5.1.1 第2课时 数列的通项公式与函数性质-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教B版）

数列的通项公式与函数性质 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 进一步学习数列的相关概念，能根据数列的前几项求数列的通项公式.能判断数列的单调性，利用单调性求数列的最大、最小值. CONTENTS 目录 1 2 3 题型（一）　由数列的前几项求通项公式 题型（二）　数列的单调性 题型（三）数列的最大、最小项 4 课时跟踪检测 题型（一）　由数列的前几项 求通项公式 01 [例1]　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）-1，，-； 解：这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式为an=，n∈N+. （2），2，，8； 解：数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，…， 所以它的一个通项公式为an=，n∈N+. （3）0，1，0，1； 解：这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an=由第（1）题也可以写成an=（n∈N+）或an=（n∈N+）. （4）9，99，999，9 999. 解：各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an=10n-1，n∈N+. 　　[变式拓展] 　根据本例中的第（4）题，试解决以下2个问题： 1.试写出前4项为1，11，111，1 111的一个通项公式. 解：由本例的第（4）题可知，每一项除以9即可，即an=（10n-1），n∈N+. 2.试写出前4项为7，77，777，7 777的一个通项公式. 解：由本例的第（4）题可知，每一项乘以即可， 即an=（10n-1），n∈N+. 　　|思|维|建|模| 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 （1）先统一项的结构，如都化成分数、根式等. （2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.有时也可以通过探求各部分间的关系来归纳通项公式. （3）对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用（-1）n或 （-1处理符号.有时也可用分段形式. （4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 针对训练 1.写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数. （1）-，-，…； 解：这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式为an=，n∈N+. （2），…； 解：这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1， 所以它的一个通项公式为an=，n∈N+. （3）-1，，-，-，…. 解：这个数列的奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因式（-1）n.各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1.所以它的一个通项公式为an=（-1）n·， 也可写为an= 题型（二）　数列的单调性 02 [例2]　已知函数f（x）=（x∈R），设数列{an}的通项公式为an=f（n）（n∈N+）. （1）求证：an≥； 解：证明：由题意得an==1-.因为n为正整数， 所以2n≥2，0<≤，1-≥，所以an≥. （2）{an}是递增数列还是递减数列?为什么? 解：{an}是递增数列.因为an==1-， 所以an+1=1-，所以an+1-an=-=>0， 所以{an}是递增数列. 　　|思|维|建|模| 1.解决数列的单调性问题的两种有效方法 （1）作差法：根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列； （2）作商法：根据（an>0或an<0）与1的大小关系进行判断. 2.解决根据数列的单调性确定变量的取值范围问题，常利用以下等价关系 数列{an}递增⇔an+1>an（n∈N+）； 数列{an}递减⇔an+1<an（n∈N+）. 转化为不等式成立（恒成立），通过分离变量转化为代数式的最值来解决，或由数列的函数特征，通过构建有关变量的不等关系，解不等式（组）来确定变量的取值范围. 针对训练 2.[多选]满足下列条件的数列{an}（n∈N+）是递增数列的为 （　　） A.an= B.an=n2+n C.an=1-2n D.an=2n+1 √ √ 解析：A.因为an+1-an=-=-<0，所以是递减数列； B.因为an+1-an=[（n+1）2+n+1]-（n2+n）=2n+2>0，所以是递增数列；C.因为an+1-an=[1-2（n+1）]-（1-2n）=-2<0，所以是递减数列； D.因为an+1-an=（2n+1+1）-（2n+1）=2n>0，所以是递增数列.故选BD. 3.已知数列{an}的通项公式为an=，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围是___________.  （0，+∞） 解析：因为an+1-an=-=，数列{an}为递减数列， 所以<0对任意n∈N+恒成立，即k>3-3n恒成立， 当n=1时，3-3n有最大值0，所以k>0. 题型（三）数列的最大、最小项 03 [例3]　已知数列{an}的通项公式是an=（n+1）·，n∈N+.试问该数列有没有最大项?若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由. 解：法一　an+1-an=（n+2）-（n+1）·=， 当n<9时，an+1-an>0，即an+1>an；当n=9时，an+1-an=0，即an+1=an； 当n>9时，an+1-an<0，即an+1<an.