11.2平面的基本事实与推论 同步练习-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

11.2平面的基本事实与推论 一、选择题 1．下列空间图形画法错误的是(　　) 　　　　　　　　　 A　　　B　　　　C　　　　D 2．下列命题正确的是(　　) A．一条线段和不在这条线段上的一点确定一个平面 B．圆心和圆上两点可确定一个平面 C．三角形上不同的三个点确定一个平面 D．圆上不同的三个点确定一个平面 3．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　) A．点A B．点B C．点C但不过点M D．点C和点M 4．(多选)已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是(　　) A．如果A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α B．如果l⊄α，A∈l，则A∉α C．如果A∈α，A∈l，l⊄α，则l∩α＝A D．如果A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB 5．(多选)给出以下说法，其中正确的是(　　) A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面 C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面 D．过直线外一点和直线上三点的三条直线共面 二、填空题 6．若平面α∩β＝l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则点M与l的位置关系为________． 7．三个平面至少可将空间分成________部分，最多可将空间分成________部分． 8．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是________(填序号)． ①棱柱　②棱锥　③棱台　④圆柱　⑤圆锥　⑥圆台　⑦球 三、解答题 9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由． 10．(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(　　) A．C1，M，O三点共线 B．C1，M，O，C四点共面 C．C1，O，A，M四点共面 D．D1，D，O，M四点共面 11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱D1C1的靠近D1上的三等分点．设AE与平面BB1D1D的交点为O，则(　　) A．三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1 B．三点D1，O，B共线，且OB＝3OD1 C．三点D1，O，B不共线，且OB＝2OD1 D．三点D1，O，B不共线，且OB＝3OD1 12．如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________(填序号)． 13．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为8，M，N，P分别是AB，A1D1，BB1的中点，设过M，N，P三点的平面与B1C1交于点Q，则PQ的长为________． 14．如图，已知正四棱柱ABCP-A′B′C′P′． (1)请在正四棱柱ABCP-A′B′C′P′中，画出经过P，Q，R三点的截面(无需证明)； (2)若Q，R分别为A′B′，B′C′的中点，证明：AQ，CR，BB′三线共点． 15．棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AB，BC的中点，过平面D1MN作正方体的截面，则这个截面的面积为________． 1．D　[遮挡部分应画成虚线或不画，故D错．] 2．D　[对A，若这个点位于这条线段所在的直线上，则无法确定一个平面，故A错误；对B，若圆心和圆上两点共线，此时过三点的平面有无数个，故B错误；对C，若三点位于一条直线上，则无法确定一个平面 ，故C错误；对D，圆上不同的三点一定构成一个三角形，则可确定一个平面．故选D．] 3．D　[∵直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ， ∴β∩γ＝MC， ∴γ与β的交线必通过点C和点M．故选D．] 4．ACD　[对于A，由A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，根据平面的基本事实2，可得l⊂α，所以A正确；对于B，由l⊄α，A∈l，根据直线与平面的位置关系，则A∉α或A∈α，所以B不正确；对于C，由A∈α，A∈l，l⊄α，根据直线与平面位置关系，则l∩α＝A，所以C正确；对于D，由A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，根据平面的基本事实3，可得α∩β＝AB，所以D正确．] 5．AD　[在A中，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，故A正确；在B中，如图两个相交平面有三个公共点A，B，C，且点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，但A，B，C，D，E不共面，故B不正确；选项C，显然不正确；在D中，过直线与直线外一点可确定一个平面，设为α，因此这三条直线都在平面α内，即三条直线共面，故D正确．故选AD． ] 6．M∈l　[因为a∩b＝M，所以M∈直线a，M∈直线b，因为直线a⊂α，直线b⊂β， 所以M∈平面α，M∈平面β，又平面α∩β＝l，所以M∈l．] 7．4　8　[当这三个平面平行时，可将空间分成4部分；当这三个平面共线或有两个平面平行且与第三个平面相交时，可将空间分成6部分；当这三个平面两两相交时，可将平面分成7部分或8部分；综上可知：三个平面至少可将空间分成4部分，最多可将空间分成8部分．] 8．①②③⑤　[无论是棱柱，还是棱锥，或者棱台，总存在过一个顶点出发的三条棱，在这三条棱上各取一个靠近顶点的点，经过这三点的截面便为三角形．用轴截面去截圆锥，则截面是三角形． 另外，对于圆柱、圆台、球，无论怎样去截这些几何体，其截面均不可能为三角形．] 9．解：如图，在平面AA1D1D内，延长D1F，因为D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈AD． 又因为D1F⊂平面BED1F， DA⊂平面ABCD， 所以P∈平面BED1F，P∈平面ABCD． 所以P∈(平面BED1F∩平面ABCD)， 即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点．又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点， 所以连接PB，PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线． 10．ABC　[连接A1C1，AC，由于平面A1C∩平面C1BD＝OC1，故有C1，M，O三点共线，C1，M，O，C四点共面，C1，O，A，M四点共面，而D1，D，O，M四点不共面． ] 11．B　[连接AD1，BC1， ∵O∈直线AE， AE⊂平面ABC1D1， ∴O∈平面ABC1D1． 又∵O∈平面BB1D1D，平面ABC1D1∩平面BB1D1D＝BD1， ∴O∈直线BD1， ∴三点D1，O，B共线， ∵△ABO∽△ED1O， ∴OB∶OD1＝AB∶ED1＝3∶1， ∴OB＝3OD1． 故选B．] 12．①③　[图形①中，连接MN，PQ(图略)，则由正方体的性质得MN∥PQ，可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形①正确．分析可知③中四点与另外两棱中点构成正六边形，所以四点共面，②④中四点均不共面．] 13．　[设M，N，P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B的交线为直线MP． 设直线MP与直线A1B1交于点R，连接RN，如图所示， 则直线RN是α与平面A1B1C1D1的交线． 由题意知，RN与B1C1的交点为Q，连接PQ， 则直线PQ是平面α与平面BB1C1C的交线． 由题意知A1B1＝8，B1P＝B1R＝A1N＝4． 因为B1Q∥A1N，所以， 所以B1Q＝， 在Rt△PB1Q中，B1P＝4，B1Q＝， 所以PQ＝．] 14．解：(1)作直线QR分别交P′A′，P′C′的延长线于M，N，连接MP交AA′于S，连接PN交CC′于点T，连接SQ，TR，如图所示，则五边形PSQRT即为所求截面． (2)证明：如图，连接QR，AC，A′C′，则AC＝A′C′，AC∥A′C′， ∵Q，R分别为A′B′，B′C′的中点， ∴QR∥A′C′，又AC∥A′C′， ∴QR∥AC，而AC＝2QR，可得四边形AQRC为梯形， 设AQ∩CR＝O，则O∈AQ， ∵AQ⊂平面A′ABB′， ∴O∈平面A′ABB′， 同理O∈平面C′CBB′， 又平面A′ABB′∩平面C′CBB′＝BB′， ∴O∈BB′，即AQ，CR，BB′三线共点． 15．　[如图，延长DA，DC，与MN分别交于G，H，连接D1G与AA1交于F点，连接D1H与CC1交于E点，连接MF，NE，根据正方体的性质， 可知，CH＝AG＝1，根据勾股定理，D1H＝，又因为△CHE∽△C1D1E，可得，所以，D1E＝，由勾股定理可得，NE＝MF＝，所以，过平面D1MN作正方体的截面为五边形，如图所示，连接EF，作MH1⊥EF，D1O⊥EF，可得EF＝2，根据勾股定理，可得MH1＝，综合以上数据，可以得到所示图形， 所以，该五边形的面积为S＝．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$