第九章 专题微课 解三角形及其综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套课件PPT（人教B版）

专题微课　解三角形及其综合问题 建构知识体系 融通学科素养 1.浸润的核心素养 正、余弦定理在实际应用中的考查在高考中体现的特别明显，正符合了数学建模的核心素养；解决此类问题的关键是能作出示意图，故涉及直观想象的核心素养. 2.渗透的数学思想 (1)在应用正弦定理或余弦定理解决实际问题时往往需要根据题意正确地画出图形，根据图形运算求解体现了数形结合的思想. (2)用向量法推导正弦定理时，可以通过对锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情形的分别讨论而获得，用正、余弦定理求解的斜三角形分为四种类型以及对“已知两边和其中一边对角的三角形”型的解的情况的分析判断等都体现了分类讨论思想. (3)在求解三角形中的边角问题时，用到函数与方程思想. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一) 解三角形与平面几何相结合　 题型(二) 利用基本不等式解三角形 中的最值范围问题　 题型(三) 利用三角函数的性质解三 角形中的最值范围问题　 4 课时跟踪检测 题型(一)　解三角形与平面几何相结合 01 [例1]　如图，四边形ABCD的内角B+D=π，AB=6，DA=2，BC=CD，且AC=2. (1)求B； 解：设BC=CD=x>0，在△ABC中，由余弦定理， 得AC2=36+x2-2×6xcos B=28，即x2+8=12xcos B，　① 又在△ACD中，由余弦定理，得AC2=4+x2-2×2xcos D=28， 即x2-24=4xcos D，　② 因为B+D=π，则cos D=cos(π-B)=-cos B， 联立①②可得，x=4，cos B=，因为B∈(0，π)，所以B=. (2)若点P是线段AB上的一点，PC=2，求PA的值. 解：在△PBC中，由正弦定理知，=， 所以sin∠BPC===1， 且0<∠BPC<π，故∠BPC=，在Rt△PBC中， 由勾股定理知，PB==2， 此时PA=AB-PB=4. |思|维|建|模| 多个三角形背景解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解. (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.解题时，有时要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质，要把这些知识与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题.　 针对训练 1.如图，D是直角三角形ABC斜边BC上一点，AC=DC. (1)若∠DAC=30°，求∠ADC的大小； 解：在△ADC中，由正弦定理得=， 所以sin∠ADC==×=， 又∠ADC=B+∠BAD=B+(90°-∠DAC)=B+60°>60°， 所以∠ADC=120°. (2)若BD=2DC，且DC=1，求AD的长. 解：由BD=2DC，且DC=1知BC=3，AC=， 所以直角三角形ABC中，cos C==， 在△ADC中，由余弦定理得 AD2=AC2+DC2-2AC·DCcos C =()2+12-2×1×=2，所以AD=. 题型(二) 利用基本不等式解三角形 中的最值范围问题 02 [例2]　在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，有=. (1)若A=，求B； 解：在△ABC中，A=⇒sin A=，cos A=. ∵=，则a(1+cos B)=b(-cos A)，由正弦定理得sin A(1+cos B) =sin B(-cos A)，∴=sin B=，则有1+cos B=sin B，即sin B-cos B=1，∴2sin=1⇒sin=. 而B∈(0，π)，当B-=时，解得B=π(与题意不符，排除)； 当B-=时，解得B=，符合题意，∴B=. (2)若b=，求△ABC面积的最大值. 解：由(1)知sin A(1+cos B)=sin B(-cos A)， ∴sin B-cos Asin B=sin A+cos Bsin A， ∴sin B=sin A+sin(A+B)=sin A+sin(π-C)=sin A+sin C， 由已知及正弦定理得b=a+c⇒a+c=3，而S△ABC=acsin B. 法一　由余弦定理知cos B= ==-1，其中ac≤=，当且仅当a=c时取等号， 故S△ABC=ac×=ac×， =≤=. 法二　由余弦定理得cos B===-1， 化简得=ac，其中ac≤=，当且仅当a=c时取等号， 故cos B≥-1=，S△ABC=acsin B=××sin B==， 令t=1+cos B≥，∴S△ABC=×=×≤×=. |思|维|建|模| 　　运用正、余弦定理求与三角形有关量的最值、取值范围问题，一般用正弦定理将所求的量转化为关于某一个角的三角函数，求该三角函数的最值与取值范围，或转化为关于边的等式、函数、不等式，再用基本不等式或函数的单调性等来处理.破解此类题通常有以下方法： (1)构建目标不等式.根据题干中得出的等量关系，如相等角、互补角，巧妙运用余弦定理构建等式或用正弦定理转化为边的关系，然后借助不等式知识求最值或范围；或用余弦定理搭桥，实现两个基本量的和与积，平方和与积等的转化. (2)构建目标函数.用正弦定理表示边角关系，通过消元、两角和公式、倍角公式、辅助角公式等建立关于角的函数关系式，再把问题转化为已知角的范围，求三角函数最值或值域问题.　 针对训练 2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=. (1)求C； 解：设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得 ccos B+bcos C=2Rsin Ccos B+2Rsin Bcos C=2Rsin(B+C)=2Rsin A=a， 则=可化为=，整理得a2+b2-c2=-ab. 由余弦定理得cos C===-，又0<C<π，所以C=. (2)若角C的内角平分线与AB边交于点D，且CD=2，求b+4a的最小值. 解：由△BCD和△ACD的面积之和等于△ABC的面积，得CD·asin+CD·bsin=absin，可得ab=2b+2a，即+=. 则b+4a=2(b+4a)=2×≥2×(5+2)=18，当且仅当即b=6，a=3时，等号成立.故b+4a的最小值为18. 题型(三)　利用三角函数的性质解三 角形中的最值范围问题 03 [例3]　已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若a-c=2ccos B. (1)求证：B=2C； 解：证明：因为a-c=2ccos B， 由正弦定理得sin A-sin C=2sin Ccos B， 所以sin Bcos C+sin Ccos B-sin C=2sin Ccos B，所以sin Bcos C-sin Ccos B=sin C⇔sin(B-C)=sin C.而0<B<π，0<C<π，则B-C=C或B-C+C=π，即B=2C或B=π(舍去)，故B=2C. (2)若a=2，求+的取值范围. 解：因为△ABC是锐角三角形，所以解得<C<， 所以cos C的取值范围是<cos C<.由正弦定理可得=， 则b=·c=·c=2cos C·c，所以=，所以+=. 因为a-c=2ccos B，所以2-c=2ccos 2C，所以c=， 所以+====.因为cos C∈，所以4cos2C-1∈(1，2)，所以+=的取值范围为. |思|维|建|模| 　　如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决.要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边. 针对训练 3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csin=asin C. (1)求角A； 解：因为csin=asin C，所以csin=ccos=asin C. 由正弦定理可得sin Ccos=sin Asin C.又C为三角形内角，sin C≠0， 所以cos=sin A=2sincos.因为A∈(0，π)，∈，cos>0， 所以sin=，可得=，所以A=. (2)若a=，求△ABC周长的取值范围. 解：由(1)知A=，又a=，由正弦定理得===2，则b=2sin B，c=2sin C，所以a+b+c=+2sin B+2sin C=+2sin B+2sin =+2sin B+2=+2sin B+cos B+sin B =+3sin B+cos B=+2sin.因为B∈， 所以B+∈，所以sin∈， 2sin∈(，2]，所以a+b+c∈(2，3]. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1.在非等边三角形中，a是最大的边，若a2<b2+c2，则角A的取值范围为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：∵a2<b2+c2，∴b2+c2-a2>0，∴cos A>0，A<.∵a是最大的边， ∴A是最大的角，∴A>，∴<A<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 2.在△ABC中，A=105°，B=30°，a=，则B的角平分线的长是(　　) A. B.2 C.1 D. √ 解析：设B的角平分线的长为BD.易知∠ACB=180°-105°-30°=45°，∠BDC=180°-15°-45°=120°.在△CBD中，有=， 可得BD=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 3.锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=2B，则的取值范围是(　　) A.(0，2) B.() C.(，2) D.(1，) √ 解析：由正弦定理得=，又C=2B，所以====2cos B. 因为A+B+C=π，所以3B+A=π，即A=π-3B.因为A为锐角，所以<B<. 又0<C=2B<，所以<B<，所以<cos B<，即<2cos B<， 故的取值范围是(). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 4.如图，在四边形ABCD中，B=C=120°，AB=4，BC=CD=2，则该四边形的面积为 (　　) A. B.5 C.6 D.7 √ 解析：连接BD(图略)，在△BCD中， 由已知条件知∠DBC==30°，∴∠ABD=90°. 在△BCD中，由余弦定理知BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=22+22-2×2 ×2cos 120°=12，∴BD=2，∴=S△ABD+S△BCD =×4×2+×2×2×sin 120°=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 5.(多选)已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，A=2B，则下列结论正确的是 (　　) A.a2=b(b+c) B.+的最小值为3 C.若△ABC为锐角三角形，则∈(1，2) D.若a=2，b=3，则c=3 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：对于A，由A=2B，得sin A=sin 2B=2sin Bcos B，由正弦定理得a=2bcos B，由余弦定理得a=2b·，则(c-b)(a2-b2-bc)=0.当b≠c时，a2-b2-bc=0，即a2=b(b+c)；当b=c时，B=C，又A=2B，则A=90°，B=C=45°，a=b，于是a2-b2-bc=(b)2-b2-b·b=0，因此a2=b(b+c)，A正确；对于B，由a2=b(b+c)，得+=+=++1≥3，当且仅当b=c时取等号，B正确；对于C，由正弦定理=== ==4cos2B-1.由△ABC为锐角三角形，A=2B， 得B∈，C=π-3B<，则B∈，cos B∈， 因此4cos2B-1∈(1，2)，C正确；对于D，由a2=b(b+c)，a=2，b=3， 得c=5，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 6.(5分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b-c=2，cos A=-，则a的值为____，sin B=________.  　 8　 解析：在△ABC中，cos A=-，∴sin A=. 又S△ABC=bcsin A=3，∴bc=24，又b-c=2，由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A=(b-c)2+bc=64，∴a=8，b=6，c=4，由正弦定理，得sin B===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 7.(5分)在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为_______.  2 解析：在△ABC中，由==， 得AB=·sin C=sin C =2sin C， 同理BC=2sin A，所以AB+2BC=2sin C+4sin A=2sin C +4sin(120°-C) =4sin C+2cos C=2sin(C+φ). 又因为0°<C<120°，所以AB+2BC的最大值为2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 8.(5分)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，B=60°，则b的取值范围为___________.  解析：在△ABC中，由正弦定理得==，所以=，即b=.因为锐角△ABC，所以0°<A<90°，0°<C<90°， 即0°<A<90°，0°<120°-A<90°，解得30°<A<90°， 所以<sin A<1，所以1<<2，故<<，即b∈. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 9.(5分)如图，在△ABC中，B=，BC=2，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足. (1)若△BCD的面积为，则AB的长为________.  解析：∵△BCD的面积为，B=，BC=2， ∴×2×BD×sin=，∴BD=. 在△BCD中，由余弦定理可得CD= ==，∴AB=AD+BD=CD+BD=+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)若DE=，则角A的大小为___________.  解析：∵DE=，∴CD=AD==.在△BCD中， 由正弦定理可得=. ∵∠BDC=2A，∴=， ∴cos A=.又∵A∈，∴A=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10.(15分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2acos A cos C+2ccos2A. (1)求角A；(6分) 解：因为b=2acos Acos C+2ccos2A， 由正弦定理得sin B=2sin Acos Acos C+2sin Ccos2A =2cos A(sin Acos C+sin Ccos A)=2cos Asin(A+C). 因为A+B+C=π，所以A+C=π-B，所以sin B=2cos Asin B. 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以cos A=.因为A∈(0，π)，所以A=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)若a=4，求c-2b的取值范围.(9分) 解：由正弦定理得=，所以c-2b=(sin C-2sin B) = ==8=8cos. 因为B∈，所以B+∈，所以cos∈，所以c-2b∈(-8，4). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 11.(15分)在四边形ABCD中，AB=2，A=60°，∠ABC=∠BCD=90°，设∠CBD=α. (1)当α=15°时，求线段AD的长度；(5分) 解：当α=15°时，在△ABD中，AB=2， ∠ABD=75°，∠ADB=45°， 由正弦定理=， 得AD===+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)求△BCD面积的最大值.(10分) 解：在△ABD中，∠ABD=90°-α， ∠ADB=180°-60°-(90°-α) =α+30°， 由正弦定理=，得BD=. 在Rt△BCD中，BC=BDcos α=，CD=BDsin α=， 此时S△BCD=BC·CD==· ==≤=. 当且仅当tan α=时等号成立，故△BCD面积的最大值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 12.(15分)(2025·天津高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B=bcos A，c-2b=1，a=. (1)求A的值；(5分) 解：已知asin B=bcos A， 由正弦定理=， 得asin B=bsin A=bcos A，显然cos A≠0， 得tan A=，由0<A<π，故A=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)求c的值；(5分) 解：由(1)知cos A=，且c=2b+1，a=， 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A， 则7=b2+(2b+1)2-2×b(2b+1)=3b2+3b+1， 解得b=1(b=-2舍去)，故c=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (3)求sin(A+2B)的值.(5分) 解：由正弦定理=，且b=1，a=，sin A=， 得sin B==，且a>b，则B为锐角， 故cos B=，故sin 2B=2sin Bcos B=， 且cos 2B=1-2sin2B=1-2×=， 故sin(A+2B)=sin Acos 2B+cos Asin 2B=×+×=. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $