46＋（n－1）×4＝4n－50， Sn＝－46n＋ ×4＝2n2－48n. ∴bn＝ ＝ ＝2n＋ －52≥2 －52＝－32， 当且仅当2n＝ ，即n＝5时，等号成立. 故bn的最小值为－32. （2）若a1＝－46，记bn＝ ，求bn的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 14. 已知数列{an}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构 成公差为d2的等差数列（其中d1，d2为整数），且对任意n∈N＋，都有an ＜an＋1，若a1＝1，a2＝2，且数列{an}的前10项和S10＝75，则d1 ＝ ，a8＝ ⁠. 解析：由题意知，S10＝5×1＋ d1＋5×2＋ d2＝75，故d1＋d2＝6. ∵对任意n∈N＋，都有an＜an＋1，∴a2k－1＜a2k＜a2k＋1（k∈N＋），即1 ＋（k－1）d1＜2＋（k－1）d2＜1＋kd1，取k＝2时，可得1＋d1＜2＋d2 ＜1＋2d1，结合d1＋d2＝6可解得 ＜d1＜ ， ＜d2＜ ，又d1，d2为整 数，∴d1＝3＝d2.∴a8＝a2＋3d2＝2＋3×3＝11. 3　 11　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 15. 已知{an}为等差数列，bn＝ 记Sn，Tn分别为数列 {an}，{bn}的前n项和，S2＝12，T3＝16. （1）求{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解：设等差数列{an}的公差为d，而bn＝ k∈N＋， 则b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6， 于是 解得 an＝a1＋（n－1）d＝2n＋3， 所以数列{an}的通项公式是an＝2n＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn. 解： 证明：由（1）知，Sn＝ ＝n2＋4n，bn＝ k∈N＋. 当n为偶数时，bn－1＋bn＝2（n－1）－3＋4n＋6＝6n＋1， Tn＝ · ＝ n2＋ n. 当n＞5时，Tn－Sn＝（ n2＋ n）－（n2＋4n）＝ n（n－1）＞0，因 此Tn＞Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 当n为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝ （n＋1）2＋ （n＋1）－[4（n＋1） ＋6]＝ n2＋ n－5， 当n＞5时，Tn－Sn＝（ n2＋ n－5）－（n2＋4n）＝ （n＋2）（n－ 5）＞0，因此Tn＞Sn. 综上，当n＞5时，Tn＞Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 $