强化课 解三角形 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第四册（人教B版）

一、选择题 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若cos A＝，b＝3，c＝2，则△ABC的面积为　(　　) A．1 B．2 C．2 D． 解析：选C.因为cos A＝，所以sin A＝，所以S△ABC＝bc sin A＝2.故选C. 2．(2024·北京期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若△ABC的面积是，则A＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由b2＋c2－a2＝2bc cos A及已知整理得△ABC的面积为bc sin A＝＝bc cos A≠0，所以cos A≠0，所以tan A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝. 3.如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积为(　　) A． B．5 C．6 D．7 解析：选B.连接BD(图略).在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12.所以BD＝2，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5. 4．(2024·德州月考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为a2sin A，则cos A的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.因为S△ABC＝bc sin A＝a2sin A，A∈(0，π)，sin A≠0，所以bc＝a2，所以cos A＝≥＝，当且仅当b＝c时等号成立，故cos A的最小值为.故选C. 5．已知△ABC，则“cos2A＋cos2B－cos2C>1”是“△ABC为钝角三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.因为cos2A＋cos2B－cos2C>1，故1－sin2A＋1－sin2B－1＋sin2C>1，故sin2C>sin2A＋sin2B，故c2>a2＋b2，故cos C＝<0，而C为三角形内角，故C为钝角，所以△ABC为钝角三角形，充分性成立；但若△ABC为钝角三角形，比如取C＝B＝，A＝，此时cos2A＋cos2B－cos2C＝<1，故cos2A＋cos2B－cos2C>1不成立，必要性不成立．所以“cos2A＋cos2B－cos2C>1”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．故选A. 6．记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(b－c)sin B＋c sin C＝a sin A，b cos C＋c cos B＝2，则△ABC面积的最大值为(　　) A．1 B． C．2 D．2 解析：选B.因为(b－c)sin B＋c sin C＝a sin A， 所以由正弦定理可得b2－bc＋c2＝a2， 所以cos A＝. 又A∈(0，π)，所以A＝. 因为b cos C＋c cos B＝2， 所以由余弦定理的推论可得 b·＋c·＝2， 所以a＝2. 由a2＝b2＋c2－2bc cos A， 得4＝b2＋c2－bc≥bc， 即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，取等号， 则S△ABC＝bc sin A＝bc≤， 所以△ABC面积的最大值为. 故选B. 7．在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝AD＝4，则四边形ABCD的面积S为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：选C. 如图，连接BD，在△ABD中，由余弦定理得，BD2＝4＋16－2×2×4cos ∠BAD＝20－16cos ∠BAD，在△CBD中，BD2＝16＋36－2×4×6cos ∠BCD＝52－48cos ∠BCD，因为∠BAD＋∠BCD＝180°，所以20－16cos ∠BAD＝52＋48cos ∠BAD，解得cos ∠BAD＝－，所以∠BAD＝120°，∠BCD＝60°.S＝S△ABD＋S△CBD＝×2×4×sin 120°＋×4×6×sin 60°＝8. 8．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin B＝，c＝2，b＝，则(　　) A．sin C＝ B．cos B＝－ C．a＝3 D．△ABC的面积为或 解析：选AD.对于A，因为sin B＝，c＝2，b＝，所以由＝，得×＝，解得sin C＝，故A正确； 对于B，因为c>b，所以C>B，故0<B<， 因为sin B＝，所以cos B＝＝，故B错误； 对于C，由b2＝a2＋c2－2ac cos B，得2＝a2＋4－4a×，解得a＝或a＝3，经检验，a＝与a＝3都满足要求，故C错误； 对于D，当a＝时，S△ABC＝ac sin B＝××2×＝；当a＝3时，S△ABC＝ac sin B＝×3×2×＝，所以△ABC的面积为或，故D正确．故选AD. 9．(多选)(2024·葫芦岛月考)若向量＝(1，m)，＝(－1，2)，且与夹角的正弦值为，则△ABC的面积可能为(　　) A． B．2 C． D． 解析：选BD.由题意得|cos 〈，〉|＝＝＝， 解得m＝2或m＝－. 故||＝＝或||＝＝， 又S△ABC＝||||sin 〈，〉， 故S△ABC＝×××＝2或S△ABC＝×××＝.故选BD. 10．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论中正确的是(　　) A．sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6 B．△ABC是钝角三角形 C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D．若c＝6，则△ABC的外接圆的半径为 解析：选ACD.对于A，因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，所以可设(其中x＞0)，解得所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，所以A正确； 对于B，a，b，c中c最大，所以角A，B，C中角C最大，又由余弦定理的推论得cos C＝＝＝＞0，所以C为锐角，所以B错误； 对于C，a，b，c中a最小，所以角A，B，C中角A最小， 又cos A＝＝＝， 所以cos 2A＝2cos2A－1＝，所以cos2A＝cos C， 因为角A，B，C中角C最大且C为锐角，所以2A∈(0，π)，C∈，所以2A＝C，所以C正确； 对于D，因为2R＝(R为△ABC外接圆的半径)，sin C＝＝，所以2R＝，解得R＝，所以D正确．故选ACD. 二、填空题 11．在△ABC中，bc＝20，S△ABC＝5，△ABC外接圆的半径为3，则a＝________． 解析：由S△ABC＝5，得bc sinA＝×20×sin A＝5，解得sin A＝， 再由正弦定理，得＝2×3， 即a＝×2×3＝3. 答案：3 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b cos C＋c cos B＝3a cos A，若S为△ABC的面积，则的最小值为________． 解析：由题设及正弦定理得， sin B cos C＋sin C cos B＝3sin A cos A，　 即sin (B＋C)＝3sin A cos A，且A＋B＋C＝π， 故sin A＝3sin A cos A， 又sin A≠0，则cos A＝， 故sin A＝， 而a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc， S＝bc sin A＝， 所以＝≥＝2，当且仅当b＝c时等号成立，故的最小值为2. 答案：2 13.某消毒装备的设计如图所示，PQ为街道路面，AB为消毒设备的高，BC为喷杆，AB⊥PQ，∠ABC＝，C处是喷洒消毒水的喷头，喷射角∠DCE＝.若AB＝3，BC＝6，则消毒水喷洒在路面上的宽度DE的最小值为____________． 解析： C到地面的距离h＝3＋6sin (－)＝6，因为S△CDE＝DE·h＝CD·CE·sin ，则6DE＝CD·CE，即4DE＝CD·CE，由余弦定理得DE2＝CD2＋CE2－2CD·CE cos ≥2CD·CE－CD·CE＝CD·CE， 当且仅当CD＝CE时等号成立， 故DE2≥CD·CE，则DE≥4，当且仅当CD＝CE时等号成立，故DE的最小值为4. 答案：4 三、解答题 14．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行． (1)求A的大小； (2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积． 解：(1)因为m∥n， 所以a sin B－b cos A＝0， 由正弦定理，得sin A sin B－sin B cos A＝0， 又sin B≠0，从而tan A＝， 由于0＜A＜π， 所以A＝. (2)方法一：由余弦定理， 得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 而a＝，b＝2，A＝， 得7＝4＋c2－2c， 即c2－2c－3＝0， 因为c＞0，所以c＝3， 故△ABC的面积S＝bc sin A＝. 方法二：由正弦定理，得＝， 从而sin B＝， 又由a＞b，知A＞B， 所以cos B＝， 故sin C＝sin (A＋B)＝sin ＝sin B cos ＋cos B sin ＝. 所以△ABC的面积S＝ab sin C＝. 15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b cos A＝c. (1)判断△ABC的形状，并加以证明； (2)如图，△ABC外存在一点D，使得∠BAD＝，AD＝2，BD＝5，且BC＝2，求CD. 解：(1)△ABC为直角三角形．证明如下： 在△ABC中，由正弦定理得 sin B cos A＝sin C，又A＋B＋C＝π， 所以sin B cos A＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B， 化简得sin A cos B＝0，因为A∈(0，π)， 所以sin A＞0，所以cos B＝0， 又因为B∈(0，π)，所以B＝， 所以△ABC是直角三角形． (2)在△ABD中，由正弦定理得 ＝. 由题设知，＝， 所以sin ∠ABD＝＝. 由(1)知，cos ∠CBD＝cos ＝sin ∠ABD＝. 在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠CBD＝52＋(2)2－2×5×2×＝25，所以CD＝5. 16．设f(x)＝sin2x＋cosx sin x(ω＞0)，函数y＝f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π. (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝，f(A)＝，求角C. 解：(1)f(x)＝＋sin ωx＝sin ＋， 因为函数y＝f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π， 因为＝π，则T＝＝2π，解得ω＝1， 所以f(x)＝sin ＋. (2)由(1)及f(A)＝得，f(A)＝sin ＋＝，即A－＝2kπ＋，k∈Z， 因为A∈(0，π)，所以A－＝，即A＝， 由正弦定理＝得＝， 即sin B＝，B＝，C＝. 学科网（北京）股份有限公司 $