11.2 平面的基本事实与推论-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦“平面的基本事实与推论”，课前通过表格梳理基本事实1-3及推论的内容、图形、符号与作用，结合基础训练题自主落实，课堂以点线共面、点共线等题型为载体，通过例题与变式梯度进阶，构建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，用表格图形直观呈现空间形式（数学眼光），例题变式与思维建模总结纳入法等证明方法（数学思维），符号语言规范推理过程（数学语言）。如例1用同一法证线在面内，跟踪检测覆盖选择、解答题，助力学生提升空间观念与论证能力，为教师提供系统教学资源与方法指导。

11.2 平面的基本事实与推论 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 了解基本事实1~3及基本事实1，2的推论，并能应用基本事实及推论解决一些简单问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.空间中关于平面的三个基本事实(也称为公理) 基本 事实 内容 图形 符号 作用 基本 事实 1 经过______ __________的3个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 用来确 定一个 平面　 不在一条直线上 续表 基本 事实 2 如果一条直线上的_________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 ________，_________⇒AB⊂α 用来证明直线 在平面内　　 基本 事实 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条_____________ _________ A∈α，且A∈β⇒α∩β =a，且A∈a 用来证明空间 的点共线和线 共点　 两个点 过该点的公共直线 A∈α B∈α 2.三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面 确定 平面 的依据 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 1.下列图形中，不一定是平面图形的是 (　　) A.三角形 B.菱形 C.梯形 D.四条边相等的四边形 √ 基础落实训练 解析：三角形的三个顶点为不共线的三点，因此一定是平面图形；菱形、梯形分别有两组、一组对边平行，故为平面图形；四边相等的四边形可能为空间四边形. 2.过不共线的四点有且只有一个平面对吗，为什么? 提示：不对，过不共线的四点不一定存在一个平面，如过正方体上底面的三个顶点和下底面的一个顶点，便无法作出一个平面. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　点、线共面问题 [例1]　 如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b=A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α. 证明：因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β.所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α. 又因为a⊂α，P∉a，所以α与β重合，所以PQ⊂α. 　[变式拓展] 　将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内，符号表示为已知a∥b∥c，l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C.求证：a，b，c和l共面. 证明：如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α. ∵l∩a=A，l∩b=B，∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α. ∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β. ∵平面α与β都包含l和b，且b∩l=B， 由基本事实1的推论知，经过两条相交直线有且只有一个平面， ∴平面α与平面β重合.∴a，b，c和l共面. |思|维|建|模| 证明点、线共面问题的常用方法 (1)先由部分点、线确定一个平面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”； (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”； (3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”.　 针对训练 1.已知A，B，C，D，E是空间五个点，且线段CE，AC和BD两两相交，求证：A，B，C，D，E这五个点在同一平面上. 证明：设CE∩BD=M，CA∩BD=N， ∵CA∩CE=C，∴CA，CE确定一个平面α. ∵M∈CE，∴M∈α，同理N∈α. ∴直线MN即直线BD⊂α，∴B∈α，D∈α. ∴A，B，C，D，E这五个点在同一平面上. 题型(二)　点共线、线共点问题 [例2]　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和C1D1的中点.对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线. 证明：由题意作图，如图所示. ∵AA1∥CC1，∴A，A1，C，C1确定一个平面AA1C1C.O∈A1C，A1C⊂平面AA1C1C，∴O∈平面AA1C1C. ∵对角线A1C与平面BDC1交于点O， ∴O∈平面BDC1， O在平面AA1C1C与平面BDC1的交线上. ∵AC∩BD=M，∴M∈平面AA1C1C且M∈平面BDC1. ∴平面AA1C1C∩平面BDC1 =C1M. ∴O∈C1M，即点C1，O，M共线. 　[变式拓展] 　本例条件不变，求证：BE，DF，CC1三线共点. 证明：延长DF，BE交于G，∵DG⊂平面DCG， ∴G∈DG，∴G∈平面DCG. ∵BE⊂平面BCG，∴G∈BE， ∴G∈平面BCG. ∵平面DCG∩平面BCG=CC1，∴G∈CC1.∴BE，DF，CC1三线共点. |思|维|建|模| 1.证明三点共线的方法 (1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上. (2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上.　 2.证明三线共点的步骤 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上. 针对训练 2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O1是A1C1与B1D1的交点，长方体体对角线A1C交截面AB1D1于点P.求证：O1，P，A三点在同一条直线上. 证明：因为O1∈平面AB1D1，O1∈平面AA1C1C， A∈平面AB1D1，A∈平面AA1C1C，所以平面AB1D1∩平面AA1C1C=AO1. 又因为A1C∩平面AB1D1=P，所以P∈直线A1C，P∈平面AB1D1. 所以P∈平面AA1C1C.所以P∈直线AO1， 即O1，P，A三点在同一条直线上. 题型(三)　确定两平面的交线 [例3]　如图所示，E，F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1和AA1的中点，试画出平面BED1F与平面ABCD的交线. 解：如图所示，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行， 分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交， 设交点为M.因为M∈D1F，M∈DA， D1F⊂平面BED1F，DA⊂平面ABCD， 所以M∈平面BED1F∩平面ABCD. 又B∈平面BED1F∩平面ABCD， 连接MB，则MB=平面BED1F∩平面ABCD. 即直线MB为所求两平面的交线. |思|维|建|模| 　　基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找到了它们的交线.因此求两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点. 针对训练 3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1，C1，P三点所确定的平面α与长方体表面的交线，并作出平面α与平面ABCD的交线. 解：平面α与长方体表面的交线(A1P，C1P，A1C1)如图①所示. 平面α与平面ABCD的交线可以这样确定：延长C1P，则它与CB的延长线一定相交，设交点为M，则M是平面α与平面ABCD的一个公共点；同理，延长A1P交AB的延长线于点N，则N也是平面α与平面ABCD的一个公共点，连接MN，则直线MN就是平面α与平面ABCD的交线，如图②所示. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面 (　　) A.没有其他公共点　　　 B.仅有这一个公共点 C.仅有两个公共点 D.有无数个公共点 √ 解析由基本事实3可知，两个不重合平面有一个公共点，它们有且只有一条过该公共点的公共直线，则有无数个公共点. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.(多选)已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，则下列推理正确的是 (　　) A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β=MN C.A∈α，A∈β⇒α∩β=A D.A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合 √ √ √ 解析：由基本事实2知A正确；由基本事实3知B正确；由基本事实1知D正确；对于C，因为A∈α，A∈β，所以A∈α∩β.由基本事实3可知α∩β为经过A的一条直线而不是A，且α∩β=A的写法错误.故选A、B、D. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.(多选)下面四个命题不正确的是 (　　) A.三个不同的点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面 C.空间两两相交的三条直线确定一个平面 D.两条平行直线确定一个平面 √ 解析：对于A，三个不共线的点确定一个平面，故错误；对于B，一条直线和直线外一个点确定一个平面，故错误；对于C，空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点，确定一个平面，故错误；对于D，两条平行直线确定一个平面，正确.故选A、B、C. √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断正确的是 (　　) A.A，B，C，D四点中必有三点共线 B.A，B，C，D四点中不存在三点共线 C.直线AB与CD相交 D.直线AB与CD平行 √ 解析：两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.如图，α∩β=l，A∈α，C∈β，C∉l，直线AD∩l=D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过 (　　) A.点A B.点B C.点C，但不过点D D.点C和点D √ 解析：A，B，C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C，D∈γ，且C，D∈β，故C，D在γ和β的交线上. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.如图所示，在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定 (　　) A.在直线DB上 B.在直线AB上 C.在直线CB上 D.都不对 √ 解析：直线EF和GH相交，设交点为M，因为EF⊂平面ABD，HG⊂平面CBD，所以M∈平面ABD，且M∈平面CBD.因为平面ABD∩平面BCD=BD，所以M∈BD，所以EF与GH的交点在直线BD上. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(多选)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别是四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，则 (　　) A.A，C，O1，D1四点共面 B.D，E，G，F四点共面 C.A，E，F，D1四点共面 D.G，E，O1，O2四点共面 √ √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别为四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，所以O1是AD1的中点，所以O1在平面ACD1内，故A正确；因为E，G，F在平面BCC1B1内，D不在平面BCC1B1内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误；由已知可知EF∥AD1，所以A，E，F，D1四点共面，故C正确；连接GO2并延长(图略)，交A1D1于H，则H为A1D1的中点，连接HO1，则HO1∥GE，所以G，E，O1，O2四点共面，D正确. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知空间三条直线两两相交，点P不在这三条直线上，则由点P和这三条直线最多可以确定的平面个数为___________.  解析：当三条直线共点但不共面相交时，这三条直线可以确定三个平面，而点P与三条直线又可以确定三个平面，故最多可以确定六个平面. 6 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)平面α，β相交，α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定___________个平面.  1或4 解析：①当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面；②当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定4个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是__________.  解析：∵AC∥BD， ∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β=直线CD. ∵l∩α=O，∴O∈α. 又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD， ∴O，C，D三点共线(如图所示). 共线 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)空间不共线的四点，可以确定平面的个数为_________. 解析：当四点共面时，只能确定一个平面；当四点不共面时，如图，任三点都可确定一个平面，共4个. 1个或4个 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)如图，若α∩β=l，A，B∈α，C∈β，试画出平面ABC与平面α，β的交线. 解：∵若α∩β=l，A，B∈α， ∴AB是平面ABC与α的交线，延长BA交l于D， 则D∈平面ABC，∵C∈β， ∴CD是平面ABC与β的交线， 则对应的图示如图. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点. (1)求作直线AB与平面α的交点P；(3分) 解：延长AB交平面α于点P，如图所示. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求证：D，E，P三点共线.(7分) 解：证明：平面ABC∩平面α=DE， P∈AB，AB⊂平面ABC， 所以P∈平面ABC. 又P∈α，所以点P在平面α与平面ABC的交线DE上， 即P∈DE.故D，E，P三点共线. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图，△ABC与△A1B1C1不全等， 且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA. 求证：AA1，BB1，CC1交于一点. 证明：如图所示，因为A1B1∥AB，所以A1B1与AB确定一个平面，记为平面α.同理，将B1C1与BC所确定的平面记为平面β，C1A1与CA所确定的平面记为平面γ.易知β∩γ=C1C. 又△ABC与△A1B1C1不全等，所以AA1与BB1相交， 设交点为P，P∈AA1，P∈BB1.而AA1⊂γ，BB1⊂β，所以P∈γ，P∈β，所以P在平面β与平面γ的交线上. 又β∩γ=C1C，所以P∈C1C，所以AA1，BB1，CC1交于一点. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15.(10分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点. (1)画出平面PAC与平面ABCD的交线；(5分) 解：平面PAC与平面ABCD的交线为直线AC，如图1. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)画出平面PA1C与平面ABCD的交线.(5分) 解：延长A1P，AB交于点E，连接CE，则直线CE为平面PA1C与平面ABCD的交线，如图2. 14 15 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $