5.2.1 第1课时 等差数列的定义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教B版）

等差数列 5.2 等差数列 5.2.1 等差数列的定义 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念.掌握等差数列通项公式的意义. 2.理解等差中项，能运用通项公式解决一些简单的问题. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清（一）　等差数列的定义 逐点清（二）　等差数列的通项公式 逐点清（三）定义法判断等差数列 4 课时跟踪检测 逐点清（一） 等差数列的定义 01 　　一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于____________，即___________ 恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的______. 多维理解 同一个常数d an+1-an=d 公差 |微|点|助|解| 对等差数列概念的解读 （1）作差的起始项：“从第2项起”，因为第1项没有前一项； （2）作差的顺序：“每一项与它的前一项的差”，即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒； （3）等差的含义：“同一个常数”指所有的差都相等，即a2-a1=a3-a2=… =an-an-1=…=d，其中d是与n无关的常数； （4）公差d的取值范围：可正、可负、也可为0（常数列是公差为0的等差数列），它是一个与n无关的常数，因此公差d的取值范围为（-∞，+∞）. 1.下列说法正确的是 （　　） A.若a-b=b-c，则a，b，c成等差数列 B.若an+1-an=n（n∈N+），则{an}是等差数列 C.等差数列是相邻的后项与前项之差等于非零常数的数列 D.等差数列的公差是该数列中任意相邻两项的差 √ 微点练明 解析：对于A，由a-b=b-c，可得b-a=c-b，因此a，b，c成等差数列，故A正确； 对于B，n不是固定常数，因此该数列不是等差数列， 故B不正确； 对于C，公差d可以等于0，故C不正确； 对于D，d=an-an-1（n≥2，n∈N+），而an-1-an=-d（n≥2，n∈N+），但-d不是等差数列的公差，故D不正确. 2.若a，b，lg 6，2lg 2+lg 3依次成等差数列，则实数a的值为__________.  lg 解析：因为a，b，lg 6，2lg 2+lg 3依次成等差数列， 所以公差d=2lg 2+lg 3-lg 6=lg 2+（lg 2+lg 3）-lg 6=lg 2+lg（2×3）-lg 6=lg 2，所以a=2lg 2+lg 3-3lg 2=lg 3-lg 2=lg. 3.判断下列数列是否是等差数列.如果是，写出它的公差. （1）95，82，69，56，43，30； 解：由82-95=69-82=56-69=43-56=30-43=-13，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数-13，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为-13. （2）1，1.1，1.11，1.111，1.111 1，1.111 11； 解：通过观察可知，1.1-1=0.1，1.11-1.1=0.01，…该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列. （3）1，-2，3，-4，5，-6； 解：通过观察可知，-2-1=-3，3-（-2）=5，…该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列. （4）1，. 解：由-1=-=-=-=-=-=-，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数-，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为-. 逐点清（二）等差数列的通项 公式 02 1.等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d. 多维理解 递推公式 通项公式 an+1-an=d an=____________ a1+（n-1）d |微|点|助|解| （1）已知首项a1和公差d，便可写出通项公式. （2）等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一. 等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d 四个参数 a1，d，n，an “知三求一” 知a1，d，n求an 知a1，d，an求n 知a1，n，an求d 知d，n，an求a1 2.等差数列与一次函数的关系 等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d，如果记f（x）=dx+a1-d，则等差数列的通项公式an=f（n），而且：①当公差d=0时，f（x）是常数函数，此时数列{an}是常数列（因此，公差为0的等差数列是常数列）；②当公差d≠0时，f（x）是一次函数，而且f（x）的增减性依赖于公差d的符号，an相应的函数是一次函数；点（n，an）分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点.因此，当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列. 1.已知等差数列-5，-2，1，…，则该数列的第20项为 （　　） A.52 B.62 C.-62 D.-52 微点练明 √ 解析：选A　由题意设等差数列的首相和公差分别为a1，d， 所以a1=-5，d=-2-（-5）=3， 所以an=a1+（n-1）d=-5+3（n-1）=3n-8， 所以a20=3×20-8=52.故选A. 2.数列{an}是首项为1，公差为d（d∈N+）的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是 （　　） A.2 B.3 C.4 D.5 √ 解析：∵数列{an}是首项为1，公差为d（d∈N+）的等差数列，∴an=1+（n-1）d.∵81是该数列中的一项，∴81=1+（n-1）d， 即n=+1.∵d，n∈N+，∴d是80的因数，故d不可能是3，故选B. 3.在等差数列{an}中，a1+a3+a5=9，a6=9，则其公差d=__________.  2 解析：由a1+a3+a5=9，得a3-2d+a3+a3+2d=9，故a3=3， 所以d===2. 4.（1）若{an}是等差数列，a15=8，a60=20，求a75. 解：设{an}的公差为d.由题意知 解得∴a75=a1+74d=+74×=24. （2）已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断-34是该数列的项吗? 解：依题意得 ∴ 解得或 ∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0. 故取a1=11，d=-5， ∴an=11+（n-1）·（-5）=-5n+16. 即等差数列{an}的通项公式为an=-5n+16. 令an=-34，即-5n+16=-34，得n=10. ∴-34是数列{an}的第10项. 逐点清（三）定义法判断等差 数列 03 [典例]　已知数列{an}中，a1=2，an=2-（n≥2，n∈N+），设bn=（n∈N+）. （1）求证：数列{bn}是等差数列； 解：证明：因为an=2-，所以an+1=2-.则bn+1-bn=-=-==1，所以{bn}是首项为b1==1， 公差为1的等差数列. （2）求{an}的通项公式. 解：由（1）知bn=n，所以bn==n（n∈N+），解得an=1+， 所以{an}的通项公式为an=1+（n∈N+）. 　　[变式拓展] 　本例条件“an=2-（n≥2，n∈N+）”变为“an+1=”，那么数列是否为等差数列?请说明理由. 解：数列是等差数列，理由如下：∵a1=2，an+1=， ∴==+，∴-=，即数列是首项为=， 公差为d=的等差数列. 　　|思|维|建|模| 定义法判定等差数列的策略 （1）条件：an+1-an=d（常数）（n∈N+）或an-an-1=d（常数）（n>1，n∈N+）. （2）结论：{an}是等差数列. （3）应用范围：通常用于解答题. 已知在数列{an}中，a1=1，an=2an-1+1（n≥2，n∈N+），记bn=log2（an+1）. （1）判断{bn}是否为等差数列，并说明理由； 针对训练 解： {bn}是等差数列，理由如下：b1=log2（a1+1）=log22=1， 当n≥2时，bn-bn-1=log2（an+1）-log2（an-1+1）=log2=log2=1，∴{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）求数列{an}的通项公式. 解：由（1）知，bn=1+（n-1）×1=n，∴an+1==2n，∴an=2n-1. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.设数列{an}（n∈N+）是公差为d的等差数列，若a2=4，a4=6，则d等于 （　　） A.4 B.3 C.2 D.1 √ 解析：∵a4-a2=2d=6-4=2，∴d=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.[多选]下列数列中，是等差数列的是 （　　） A.1，4，7，10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2 √ √ √ 解析：A、B、D项满足等差数列的定义，是等差数列；C中，因为 24-25≠23-24≠22-23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知在等差数列{an}中，a3+a8=22，a6=7，则a5等于 （　　） A.15 B.22 C.7 D.29 √ 解析：设{an}的首项为a1，公差为d，根据题意得解得 所以a5=47+（5-1）×（-8）=15. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知等差数列{an}满足4a3=3a2，则{an}中一定为零的项是 （　　） A.a6 B.a4 C.a10 D.a12 √ 解析：由4a3=3a2得4（a1+2d）=3（a1+d），即a1=-5d， 所以an=a1+（n-1）d=-5d+（n-1）d=（n-6）d，所以a6=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.在数列{an}中，a1=2，2an+1-2an=1，则a101的值为 （　　） A.49 B.50 C.51 D.52 √ 解析：∵an+1-an=，∴数列{an}是首项为2，公差为的等差数列，∴an=a1+（n-1）·=2+，∴a101=2+=52. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知递增数列{an}是等差数列，若a4=8，3（a2+a6）=a2a6， 则a2 025= （　　） A.2 025 B.2 024 C.4 050 D.4 048 √ 解析：设数列{an}的公差为d（d>0），因为a4=8，3（a2+a6）=a2a6， 则 解得所以a2 025=2+2×（2 025-1）=4 050. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.在一个首项为23，公差为整数的等差数列中，前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差为 （　　） A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 √ 解析：设该等差数列为{an}，公差为d（d∈Z），则a1=23， an=23+（n-1）d，由题意可知即 解得-<d<-.因为d是整数，所以d=-4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知数列{an}，{bn}均为等差数列，若a1+b1=0，a2+b2=1，则an+ bn= （　　） A.n-2 B.n+1 C.n D.n-1 √ 解析：设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则d1+d2=a2-a1+ b2-b1=（a2+b2）-（a1+b1）=1-0=1，所以an+bn=a1+（n-1）d1+b1+ （n-1）d2=a1+b1+（n-1）（d1+d2）=n-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.[多选]已知数列{an}为等差数列，则下列一定成立的是 （　　） A.若a2>a1，则a3>a1 B.若a2>a1，则a3>a2 C.若a3>a1，则a2>a1 D.若a2>a1，则a1+a2>a1 √ √ √ 解析：利用等差数列的单调性可得，若a2>a1，则公差d>0，所以等差数列{an}是递增数列，所以a3-a1=2d>0，a3-a2=d>0成立，所以A、B正确；若a3>a1，则a3-a1=2d>0，所以a2-a1=d>0成立，所以C正确；a1+a2>a1不一定成立，例如a1<a2<0时不一定成立，所以D不一定成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.[多选]若数列{an}是等差数列，公差d>0，则下列对数列{bn}的判断正确的是 （　　） A.若bn=-an，则数列{bn}是递减数列 B.若bn=，则数列{bn}是递增数列 C.若bn=an+，则数列{bn}是公差为d的等差数列 D.若bn=an+n，则数列{bn}是公差为d+1的等差数列 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d）且d>0，得bn=-an=-dn+（d-a1），即数列{bn}是递减数列，故A正确；由bn==[dn+（a1-d）]2， 当d>a1时，如d=1，a1=-2，数列{bn}不具有单调性，故B错误； 由bn=an+=2dn+（2a1-d），则数列{bn}是公差为2d的等差数列，故C错误；由bn=an+n=（d+1）n+（a1-d），则数列{bn}是公差为d+1的等差数列，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）已知{an}为等差数列，且a7-2a4=-1，a3=0，则公差d=________.  - 解析：根据题意得a7-2a4=a1+6d-2（a1+3d）=-a1=-1，∴a1=1. 又a3=a1+2d=1+2d=0，∴d=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）已知等差数列{an}递增且满足a1+a10=4，则a8的取值范围是_________.  （2，+∞） 解析：设等差数列{an}的公差为d，因为{an}递增，所以d>0， 由a1+a10=4得2a1+9d=4，所以a1==2-，则a8=a1+7d= 2-d+7d=2+d>2，所以a8的取值范围是（2，+∞）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（5分）已知数列{log2（an-1）}（n∈N+）为等差数列，且a1=3，a3=9，则数列{an}的通项公式为__________.  an=2n+1 解析：设等差数列{log2（an-1）}的公差为d，由a1=3，a3=9， 得log2（a3-1）= log2（a1-1）+2d，解得d=1，所以log2（an-1）= 1+（n-1）×1=n，即an=2n+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（10分）在等差数列{an}中，已知am=n，an=m，求am+n的值. 解：法一　设公差为d，则d===-1， 从而am+n=am+（m+n-m）d=n+n·（-1）=0. 法二　设等差数列的通项公式为an=an+b（a，b为常数）， 则得a=-1，b=m+n. 所以am+n=a（m+n）+b=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（15分）记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知+=2. （1）证明：数列{bn}是等差数列；（7分） 解：证明：由已知+=2，得Sn=，且bn≠0，bn≠，取n=1，由S1=b1，得b1=.由于bn为数列{Sn}的前n项积，所以·· …·=bn，故··…·=，所以=. 由于≠0，所以=，即-bn=，其中n∈N+， 所以{bn}是以为首项，为公差的等差数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）求{an}的通项公式.（8分） 解：由（1）可得，数列{bn}是以为首项，为公差的等差数列， 所以bn=+（n-1）×=1+，Sn==，当n=1时，a1=S1=， 当n≥2时，an=Sn-=-=-，显然对于n=1不成立， 所以an= 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $