5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和公式，通过唐代宝塔诗《花》的字数问题导入，从具体诗句字数求和过渡到n行倒宝塔拼接推导，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接数列概念与求和公式。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，用倒序相加法推导公式发展数学思维，通过“知三求二”运算、Sn函数特征分析及绝对值数列求和强化数学语言表达。如宝塔诗情境让学生从现实中发现数量关系，推导过程训练逻辑推理，帮助学生深化理解，为教师提供丰富教学案例。

5．2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程．　2.掌握等差数列的前n项和公式，熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．　3.了解等差数列前n项和的函数特征． 学 习 目 标 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 请同学们欣赏唐代诗人张南史的宝塔诗《花》，并回答下面的问题： 花， 深浅， 凝为雪， 莺和蝶到， 已迷金谷路， 芳草欲陵芳树， 愿得春风相伴去， 花． 芬葩． 错为霞． 苑占宫遮． 频驻玉人车． 东家半落西家． 一攀一折向天涯． 新知学习 探究 返回导航 思考1　从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？ 提示：诗中文字有对称性；这首诗内容的字数为S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝56，根据对称性，可先取其一半来研究．其数的个数较少，大家很容易求出答案． 新知学习 探究 返回导航 思考2　网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第1行到第n行一共有多少个字(每点代表一个字)? 新知学习 探究 返回导航 一　等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝____________ Sn＝_______________ 新知学习 探究 返回导航 【即时练】 1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝(　　) A．230 B．420 C．450 D．540 √ 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 3．计算：1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝____________． 新知学习 探究 返回导航 4．已知数列{an}中，an＋1＝an对∀n∈N＋恒成立，且a3＝2，则该数列的前5项和S5＝____________． 解析：由an＋1＝an对∀n∈N＋恒成立知数列{an}为常数列，故an＝2，所以S5＝5a3＝10. 10 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn. (2)若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d； 新知学习 探究 返回导航 已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn. (3)若a1＝－7，S3＝－15，求an. 【解】　依题意S3＝3a1＋3d＝－21＋3d＝－15，即d＝2，故an＝－7＋2(n－1)＝2n－9. 新知学习 探究 返回导航 求等差数列的基本量的方法 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．　 新知学习 探究 返回导航 √ √ [跟踪训练1] (1)(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1＝(　　) A．－1 B．3 C．5 D．7 新知学习 探究 返回导航 (2)等差数列{an}的前n项和记为Sn，且S5＝10，S10＝50，则S15＝__________． 120 新知学习 探究 返回导航 三　利用等差数列前n项和公式判断等差数列 　已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n2＋3n，试判断数列{an}是不是等差数列． 【解】　Sn＝2n2＋3n，则当n＝1时，a1＝S1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－2(n－1)2－3(n－1)＝4n＋1. 又a1＝5适合an＝4n＋1，所以数列{an}的通项公式是an＝4n＋1(n∈N＋). 当n≥2时，an－an－1＝4n＋1－[4(n－1)＋1]＝4， 故数列{an}是首项为5，公差为4的等差数列． 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 (条件变式)本例的条件“Sn＝2n2＋3n”变为“Sn＝2n2＋3n－1”，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练2] 记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝3n2＋n. (1)求数列{an}的通项公式； 新知学习 探究 返回导航 记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝3n2＋n. (2)证明：数列{an}是等差数列． 解：证明：当n≥2时，an－an－1＝3n－1－[3(n－1)－1]＝3， 故数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列． 新知学习 探究 返回导航 四　求数列{an}的前n项和 　已知{an}为等差数列，a4＝94，a7＝82. (1)求{an}的通项公式； 新知学习 探究 返回导航 已知{an}为等差数列，a4＝94，a7＝82. (2)求数列{|an|}的前n项和． 新知学习 探究 返回导航 已知等差数列{an}，求{|an|}的前n项和的步骤 (1)确定通项公式an； (2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号，即判断数列{an}是先负后正，还是先正后负； (3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值，转化为{an}的前n项和求解，转化过程中有时需添加一部分项，以直接利用数列{an}的前n项和公式； (4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式．　 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练3] 在等差数列{an}中，a1＝8，a4＝2. (1)求数列{an}的通项公式； 新知学习 探究 返回导航 在等差数列{an}中，a1＝8，a4＝2. (2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求T10. 解：因为当n≤5时，an≥0；当n≥6时，an＜0， 所以T10＝|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－(a6＋a7＋…＋a10)＝8＋6＋4＋2＋0＋(2＋4＋6＋8＋10)＝50. 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 30 √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ √ a2＋a12＝2a1＋12d＝10，故C正确； S10＝10a1＋45d＝40，D错误．故选AC． 课堂巩固 自测 返回导航 3．(教材P27练习AT5改编)在等差数列{an}中，已知a1＝3，d＝－1，Sn＝－4，则n＝________． 8 课堂巩固 自测 返回导航 4．设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝－7，S3＝－15.求： (1)Sn； 课堂巩固 自测 返回导航 设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝－7，S3＝－15.求： (2)数列{|an|}的前16项和T16. 解：当1≤n≤4时，an＜0；当n≥5时，an＞0， T16＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋a5＋a6＋…＋a16＝－S4＋(S16－S4)＝S16－2S4＝(162－8×16)－2×(42－8×4)＝160. 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 $