则a1<a2<a3<…<a9=a10， 且a10>a11>a12>…，故数列{an}有最大项，为第9项和第10项， 且a9=a10=10×. 法二　根据题意，令 即 解得9≤n≤10.又n∈N+，则n=9或n=10.故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9=a10=10×. 　　[变式拓展] 　若本例通项公式“an=（n+1）”变为“an=”，如何求解. 解：有最大项.a1=，a2==1，a3==，a4==1，a5==，…. ∵当n≥3时，=×==<1， ∴an+1<an，即n≥3时，{an}是递减数列.又∵a1<a2<a3， ∴an≤a3=.∴当n=3时，a3=为这个数列的最大项. 　　|思|维|建|模| 求数列最值的方法 （1）函数的单调性法：令an=f（n），通过研究f（n）的单调性来研究最大（小）项. （2）不等式组法：先假设有最大（小）项.不妨设an最大，则满足（n≥2）， 解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组（n≥2）求得n的取值范围，从而确定n的值. 针对训练 4.已知数列{an}的通项公式是an=（n+2）× （n∈N+），试问数列{an}是否有最大项?若有，求出最大项；若没有，请说明理由. 解：法一　作差比较an+1与an的大小，判断{an}的单调性. an+1-an=（n+3）×-（n+2）×=×. 当n<5时，an+1-an>0，即an+1>an；当n=5时，an+1-an=0，即an+1=an； 当n>5时，an+1-an<0，即an+1<an.故a1<a2<a3<a4<a5=a6>a7>a8>…， 所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5=a6=. 法二　作商比较an+1与an的大小，判断{an}的单调性. ==.又an>0， 令>1，解得n<5；令=1，解得n=5；令<1，解得n>5. 故a1<a2<a3<a4<a5=a6>a7>…， 所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5=a6=. 法三　假设{an}中有最大项，且最大项为第n项，则 即 解得即5≤n≤6. 故数列{an}有最大项a5或a6，且a5=a6=. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知数列an=，则该数列是（　　） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 √ 解析：数列an=，则a2n-1=-<0，a2n=>0，因此a2n>a2n-1，a2n>a2n+1，数列{an}是摆动数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.数列1，，…的通项公式可能是（　　） A.an= B.an= C.an= D.an= √ 解析：当n=2时，对于B中a2==≠；当n=3时， 对于C中a3==≠，对于D中a3==≠.四个选项中只有an=同时满足a1=1，a2=，a3=.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知数列{an}满足an=（n∈N+），且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C.（2，3） D.（1，3） √ 解析：由题意解得2<a<3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.数列1，-，-，…的一个通项公式an=（　　） A. B. C.（-1）n D.（-1）n+1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：通过观察这一列数发现，奇数项为正，偶数项为负，故第n项的正负可以用（-1）n+1表示.而1=，-=-=，-= -=，…，故数列的通项可为an=（-1）n+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知数列{an}的通项公式为an=n2-2λn（n∈N+），∀k∈N+，当n>k时，an>ak成立，则实数λ的取值范围是 （　　） A.[1，+∞） B.（-∞，1] C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由∀k∈N+，当n>k时，an>ak成立，即数列{an}递增，则对于任意的n∈N+，都有an+1>an.已知an=n2-2λn （n∈N+），则有（n+1）2 -2λ（n+1）>n2-2λn恒成立，即λ<n+对于任意的n∈N+都成立，因为当n=1时，=，所以λ<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知数列{an}满足an=（k∈R），则“数列{an}是递增数列”的充要条件是（　　） A.k<0 B.k<1 C.k>0 D.k>1 √ 解析：因为an=（k∈R），所以an+1-an=-=. 由an+1-an=>0，得到k<1，所以“数列{an}是递增数列”的充要条件是k<1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.对于数列{an}，若存在正整数k（k≥2），使得ak<ak-1，ak<ak+1，则称{an}是“谷值数列”，k是数列{an}的“谷值点”.现有数列{an}，其通项an=，则该数列所有“谷值点”之和为（　　） A.3 B.9 C.10 D.12 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意可知，a1=0，a2==，a3==4， a4==，a5==，a6==，a7==，a8==，a9==0， 函数y=x+-10，在[10，+∞）上单调递增，且x=10时，y=>0， 且a9<a10，所以从10开始，不会是“谷值点”，只有a9<a8，a9<a10，所以数列an只有1个“谷值点”，谷值点为9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.对于函数y=f（x），部分x与y的对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 3 7 5 9 6 1 8 2 4 数列{xn}满足x1=1，且对于任意n∈N+，点（xn，xn+1）都在函数y= f（x）的图象上，则x1+x2+…+x2 024= （　　） A.7 569 B.7 576 C.7 584 D.7 590 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意，数列{xn}满足x1=1，且点（xn，xn+1）都在函数y=f（x）的图象上， 可得x2=f（x1）=f（1）=3，x3=f（x2）=f（3）=5，x4=f（x3）=f（5）=6，x5=f（x4）=f（6）=1，…则数列{xn}是周期为4的周期数列， 即数列{xn}满足x4k-3=1，x4k-2=3，x4k-1=5，x4k=6，k∈N+，则x1+x2+…+x2 024=506×（1+3+5+6）=7 590. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.（5分）已知数列2a+1，a-2，3a-2为递减数列，则a的取值范围是__________.  （-3，0） 解析：由题意可知2a+1>a-2>3a-2，解得-3<a<0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.（5分）已知数列{an}的通项公式为an=，则数列{an}的最大项是第________项.  6 解析：an==，当n>5且n∈N+时，an>0，且数列递减；当n≤5且n∈N+时，an<0，且数列递减.故当n=6时，an最大. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）数列，…的一个通项公式为________.  解析：数列可写为，…， 分子满足：3=1+2，4=2+2，5=3+2，6=4+2，…， 分母满足：5=3×1+2，8=3×2+2，11=3×3+2，14=3×4+2，…， 故通项公式为an=. an= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）欧拉函数φ（n）（n∈N+）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：φ（3）=2，φ（4）=2，则φ（8）=________；若bn=，则bn的最大值为________.  4 解析：由题设φ（2）=1，则1~8中与8互质的数有1，3，5，7，共4个数，故φ（8）=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 在1~2n中，与2n互质的数为范围内的所有奇数，共2n-1个， 即φ（2n）=2n-1，所以bn==，则bn+1-bn= -=，当n≤2时bn+1-bn>0，当n≥3时bn+1-bn<0， 即b1<b2<b3>b4>b5>…，所以bn的最大值为b3==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（10分）写出下列各数列的一个通项公式： （1）4，6，8，10，…；（2分） 解：易知该数列由从4开始的偶数构成，所以该数列的一个通项公式为an=2n+2，n∈N+. （2），…；（2分） 解：易知该数列中每一项分子比分母少1，且分母可写成21，22，23，24，25，…，故所求数列的通项公式可写为an=，n∈N+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （3）-1，，-，…；（3分） 解：通过观察可知，该数列中的奇数项为负，偶数项为正，故选择（-1）n调整符号.又第1项可改写成分数-，所以每一项的分母依次为3，5，7，9，…，可写成2n+1的形式.分子为3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6，…，可写成n（n+2）的形式.所以该数列的一个通项公式为an=（-1）n·，n∈N+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （4）0.8，0.88，0.888，….（3分） 解：将数列变形为（1-0.1），（1-0.01），（1-0.001），…，故该数列的一个通项公式为an=，n∈N+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（10分）已知数列{an}的通项公式为an=（n∈N，n≥1）. （1）依次写出数列{an}的前5项；（5分） 解：由题意，得a1==，a2==，a3==，a4==，a5==. （2）研究数列{an}的单调性，并求数列{an}的最大项和最小项.（5分） 解：an===1+，当n≤49时，an>0且{an}递增； 当n≥50时，an≤0且{an}递增；∴（an）max=a49=2；（an）min=a50=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（15分）已知在数列{an}中，an=1+（n∈N+，a∈R且a≠0）. （1） 若a=-7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；（7分） 解：法一　∵a=-7，∴an=1+. 结合函数f（x）=1+的单调性， 可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1（n∈N+）， ∴数列{an}中的最大项为a5=2，最小项为a4=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二　∵a=-7，∴an=1+.设数列中的最大项为an， 则（n≥2且n∈N+），即 解得<n<.又n≥2且n∈N+，∴n=5，即数列{an}中的最大项为a5=2. 同理可得，数列{an}中的最小项为a4=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）若对任意的n∈N+，都有an≤a6成立，求实数a的取值范围.（8分） 解：an=1+=1+.∵对任意的n∈N+，都有an≤a6成立， ∴结合函数f（x）=1+的单调性，知5<<6，∴-10<a<-8. 故实数a的取值范围为（-10，-8）. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $